2025-2026学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若平面向量a=(x,2)与b=(2,−4)共线，则x=(

)A.−2 B.−1 C.1 D.42.在复平面内，复数z的对应点为(1,−1)，则z−=(

)A.1+i B.−1+i C.1−i D.−1−i3.某中学合唱比赛中，7位评委对某班级的评分分别为80、86、88、90、92、94、96，称这些评分为原始评分，将原始评分去掉一个最高分和一个最低分后所得评分称为有效评分，则下列有效评分的特征量和原始评分的特征量保持不变的是(

)A.极差 B.方差 C.中位数 D.平均数4.掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件A=“点数为偶数”，事件B=“点数为3的倍数”，则A与B的关系为(

)A.相等 B.相互独立 C.互斥 D.互为对立5.在△ABC中，AB=AC=2，∠A=120°，则|AB−ACA.23 B.3 C.2 6.已知正方体的棱长为2，若正方体的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(

)A.4π B.43π C.8π7.下列说法正确的是(

)A.正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面

B.棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形

C.底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半

D.底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为8.为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动.在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长(单位：分钟)，并将所得的数据按照[0,20)、[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]分组，得到如图所示的频率分布直方图(假设每个组内的数据在组内均匀分布)：若该校共有2000名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是(

)A.该校日均通勤时长在40分钟以内的学生数超过1000

B.该校日均通勤时长不少于60分钟的学生数约为100

C.该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数

D.该校学生日均通勤时长的第80百分位数约为569.丽泽SOHO大厦(以下简称“大厦”)是位于北京市丰台区丽泽金融商务区的超高层国际5A级写字楼，总建筑面积17万平方米，钢结构用量达1.83万吨(相当于2.5个埃菲尔铁塔).某校一项目学习小组开展数学建模活动，测量大厦的高度.为不妨碍道路交通，选取与大厦底部B在同一水平面内的两个观测点C，D.测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=146.5m，在观测点C处测得大厦顶部A的仰角为60°，则大厦的高约为(

)

(参考数据：2≈1.414，A.147m B.207m C.254m D.293m10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，点A.点M可以是线段BC的中点

B.点M的轨迹长度为32+6

C.存在点M，使得点B到平面MAB1的距离为33

D.任意点M∉平面ABB1A111.某旅游景区为调查游客满意度，按青年、中年、老年分层，通过分层随机抽样的方法，抽取样本，得到各年龄段占比如图所示.若样本中的老年人人数为10，则样本中的青年人人数为

．12.若复数z满足i⋅z=1+3i，则|z|=

13.如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器ABC−A1B1C1内有一些水，已知AB⊥AC，AB=30cm，AC=20cm，水深为20cm.若固定该容器底面一边AB于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时(水面形状恰好为△A14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，经过直线BD的平面与棱C1D1、B1C1分别交于点E、F(E、F不重合)，则直线EF与CD1所成角的大小为

15.如图，“六芒星”由两个中心重合于点O的正三角形AEI和CGK组成，且AE//KG，AI//CG，EI//CK，AE=CK=6，若动点P在“六芒星”的边界上(实线部分)，给出下列结论：

①|OA|=23；

②OA在OF上的投影向量为−32OF；

③若OP=xOA+yOF(x,y∈R)，则x+y≤4；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知平面向量a=(5,0)，b=(−1,−2)，c=a+2b．

(1)求|c|；

(2)设b与c的夹角为θ，求cosθ的值；17.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为AC，B1C1的中点．

(1)求证：CF//平面A1B1E18.(本小题14分)

随着科技的不断发展，无人机技术越来越成熟，无人机配送已在全国多地实现常态化运营.某调查小组为了解某平台的无人机配送准点率(准点率=准点单数配送单数)，在A、A城市B城市区域配送单数准点单数区域配送单数准点单数110094650502909072001983100938150126415013291008851201141010099(1)从10个样本区域中随机选择1个，求该区域无人机配送准点率超过0.9的概率；

(2)从A、B两个城市的样本区域中各随机选取1个，求这两个区域中至少有1个区域无人机配送准点率超过0.9的概率；

(3)设A城市5个样本区域无人机配送准点率的方差为s12，B城市5个样本区域无人机配送准点率的方差为s22，两个城市10个样本区域无人机配送准点率的方差为s32，试比较s12、19.(本小题14分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC=2csinAcosA．

(1)求A；

(2)若b=8，从条件①、条件②、条件③这三个条件中一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC最长边上的高．

条件①：a+c=12；

条件②：a=7；

条件③：△ABC的面积为103．

注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得020.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，PA=AB=2.E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

(1)求证：F是棱PD的中点；

(2)求证：AC⊥平面BDE；

(3)求点P到平面ABE的距离．21.(本小题15分)

设正整数S可以表示成n个正整数a1，a2，…，an(2≤n≤S)之和，且a1≤a2≤…≤an，用所有满足上述条件的数组a1，a2，…，an组成集合ΩS={a|a=(a1,a2,…,an)}.对于a=(a1,a2,…,an)∈ΩS，记T1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】8

12.【答案】2

13.【答案】30

14.【答案】60°2

15.【答案】①②④

16.【答案】5

55

17.【答案】取A1C1中点G，连接FG，CG，

因为A1G=GC1，B1F=FC1，

所以GF为△A1B1C1的中位线，则GF//A1B1，

又GF⊄平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，

所以GF/​/平面A1B1E，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，

又A1G=GC1，AE=EC，

所以A1G//EC且A1G=EC，

所以四边形A1GCE为平行四边形，则A1E//GC，

又GC⊄平面A1B1E，A1E⊂平面A118.【答案】710

2325

19.【答案】A=π3

选条件①(或条件③)时最长边上的高为5320.【答案】因为底面ABCD是菱形，所以CD/​/AB，而CD⊄面ABEF，AB⊂面ABEF，可得CD/​/面ABEF，又因为CD⊂面PCD，面PCD∩面ABEF=EF，所以CD/​/EF，因为E是棱PC的中点，所以F是棱PD的中点

设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点，AC⊥BD，因为E是棱PC的中点，所以OE/​/PA.因为PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，又AC⊂面ABCD，可得OE⊥AC，因为OE⊥AC，AC⊥BD，BD，OE⊂面BDE，所以AC⊥平面BDE

221.【答案】a1=(1,1,3)，a2=(1,2,2)，a3=(1,4)，a4=(2,3)

证明：因为ai，ai+1均为正整数，且1<ai<ai+1，

所以ai+1−ai−1≥0.又(ai+1−1)(ai+1)−a