巩固练01 三角形的证明-【衔接教材·暑假作业】八年级数学（北师大版）（解析版）

巩固练01三角形的证明一、单选题1．（·山东初二期末）如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出∠B=∠C=40°，根据线段垂直平分线得出BD=AD，AE=CE，推出∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，即可求出∠DAE．解：∵∠BAC=100°，AC=AB，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=40°，∵DM、EN分别是边AB和AC的垂直平分线，∴BD=AD，AE=CE，∴∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，∴∠DAE=100°﹣40°﹣40°=20°，故选C．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．2．（·湖北初二期末）如图，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【答案】C【解析】①△BDC≌△CEB，根据等边对等角得：∠ABC＝∠ACB，由高得：∠BDC＝∠CEB＝90°，所以利用AAS可证明全等；②△BEO≌△CDO，加上对顶角相等，利用AAS可证明全等；③△AEO≌△ADO，根据HL可证明全等；④△ABF≌△ACF，根据SAS可证明全等；⑤△BOF≌△COF，根据等腰三角形三线合一的性质得：BF＝FC，∠AFB＝∠AFC，利用SAS可证明全等；⑥△AOB≌△AOC，根据SAS可证明全等；⑦△ABD≌△ACE，利用AAS可证明全等．【详解】解：有7对全等三角形：①△BDC≌△CEB，理由是：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD和CE是两腰上的高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△BDC和△CEB中，∴△BDC≌△CEB（AAS），∴BE＝DC，②△BEO≌△CDO，理由是：在△BEO和△CDO中，∴△BEO≌△CDO（AAS），③△AEO≌△ADO，理由是：由△BEO≌△CDO得：EO＝DO，在Rt△AEO和Rt△ADO中，∴Rt△AEO≌Rt△ADO（HL），∴∠EAO＝∠DAO，④△ABF≌△ACF，理由是：在△ABF和△ACF中，∴△ABF≌△ACF（SAS），⑤△BOF≌△COF，理由是：∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAF，∴BF＝FC，∠AFB＝∠AFC，在△BOF和△COF中，∴△BOF≌△COF（SAS），⑥△AOB≌△AOC，理由是：在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SAS），⑦△ABD≌△ACE，理由是：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，要书写三角形全等时要按顺序书写，才能做到不重不漏．3．（·上海初三专题练习）如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．斜三角形【答案】B【解析】本题根据已知条件可以通过证明三角形全等得出三角形的形状，注意：有效利用“等角对等边”．【详解】如图，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°，∵在△BDE和△CDF，BD＝CD，DE＝DF，∴△DBE≌△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴这个三角形一定是等腰三角形．故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定；解题中两次运用了全等三角形的判定与性质及等量加等量和相等是比较关健的．4．（·全国初三专题练习）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A．44°B．34°C．54°D．64°【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．5．（·新疆兵团第一师阿拉尔中学初二期末）在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是()A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】由三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可作出判断.【详解】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，∴∠A+∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；故选择：A.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确求出∠C的度数，是一个基础题．6．（·河南初二期中）如图，AC＝AD，BC＝BD，则（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．CD平分∠ACB D．以上结论均不对【答案】A【解析】利用SSS证明△ABC≌△ABD，可得∠CAB＝∠DAB，利用等腰三角形三线合一的性质可得结论.【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD（SSS）∴∠CAB＝∠DAB，且AC＝AD，∴AB垂直平分CD，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形三线合一的性质，利用等腰三角形三线合一判定中垂线是关键.7．（·江苏初二期中）如图，△ABC中，D为BC上一点，△ABD的周长为12cm，DE是线段AC的垂直平分线，AE＝5cm，则△ABC的周长是（

）A．17cm B．22cm C．29cm D．32cm【答案】B【解析】试题分析：因为是的垂直平分线，所以，，而，所以，而，，所以考点：垂直平分线性质点评：本题着重点在于求出，即利用垂直平分线的特殊性质8．（·贵州初二期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，，，则为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，先求出∠BAC=90°，则得到∠CAF=45°，由垂直平分线定理，得到∠EAD=∠C=30°，即可得到.【详解】解：在中，，，∴，∵平分，∴；∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAD=∠C=30°，∴；故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学性质定理进行解题.9．（·广东初二期末）如图，是的角平分线，，垂足分别为点，若和的面积分别为和，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=50−39=11，S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5.故选C.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线10．（·天津初二期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若DC＝4，则DE＝（）A．3 B．5 C．4 D．6【答案】C【解析】先根据角平分线的性质，得出DE＝DC，再根据DC＝4，即可得到DE＝4．【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE＝DC，∵DC＝4，∴DE＝4，故选：C．【点睛】本题考查角平分线定理，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题关键.二、填空题（每小题4分，共20分)11．（·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初二期中）若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为_______.【答案】50°或80°【解析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC,有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-50°-50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为50°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．12．（·山东初二期末）下列四组数:①5，12，13:②7，24，25:③1，2，4:④5，6，8·其中可以作为直角三角形三边长的有_________(把所有你认为正确的序号都写上)【答案】①②【解析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2＋b2＝c2时，则三角形为直角三角形，据此可解本题．【详解】解：①52＋122＝132，能构成直角三角形；②72＋242＝252，能构成直角三角形；③12＋22≠42，不能构成直角三角形；④52＋62≠82，不能构成直角三角形，所以可以作为直角三角形三边长的有①②，故答案为：①②．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．13．（·全国初三专题练习）如图，在中，，，平分交于点，于点.若，则的周长为______.【答案】10.【解析】依题意可证△BDE≌△BDC，则有DE=DC，BE=BC，故DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB，再根据AB长即可得出结论．【详解】∵BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90°，BD=BD，∴△BDE≌△BDC（AAS），∴DE=DC，BE=BC，∴△ADE的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10cm．故答案为：10.【点睛】此题考查角平分线性质，全等三角形的性质运用．解题关键是根据性质得出相等的线段，再将周长进行转化．14．（·河北初二期末）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE=40°，则∠ABC=_______．【答案】65°【解析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵DE是AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，∴∠AED＝90°．又∵∠ADE＝40°，∴∠A＝50°．又∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°－50°）÷2=65°．故答案为65°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．15．（·贵州初二期末）如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，