暑假新高三衔接预习 专题07函数模型(教师版)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题07函数模型基础知识复习1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax【知识拓展】1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).典型习题强化1．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足Xn=X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNAA．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【解析】由题意知X0=0.1，Xn=10，令10=故选：B.2．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0（I0约为10−12，单位：Wm2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（单位：贝尔），即L=A．10米 B．20米 C．50米 D．100米【答案】B【解析】设甲游客的声强为I1，大喝一声激起的涌泉最高高度为x乙游客的声强为I2，大喝一声激起的涌泉最高高度为x则x1+10两式相减得x1甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为20米．故选：B.3．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅lnMm计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，mA．5790m/s B．6219m/s C．6442m/s D．6689m/s【答案】C【解析】v=v故选：C．4．施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公式为：T=P−MN（T：工程预付款起扣点，P：承包工程合同总额，M：工程预付款数额，A．12% B．15% C．18% D．21%【答案】B【解析】解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的x%则由T=P−MN，得160=故选：B．5．某大型家电商场，在一周内，计划销售A、B两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货B至少2台，而销售A、B的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、B的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B电器的总利润（利润=售价−进价）的最大值为（

）A．1.2万元 B．2.8万元 C．1.6万元 D．1.4万元【答案】D【解析】设该卖场在一周内进货B的台数为x台，则一周内进货A的台数为6−x设该卖场在一周内销售A、B电器的利润为y万元，由题意可得x≥2x≤26−xy=0.2函数y=0.05x+1.2随着x故选：D.6．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mlnt+a，a>0A．4.0天 B．4.3天 C．4.7天 D．5.1天【答案】C【解析】由已知mln(1+a)=0.4mln(3因为a>0，故解得a=设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t+1)所以ln(t+1)ln2=10.4，2ln(t+故选：C．7．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv=velnm0m1，其中△v为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭A．15% B．30% C．35% D．39%【答案】D【解析】由题意，当m0m1当m0m1所以△v故选：D.8．如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan∠APB=531，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点QA．55 B．56 C．102【答案】B【解析】设AB=x，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25，BH=所以tan∠BPH=BHHP所以tan∠APH=又tan∠APH=AHPH=AB+BHPH=设QH=ℎ，ℎ∈0,25，则AQ=BQ=QH2有cos∠AQB=令m=ℎ2+所以cos∠AQB=因为150≤m≤775，所以1775即cos∠AQB=1−即−3750m2令t=1m∈所以ft的对称轴为：t=1300，所以ft在所以当t=1300时，ft取得最大值，即∠AQB最大，此时1所以ℎ2=150，所以ℎ=则射门时甲离上方端线的距离为：56故选：B.9．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t10A．7 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】由题意知：当t=0时，y=0.05+λ=0.25，解得：令y=0.05+0.2e−∴t>6.93，∴所需时间t（单位：分钟）的最小整数值为7故选：A.10．充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：kW⋅h）与充电时间t（单位：min）满足函数Et=M1−e−kt，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80kW⋅h，充电30min充入了40kW⋅h的电量；电池B的容量为60kW⋅A．k1>k2 B．k1<k【答案】B【解析】由题意得40=80(1−同理20=60(1−e−由指数函数单调性得−30k2故选：B11．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r>0），劳累程度T（0<T<1），劳动动机b（1<b<5A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高【答案】BCD【解析】设甲与乙的工人工作效率E1,E2，工作年限r1对于A，r1=r2，E1∴E1−ET2所以T2对于B，b1=b2，∴E1−E∴T2所以T2对于C，T1=T2，∴1>b2则E1∴E1对于D，b1=b2，r1>∴b2−0.14则E1∴E1故选：BCD.12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数fx的边际函数Mfx定义为Mfx=fx+1−fx．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台A．Px取得最大值时每月产量为63B．边际利润函数的表达式为MPC．利润函数Px与边际利润函数MPD．边际利润函数MPx【答案】BCD【解析】对于A选项，Px二次函数Px的图象开口向下，对称轴为直线x=因为x∈N∗，所以，Px取得最大值时每月产量为63对于B选项，MP=2480对于C选项，Px因为函数MPx=2480对于D选项，因为函数MPx说明边际利润函数MPx故选：BCD.13．函数fx在a,b上有定义，若对任意x1，x2∈a,b，有fx1+xA．fx在1,2021B．fx2在1,2021C．对任意x1，x2，x3，D．若fx在x=1011处取得最小值1011，则f【答案】AB【解析】对于A，设fx=lgx,1≤x<2021对于B，设fx=x，在1,2021上具有性质M，但fx2=对于C，f≥1对于D，由性质M得，当x∈1,2021时，fx+f2022−x≤2f1011故选：AB14．某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.【答案】61.6##308【解析】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为70+他们分别支付应付款为70+280×故小敏需要给小昭70−故答案为：61.6.15．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离S1（单位：m）关于车速v（单位：m/s）的函数模型为S1=0.7584v；刹车距离S2（单位：m）关于车速v（单位：m/s）的函数模型为S2【答案】3.9【解析】解：依题意当小汽车最大限速v=50km/h（约14m/s反应距离S1=0.7584所以停车距离为10.6176+又路口宽度为30m，所以s=24.7296所以时间t=s故答案为：3.916．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0<T<已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②④【解析】设甲与乙的工人工作效率E1,E2，工作年限r1对于①，b1=b2，r1>∴b2−0.14则E1∴E1>E对于②，T1=T2，∴1>b2则E1∴E1>E对于③，r1=r2，E1∴E1−ET2所以T2>T对于④，b1=b2，∴E1−E∴T2所以T2>T故答案为：①②④.17．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex（e为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价(1)求k的值；(2)求分公司经营该产品一年的利润Lx（万元）与每件产品的售价x(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润Lx最大，并求出L【答案】(1)k=(2)L(3)36元，最大值为500【解析】(1)由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件即ke40=(2)LL(3)L'令L'x<0，36<x≤∴Lx在区间35,36上为增函数，35,36即x=36时，∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为50018．运货卡车以x千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为(24+(1)求这次行车总费用y(元)关于x(千米/时)的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值．【答案】(1)y=(2)当x=70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600【解析】(1)解：行车所用时间t=300x(ℎ)所以行车总费用为：y=300(2)因为y=21000当且仅当21000x=30所以当x=70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为60019．石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA级旅游景区，全国重点文物保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一.近期石宝寨景区为提高经济效益，拟投入资金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收y（单位：万元）与投