小升初数学衔接 第10讲 有理数的乘方（知识讲练）（学生版）（北师大版）

1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.(重点）2.能够正确进行有理数的乘方运算.（难点）新课导入新课导入手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端用力拉长,然后将长条对折,再拉长,再对折,每次对折称为一扣,如此反复操作,连续扣六七次后便成了许多细细的面条.假如拉扣了10次,你能算出共有多少根面条吗?2捏合前2捏一次后2×22×2捏两次后2×2×22×2×2捏三次后问题：捏合10次后可拉成几根面条？请用算式表示.2×2×2×2×2×2×2×2×2×22×2×...×2100思考：捏合100次后可拉成几根面条？请用算式表示.算式中有几个22×2×...×2100想一想：在这个乘积中有100个2相乘，这么长的算式有简单的记法吗？

【归纳总结】a×a×……×a=ann个一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“aa×a×……×a=ann个这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！（1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方)【例题1】(1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____.表示__个相乘，读作的__次方，也读作的次幂，其中叫做，6叫做.【例题2】(1)(-(1)(-4)3；(2)(-2)4；(3)你发现负数的幂的正负有什么规律？解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64；(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；【归纳总结】根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.【例题3】你能迅速的判断下列各幂的正负吗？【例题4】口答（1）13（2）12018（3）(-1)8（4）(-1)2018（5）(-1)7（6）(-1)2017【归纳总结】（1）1的任何次幂都为1；（2）-1的幂很有规律：-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1.注意：当底数是负数或分数时，底数一定要加上括号，这也是辨认底数的方法.【例题5】填一填观察上述结果，你发现了什么规律？【归纳总结】1.底数为10的幂的特点：10的几次幂，1的后面就有几个0.2.有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的偶数次幂是正数,奇数次幂是负数.3.互为相反数的相同偶次幂相等，相同奇次幂互为相反数.【例题6】议一议：(-3)2与-32有什么不同？结果相等吗？注意：底数是负数或分数时，必须加上括号.趣味阅读两个人打赌谁得到的钱多，甲对乙说：我从明天开始，每天给你100元，而你第一天只需给我1元钱，以后你每天给我的钱是前一天的2倍，时间为11天,乙欣然同意了.你觉得，最后谁得到的钱多呢？考点01：有理数的乘方【典例分析01】（2022秋•邹平市期末）若|a|＝3，b2＝196，且ab＜0，则a﹣b的值是﹣17或17．【思路点拨】根据绝对值、平方的性质、有理数乘法的符号关系即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．【规范解答】解：∵|a|＝3，∴a＝±3，∵b2＝196，∴b＝±14，∵ab＜0，∴a，b异号，∴当a＝3时，b＝﹣14，a﹣b＝3﹣（﹣14）＝17，∴当a＝﹣3时，b＝14，a﹣b＝﹣3﹣14＝﹣17，故答案为：17或﹣17．【考点评析】本题主要考查了有理数乘方，平方根和绝对值的定义以及代数式的求值问题．解决此类题目的关键是要先根据条件确定代数式中字母的值才能求出代数式的值．【典例分析02】（2022秋•昆明期末）数|﹣2|，﹣1.04，﹣9，0，﹣（﹣2）2，，属于整数的是|﹣2|，﹣9，0，﹣（﹣2）2．【思路点拨】根据绝对值的定义和有理数的乘方运算计算，再判断出整数．【规范解答】解：|﹣2|＝2，﹣1.04，﹣9，0，﹣（﹣2）2＝﹣4，，整数有|﹣2|＝2，﹣9，0，﹣（﹣2）2＝﹣4．故答案为：|﹣2|，﹣9，0，﹣（﹣2）2．【考点评析】本题考查了有理数的乘方、绝对值，整数的定义，解题的关键是掌握有理数的乘方、绝对值的定义，整数的定义．【举一反三01】（2022秋•魏都区校级期末）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结．（1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空．①|﹣2|＝2，|2|＝2：②（﹣3）2＝9，32＝9；③若|x|＝4，则x＝；④若x2＝16，则x＝4；（2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有个，它们互为；平方等于一个正数的数有个，它们互为；（3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，求x+y的值．【举一反三02】（2022秋•河北期末）已知P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣）．（1）当n＝100，m＝﹣2时，求P的值；（2）当n＝101，m＝3时，求P的值．考点02：非负数的性质：偶次方【典例分析03】（2022秋•桥西区校级期末）有理数x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023的值为﹣1．【思路点拨】根据非负数的性质进行计算即可．【规范解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝2，y＝﹣3，∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．【典例分析04】（2022秋•郫都区校级期末）如果（a﹣3）2+|b+4|＝0，则（a+b）7＝﹣1．