山东省济南市历城区2025-2026学年八年级下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题一、单选题1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（

）A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A．B．C．D．3．若分式的值为0，则x的值为（）．A．0 B．1 C．﹣1 D．±14．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（

）A． B． C． D．7．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，过点A作交于点M，则长为（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（）A． B． C． D．10．济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成且，射出的红色光线形成且，点B，D，C，E在同一条直线上．若，，则两片光束重叠部分即的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题11．分解因式：_____．12．如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____．13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______．14．李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者．一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者．”张斌说：“我不是记者．”王大为说：“李志明说了假话．”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么___________是记者．15．如图，，，，，，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为__________．三、解答题16．解不等式组：，并写出它的所有整数解．17．先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值．18．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：．19．解方程：(1)；(2)．20．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同．(1)求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？(2)学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且．(1)线段的长度为______________．(2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段．①在图中画出线段（其中为的对应点），②四边形的面积是______________．(3)在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等．22．已知关于的方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值．23．生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发现．当图形里的“点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天．请运用平移转化的思想观察并解决以下几个问题：【观察思考】政府准备在一块长米，宽米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两种方案：方案一（图1），小路为宽度米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形；方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移米恰好与右边线重合．(1)分别设方案一和方案二的草地面积为，，则：①=________（用含，的代数式表示），②_________（填“”、“”或“”）．【类比思考】(2)如图3，在中，，，，．涂色三角形的面积是________．(3)如图4，大正方形的边长是，梯形的面积是，求涂色正方形的面积是多少平方厘米？24．阅读材料，并解决问题．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为．【类比迁移】(1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即（）；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个正根为；【拓展应用】(2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根．【思维提升】(3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________．25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，点在轴上，对角线，且，两条对角线交于点，动点在轴正半轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．(1)求点的坐标；(2)当点在第四象限时（如图1），求证：；(3)是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．参考答案1．A【详解】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义只有A选项符合．2．B【详解】解：A．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合因式分解定义，C．结果不是整式乘积的形式，不符合定义，D．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合定义，B．将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义．∴答案选B．3．B【详解】解：∵分式的值为零，∴，解得：x=1，故选B．4．A【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．故选：A．5．D【详解】解：由图象知：时，直线在直线的上方，∴的不等式的解为：，故选：D．6．C【详解】解：由旋转的性质可知：，∴7．D【详解】解：∵垂下的长度为，∴台布的长为，宽为，又∵台布的面积是桌面面积的2倍，∴．故选：D．8．D【详解】解：连接，设交于点O，由作图过程可知，，，，四边形为平行四边形，∴，，，，，四边形为平行四边形．，四边形为菱形，，，∵，∴，．9．D【详解】解：如图，顶点A，B的坐标分别为和，，，，，，，为的中点，四边形是平行四边形，是的中位线，，，由平移的性质可知：，向右平移距离的距离为，平移后点E的坐标为：故选：D10．A【详解】解：在上取点，连接，使，则∵，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴是等边三角形，即，过点作，垂足为，∴，，∵，．11．【详解】，故填12．/48度【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边，∴，，∴．13．【详解】解：如图，连接，∵的垂直平分线分别交，于点，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．14．张斌【详解】解：假设李志明说真话，则李志明是记者，因为只有一人是记者，所以张斌不是记者，那么张斌也是真话，故矛盾；假设张斌说真话，那么李志明说的应为假话，王大为说李志明说了假话，那么王大为说了真话，也矛盾；假设王大为的话为真，则李志明说了假话，故李志明不是记者；因只有一句真话，故张斌的话为假，故张斌是记者；此时李志明不是记者，张斌是记者，则王大为不是记者，且只有王大为的话为真，李志明和张斌的话均为假，符合条件，故张斌是记者．故答案为：张斌．15．【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，∵点，分别为，的中点，∴为的中位线，∴．16．，整数解为和【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，．∴整数解为和．17．，．【详解】原式分式的分母不能为0解得：m不能为，0，3则选代入得：原式．18．证明：∵四边形是菱形，∴，∵，且，∴，∴，∴．【详解】略19．(1)(2)，【详解】（1）解：，方程两边同时乘以得，，移项并合并同类项得，解得，检验：当时，，故是原分式方程的解；（2）解：，，，，解得，．20．(1)A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元(2)购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170【详解】（1）解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，，整理得，，解得，经检验：是原分式方程的解，，答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；（2）解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元，根据题意得：，

解得，所以m得最大值为66，，∵∴w随m增大而减小∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把．答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170．21．(1)(2)①如图，为所求②22.5(3)4【详解】（1）解：；（2）解：①略②四边形的面积（3）解：如图，在图中的网格内存在4个格点，到两边所在直线的距离相等．22．(1)证明：方程中，，，所以，该方程总有两个实数根．(2)【详解】（1）略（2）解：由题意得：，，．23．(1)①，②(2)(3)【详解】（1）解：长方形的长为米，宽为米，小路的宽度为米，方案一草地的面积是平方米，由平移可知，方案二草地的面积是平方米，；（2）解：如下图所示，连接，，，，；（3）解：设正方形的边长是，则，梯形的高为，，解得：，正方形的面积是24．(1)；；(2)1或3(3)6【详解】（1）解：，第一步：将原方程变为，即；第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个正根为；（2）解：∵，∴，∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，∴，，解得：，，当时，，∴，解得，∴方程的一个正根为1；当时，，∴，，方程的一个正根为3；综上所述，方程的一个正根为1或3；（3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，∵小正方形的面积为4，，∴，①，∵，∴根据大正方形的面积可得新的方程：，∴②，②①得，解得，将代入①得，解得．25．(1)(2)证明：由翻折得，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为或【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，对角线长是8个单位长度，∴，过点D作于G，如图，则，∵，∴，∴