暑假新高三衔接预习 专题08导数的概念、运算与几何意义(教师版)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题08导数的概念、运算与几何意义基础知识复习1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．典型习题强化1．已知fx是定义在R上的可导函数，若limΔx→A．0 B．2 C．12 D．【答案】D【解析】由导数的定义，可得f'故选：D2．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f2A．f'(1)<a<f'(2)C．f'(2)<f'(1)【答案】A【解析】因为1,2函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，又f(2)−f(1)故选：A3．已知函数fx的导函数为f'x，且满足fxA．−e B．−1 C．1 【答案】B【解析】由题意，函数fx=2所以f'1=2故选：B.4．下列求导运算正确的是（

）A．cosπ3'C．lnx'=【答案】C【解析】解：对于A：cosπ对于B：ex对于C：lnx对于D：3x故选：C5．已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】设切点为(xy=ln(x+b)由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，令1x则y0=ln(1代入y=x−a，得a+b=1∵a、b为正实数，则1a当且仅当a=13，b=2故选：B6．曲线y=x3+A．y=3x+3 B．y=3x+1【答案】A【解析】∵y=f∴f'x=3又当x=−1时，a=所以y=x3+1在点(−故选：A.7．已知P是曲线C:y=lnx+x2+3−ax上的一动点，曲线A．23,0 B．22,0 C．【答案】D【解析】因为y=lnx+x因为曲线在M处的切线的倾斜角θ∈π所以y'≥tanπ3即1x+2即a≤2x+1x，又即x=22时，等号成立，故所以a的取值范围是−∞,2故选：D．8．过点P1,mm∈R有n条直线与函数fxA．−5e2<m<e B．−5【答案】B【解析】由fx=xex，f'x=x+1ex，故当x<−1时，f'x<0，fx此时，设切点坐标为x0,y0，则切线斜率k=x0+1⋅ex0，所以切线方程为y−x0ex0=x0+1⋅ex0x−故选：B9．若函数y=fx的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y=fx在这两点处的切线重合，则称函数A．y=lnx+x C．y=x−cosx 【答案】D【解析】对于A，C，函数都不是奇函数，故排除.若曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B，y'=3x2，若斜率相同，则切点A(x0，x03)，B(−x0，−x03)，代入解得切线方程分别为y=故选：D．10．若直线y=k1x+1−1与曲线y=eA．12 B．1 C．e D．【答案】B【解析】设直线f=k1x+1−直线y=k2x+1−则k1=ex1k2=1x2令fx=xln当x∈0,1e时，f'当x∈1e,+∞时，且f1=0，limx→0因为fx2=x2所以x2所以x2=故选：B11．过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l1,l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线lA．P1、P2两点的横坐标之积为定值B．直线P1P2的斜率为定值C．线段AB的长度为定值D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]【答案】ABC【解析】因为y=ln所以，当0<x<1时，y'=−1x；当不妨设点P1，P2的横坐标分别为x1若0<x1<x2≤1时，直线l1若x2>x1≥1时，则直线l1，l所以0<x1≤1<x由题意可得k1k2若x1=1，则x2=1；若对于选项B，易知点P1x1所以，直线P1P2对于选项C，直线l1的方程为y+lnx1=−1x直线l2的方程为y−lnx2=1x所以，AB=对于选项D，联立{y=−1x令fx=2xx所以，函数fx在0,1上单调递增，则当x∈0,1时，所以，S△ABP故选：ABC.12．若曲线fx=xsinx−1A．f'x=sinC．f'π=−π【答案】BCD【解析】选项A，已知曲线fx=xsin选项B，已知曲线fx=xsin选项C，因为f'x=sin选项D，直线ax+2y+1=0的斜率为−a2，而f'π=−π，由已知，曲线故选：BCD.13．设函数fx=x2+ax+ae−xa∈R的导函数f'x存在两个零点x1、xA．曲线C1恒在xB．曲线C1与CC．对于任意的实数t，直线y=t与曲线C1D．存在实数m，使得曲线C1、C2分布在直线【答案】AD【解析】对于A选项，因为fx=x令f'x=0可得x=因为函数f'x存在两个零点x1、x2x1当2−a<0时，即当a>2时，x当2−a>0时，即当a<2时，x则曲线C1为函数gx=且当x>0时，gx=x+2对于B选项，当2−a<0时，即当a>2则fx当2−a>0时，即当a<2时，所以，曲线C2为函数ℎx=由图可知，曲线C1、C对于C选项，对于函数gx=x+此时函数gx在0,+∞上单调递减，且结合图象可知，当m≤0时，直线y=t与曲线C对于D选项，对于函数φx=x+2e又因为φ0=2，所以，曲线y=φx在x=0构造函数px=x+p'x令mx=e当x<0时，m'x当x>0时，m'x所以，mx≥m0=0所以，函数px在R当x<0时，px<p当x>0时，px>p所以，曲线C1、C2分布在直线故选：AD.14．已知函数fx=xlnx−ax2+x【答案】12,0【解析】函数fx=xln由fx=xlnx−ax又f1=1−a，则曲线y=fx在点1,即y=21−ax−1所以直线l恒过定点12故答案为：1215．已知f(x)【答案】y=x【解析】因为f所以f'(所以f'(1)∴切线方程为y−1=x−1故答案为：y=x.16．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________.【答案】(0,【解析】函数y=2x3−3可得切线方程为y−2又切线过点P(0，a)代入得a−24x令fx=4当x<0或x>12当0<x<12可得函数的极大值为f0=a，极小值为f12=a−14故答案为：(0,117．已知函数fx(1)求函数fx的图象在x=(2)判断函数fx【答案】(1)y=x+(2)fx在区间−【解析】(1)f'(x所以函数fx的图象在x=0处的切线方程为即y=x+1(2)设gx=f'x①当x∈−1,π2时，且g0=f'0由零点存在定理可知，在区间−1,π2存在唯一的又当x∈−1,α时，gx=f'所以fx=cos且f0=1所以fx在−当x∈α,π2时，所以fx在α②当x∈πg'x单调递增，g'π2所以g'x在区间π2,当x∈π2,β时，当x∈β,π时，g'在区间π2,β上g'且gπ2=f'π2<0由g'β=0所以fβ当x∈β,π时，g'又g'5π6g5π6所以存在γ∈5π6,π，使gγ=此时fγ所以fx在π③当x∈π,+∞所以fx=cosx+ln综上fx在区间−18．已知fx(1)当a=1时，求f'(2)当f'2=1(3)fx在1,f1处的切线与直线2【答案】(1)f'(2)a=(3)1【解析】(1)解：当a=1时，fx(2)解：由题知f'x因为f'2=1，所以所以a=(3)解：由（2）知f'x因为fx在1,f1所以f'1=a+1此时f1=−1，切线方程为：满足与直线2x−y=所以a=119．已知函数fx(1)若a=1时，求曲线fx在点(2)若函数fx有两个零点，求a【答案】(1)1(2)0,【解析】(1)