2025-2026学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为．2．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是，的有（请填写序号）．3．如图△是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于．4．如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有条．5．与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为．6．一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为．7．如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48，则直线与底面所成角的大小为．（用反三角函数表示）8．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为．9．如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为．10．如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为．11．“曼哈顿距离”是由19世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，，，，，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为．12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是．①若，是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值是4；②勒洛四面体被平面截得的截面面积是；③勒洛四面体的体积是；④勒洛四面体内切球的半径是．二、选择题13．已知空间两点，，，，0，，向量满足，则实数的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．不存在14．已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（）A． B． C． D．15．点，，，在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．16．如图，已知正方体中，，为线段上一点，为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C． D．三、解答题17．如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）若，，，，求两条异面直线和所成的角．18．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，，，分别为，上的点，且，．（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．19．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．20．（18分）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且，且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，，，，（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点，，到平面的距离为；（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积．21．（18分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为．（1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值．

参考答案一、填空题1．．2．③④．3．．4．4．5．．6．7．．8．．9．．10．8．11．．12．①②④．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）证明：因为平面，平面，所以因为，，所以，又，，平面，所以平面；（2）取中点，连接和，则，所以异面直线和所成的角是或其补角，由（1）知，所以，即异面直线和所成的角为．18．解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则，1，，，1，，，1，，，0，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则，取，所以，所以，又直线平面，所以直线平面；（2）因为平面，所以平面的法向量可以为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．19．解：（1）现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为，，显然，，，都是正数，所以，所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠；（2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；②采用“对角”捆扎中彩带的总长度为，由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带．20．解：（1）平面的法向量，平面的法向量，因为平面与平面互相垂直，所以，解得；（2）证明：不妨设，在平面内取一点，则向量，取平面的一个法向量，则所以点，，到平面的距离为；（3）由，解得，所以交点，0，，同理，可得其它交点，2，，，0，，，因为四面体外接球体积为，所以外接球半径，设球心为，，，则，即有，解得或，所以，1，或，当球心坐标为，1，时，，得（舍去），当球心坐标为时，，解得（舍去）或，故，所以到平面即的距离为，又，故．21．解：（1），，则圆柱内空余部分的体积为：；证明：（2）当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，则平面与圆柱的侧面相交的轨迹为椭圆，且长轴长为，短轴长为，如图，在椭圆上任取一点，过作平行于圆柱的母线的直线，交上方球与圆柱相切的圆于点，交下方球与圆柱相切的圆于点，则与球相切，与球相切，又两个球分别在圆柱