现代数字信号处理-使用MATLAB分析与实现（新形态版）习题及答案 第3章课后题答案

3-1设随机过程xn=i=1Kaicosωin+φi+w(n)，其中，ai和解：对于单个余弦项，其自相关为E[由于φiR对Rx(m)S3-2已知x(n)满足AR(2)模型xn+a1xn-1+a2xn-2解：自相关函数满足Yule-Walker方程：R根据观测数据x(0),…,x(N-1)估计出Rx(0),Rxa3-3二阶AR(2)过程xnx其中，w(n)为均值为0方差为0.5的白噪声。（1）写出该随机过程的Yule-Walker方程；（2）求xn解：（1）Yule-Walker方程根据AR(2)模型的差分方程，可知a1=0,a2=0.78RRR(2)+0⋅R(1)+0.78R(0)=0解得R(0)=RR（2）Var3-4设平稳随机过程xn是由零均值方差为1的白噪声w(n)激励系统函数为HS试求系统函数Hz解：设H(z)最小相位，σwS=有一极点处于单位圆外。为了获得最小相位，需把单位圆外的极点用其倒数代替，这样S设z=ejω，比较标准SxS取全部极零点在单位圆内H(z)，则H(z)=3-5已知平稳随机信号xn的自相关函数值R0=1,R1=0.5,R2=0.5,R3=0.25。现用3阶全极点模型（AR(3)模型）估计它的功率谱，设模型参数b0≠1，w(n)为零均值方差为解：初始化，σ02=R(0)=1p=1：aσp=2：aaσp=3：aaa由于b(0)≠1，则AR(3)系统差分方程为k=03akk=0当m=0，R(0)+代入可得b(0)2σw2=213-6已知某自回归过程的5个观测值为{1,-1,0,-1,1}。（1）利用L-D算法设计一个3阶AR模型，确定模型的参数；（2）利用Burg算法求一阶和二阶反射系数，并画出二阶预测误差滤波器的格型结构图；（3）求该自回归过程的功率谱估计。解：（1）自相关函数R=利用L-D算法可以递推求出3阶AR模型的参数为aAR(3)模型为x(n)=-0.5（2）初始条件：f0n=b0k1阶前、后项预测误差：fb当p=2时k二阶预测误差滤波器的格型结构图为（3）AR(3)模型的功率谱：S(ω)=代入L-D结果，得S(ω)=3-7已知序列xn={4.684,7.247,8.428,8.650,8.640,8.392,7.321}由模型xn=1.7xn-1-0.72xn-2+w(n)产生，其中，w(n)为均值为0解：xn有非零均值，均值μ≈(4.684+7.247+8.428+8.650+8.640+8.392+7.321)/7≈7.623，对xy初始化fσ当p=1时kσ前后向误差fb代入，可得fb当p=2时kaa2σ与真实σw注意，这里估计的a1,a2与真实(-1.7,0.72)3-8一个自回归过程的5个观测值为x（1）用L-D算法设计一个二阶线性预测器，计算各阶线性预测系数、预测误差功率，以及x0和x4的预测值x0（2）用Burg算法计算一阶和二阶反射系数、预测误差功率，以及预测值x0和x4（3）对用上面两种算法求得的预测误差功率、预测值进行比较，看看哪种算法预测更准确些。解：（1）AR模型假设零均值过程，否则Yule-Walker方程不成立。因此，首先对xn去均值，得到去均值后yR可得RRR利用L-D算法，当p=1时σ当p=2时ka对y(n)，二阶y对于y(0)，需要y(-1),y(-2)，假设为0，所以y(0)=0，对于y(4)，预测值y4=-横向结构预测误差滤波器e（2）Burg算法对去均值后数据y(n)，初始f0kkσσyxx二阶格型结构预测误差滤波器的框图（3）在预测精度上，Burg预测x(4)更接近真实值5，误差更小。在预测误差功率上，Burg的σ22远小于L-D，说明模型拟合更好。这是因为3-9随机过程xnx其中，a和ω0是常数且a>0，φ是相互独立并在[0,2π]服从均匀分布的随机相位，w(n)为均值为0方差为σw2R试用Pisarenko谐波分解法确定正弦波的频率ω0、幅度a和白噪声的方差σ解：已知Rx(0)=3,RxR因此RRR求解可得ω3-10设随机信号x(n)是由加性白噪声和两个复正弦信号组成，其三阶自相关矩阵R（1）确定噪声的平均功率；（2）求信号子空间和噪声子空间；（3）判断信号子空间和噪声子空间是否正交；（4）用Pisarenko谐波分解法估计信号频率；（5）用MUSIC方法