函数概念的发展历程-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的发展史—历经300年、7次扩张1math9527Yao函数产生的背景2math9527Yao

自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家们共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?

还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家们力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。

诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这正是函数产生和发展的背景。张三为什么叫“张三”、函数为什么叫“函数”3math9527Yao4math9527Yao几何观念下的函数代数概念下的函数对应关系下的函数集合论下的函数17世纪18世纪20世纪现代19世纪教材中函数概念函数“function”概念的发展历程5math9527Yao几何观念下的函数：17世纪末(1673年)，德国天才数学家莱布尼兹首先用“function”一词来表达“函数”的意思。莱布尼兹G．W．Leibniz1646－1716德国数学家笛卡尔Descartes1596-1650法国数学家思考：函数用图像表示的优点、缺点是什么？函数的起源6math9527Yao李善兰1811－1882清朝数学家

在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代微积拾积》中首次将“function”译做“函数”．凡式中含天，为天之函数。问题：在中国，又是谁最先将“function”译做“函数”呢？“函”的含义：信函7math9527Yao几何观念下的函数代数概念下的函数对应关系下的函数集合论下的函数教材中函数概念函数概念的发展历程18世纪17世纪19世纪20世纪现代8math9527Yao

代数观念下的函数：1718年，瑞士数学家约翰·伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”约翰·伯努利（BernoulliJohan）1667-1748瑞士数学家1718年--函数定义：变量的函数是由任意变量x和常数的所组成的一个式子强调函数用式子表示欧拉L．Euler1707－1783瑞士数学家1734年--引入现在的函数符号f(x)1748年--由这个变量和一些数或常数以任何方式组成的解析表达式。

欧拉给出的函数定义比约翰·伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义。9math9527Yao探究：

代数观念下的函数函数有哪些表达形式？解析式是判断函数的标准吗？请举例说明任意一个函数的两个变量之间都存在依赖关系吗？“依赖”这个词更换一下，你觉得用哪个词语好呢？问1问2问3问410math9527Yao解析式是判断函数的标准吗？请举例说明问1空气质量指数与时间构成函数关系节气与时间构成函数关系11math9527Yao探究：

代数观念下的函数函数有哪些表达形式？解析式是判断函数的标准吗？请举例说明任意一个函数的两个变量之间都存在依赖关系吗？“依赖”这个词更换一下，你觉得用哪个词语好呢？问1问2问3问4解析式、图像、表格常函数“对应”12math9527Yao任意一个函数的两个变量之间都存在依赖关系吗？问3

1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”问题：是不是一个函数？说明理由。

变量依赖关系下的函数概念：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。13math9527Yao几何观念下的函数代数概念下的函数对应关系下的函数集合论下的函数教材中函数概念函数概念的发展历程18世纪17世纪19世纪20世纪现代函数概念的发展历程14math9527Yao傅里叶Fourier1768---1830法国数学家柯西Cauchy1789-1857法国科学家15math9527Yao1822年傅里叶发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论傅里叶Fourier1768---1830法国数学家1823年在函数的定义中引入自变量的概念给定一个变量中的一个值，就可以决定其他变量的值，这个量就是自变量，由自变量表示的其他量称为自变量的函数函数的演变--对应关系下的函数16math9527Yao狄利克雷P.G.L.Dirichlet1805－1859德国数学家总结：函数不一定能用函数解析式来表达，只要两个变量之间有依赖关系，那就是函数，反映了函数概念中蕴含的辩证思想，体现了从自变到因变的过程背景：1829年，德国数学家狄利克雷因为傅里叶级数创造了一个新函数：

这个函数用“变量依赖”定义如何解释呢？图象呢？思考:所有的函数都有函数图象吗？函数的演变--对应关系下的函数17math9527Yao狄利克雷P.G.L.Dirichlet1805－1859德国数学家

1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”。

这个定义彻底的抛弃了前述一些定义中解析式、依赖等的束缚，特别强调和突出函数的本质——一一对应思想18math9527Yao黎曼总结：函数对应说摆脱了变量依赖的束缚，将函数概念置于这一更加一般的框架之中，较清楚地说明了函数的内涵，使函数的适用范围更广泛.探究：对应关系下的函数19math9527Yaoy=|x|的等价形式？函数的本质是什么？同一个函数，解析式是否唯一初中所学函数定义能解释吗：y=1,x取任意值问1问2问3问4对应关系不唯一20math9527Yao初中函数的概念

函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式。21math9527Yao几何观念下的函数代数概念下的函数对应关系下的函数集合论下的函数教材中函数概念函数概念的发展历程18世纪17世纪19世纪20世纪现代近代函数概念—集合论下的函数22math9527Yao背景：1874年——康托尔开创了集合论，到20世纪初，集合论的思想渗透到数学各个领域并且现代数学的各个分支几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。康托尔Cantor1845-1918德国数学家

取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出函数的本质1900年的国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就非常兴奋地称：借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。近代函数概念—集合论下的函数23math9527Yao康托Cantor1845-1918德国数学家维布伦（美）Veblen，1880-1960探究：集合论下的函数24math9527Yao能否用集合的语言表示狄利克雷函数问1两个集合间的对应关系：math9527Yao25问题：高中数学中函数又是如何定义的？其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域

探究：函数的三要素math9527Yao26函数的三要素？问1问2如何理解符号y=f()?定义域、值域、对应关系对应关系math9527Yao27从“变量对应关系”到“集合对应关系”

纵观300年来函数概念的发展，因生产、生活以及科学技术的实际需要，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度一次又一次的推翻、重新修正函数的概念，不断赋予函数概念以新的思想，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，推动了整个数学的发展，这与我们学习函数的过程是一样的。总结：从变量对应到集合对应，将函数概念置于集合映射、序偶，这一更加一般的框架之中，摆脱了变量的束缚，使函数的适用范围更广泛.集合对应就是我们高中学习的.math9527Yao28思考与感悟：从数学史的角度来看，初中阶段和高中阶段对函数概念的定义有什么不同？初中：高中：课堂小结math9527Yao29通过本节学习，你收获了什么？谈一下你的感受吧！(知识方面或研究方法方面或者对数学家、数学文化方面的体会、感想)17世纪“几何起源”19世纪“对应观点”18世纪“代数观点