【思路点拨】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【规范解答】解：根据题意得，a﹣3＝0，b+4＝0，解得a＝3，b＝﹣4，所以，（a+b）7＝（3﹣4）7＝﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【举一反三03】（2022秋•上高县校级月考）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，试求（x+y）2+x3．【举一反三04】（2021秋•五常市期末）已知x，y满足等式|x﹣1|+（y﹣2）2＝0，求的值．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•绥棱县校级期末）在下列各数中：，﹣|﹣3|，负数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2022秋•未央区校级期末）下列四组数相等的是（）A．﹣42和（﹣4）2 B．﹣23和（﹣2）3 C．（﹣1）2020和（﹣1）2021 D．和3．（2022秋•保定期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（b+a）2021的值是（）A．1 B．﹣2021 C．﹣1 D．20214．（2022秋•大名县期末）如果|a|＝2，b2＝9，且a＜b，那么a﹣b的值为（）A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或55．（2022秋•鞍山期末）已知3.42＝11.56，则计算（﹣0.34）2的结果是（）A．1156 B．﹣0.1156 C．0.1156 D．一0.011566．（2022秋•金华期末）下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（）A．指数是2 B．底数是﹣3 C．幂为﹣9 D．表示2个﹣3相乘二．填空题（共6小题）7．（2022秋•上杭县期末）若|x+2|与（y﹣3）2互为相反数，则xy的值为．8．（2023•宁江区三模）a是最大的负整数，a2022＝．9．（2022秋•惠来县期末）若|x﹣1|+（y+2）2＝0，则（x+y）3＝．10．（2023•武山县一模）阅读材料：如果ab＝N（a＞0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN．例如23＝8，则log28＝3．根据材料填空：log464＝．11．（2022秋•香洲区期末）（﹣2）3的计算结果等于．12．（2022秋•荔湾区校级期末）若，则x+y的值是．三．解答题（共5小题）13．（2022秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．14．（2022秋•中山市期中）把下列各数的序号填在相应的数集内：①+108，②﹣，③+3.2，④0，⑤﹣6.5，⑥﹣（﹣2）2，⑦﹣|﹣6|．（1）正数集合{…}；（2）整数集合{…}；（3）负分数集合{…}；（4）非负整数集合{…}．15．（2022秋•覃塘区期中）（1）算一算，再选“＜、＞或＝”填空：①（3×5）232×52；②[（﹣2）×3]2（﹣2）2×32．（2）想一想：（ab）n＝．（3）利用上述结论，求（﹣8）2022×0.1252021．（2022秋•旌阳区校级月考）已知（a﹣1）2016+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，求的值．17．（2022秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4通过观察上面的计算过程，完成以下问题：（1）计算：22022×32022＝；猜想：an•5n＝；（2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•顺庆区校级期中）计算（﹣3）2÷4×的结果是（）A．﹣9 B．9 C． D．2．（2019秋•绥棱县期末）﹣33的结果是（）A．+9 B．﹣9 C．±9 D．﹣273．（2020•张家港市校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．6858 B．6860 C．9260 D．92624．（2023•东莞市校级一模）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．95．（2019秋•济南期中）若﹣a2b＞0，且a＜0，则下列式子成立的是（）A．a2+ab＞0 B．a+b＞0 C．ab2＞0 D．＞06．（2018秋•淮安期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共5小题）7．（2021秋•弋江区期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b＝．8．（2022秋•尤溪县期中）在中，底数是，结果是．9．（2021秋•农安县期末）1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．10．（2022秋•浠水县期中）若（a﹣1）2+|b+5|＝0，那么a＝，b＝．11．计算13+23+33+43+…+993+1003的值是．三．解答题（共6小题）12．（2022春•康县期末）已知|a|＝3，b2＝25，且a＜0，求a﹣b的值．13．（2021秋•安居区期末）观察下列各式：…（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；（2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．14．（2018秋•奉化区期中）阅读下列各式：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4，（a×b）5＝a5×b5…回答下列三个问题：（1）猜想：（a×b）n＝．（2）请用我们学过的知识说明上式成立的理由．（3）请计算：（﹣0.125）2019×22018×4201715．（2017秋•广丰区期末）已知x、y满足关系（x﹣2）2+|y+2|＝0，求yx的值．16．（2017秋•永城市期中）由乘方的意义可知，（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）3，反过来，（﹣2）3＝（﹣2）×