5.2.2同角三角函数的基本关系课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版·高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系任意角三角函数的定义01设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x（x≠0）02单位圆的方程为x²+y²=1，这意味着sin²α+cos²α天然满足一个确定的等量关系03三角函数的符号由角α终边所在象限决定：一象限全正，二象限正弦正，三象限正切正，四象限余弦正课前回顾三角函数值的象限符号规律三角函数值的正负由终边所在象限决定，这一规律是后续利用平方关系开方时判断符号的唯一依据，必须牢固掌握。第一象限sinα>0cosα>0

tanα>0三个函数值均为正值一全正第二象限sinα>0cosα<0tanα<0仅正弦为正二正弦第三象限sinα<0cosα<0tanα>0仅正切为正三正切第四象限sinα<0cosα>0tanα<0仅余弦为正四余弦课前回顾1.理解同角三角函数的基本关系的推导过程；2.掌握同角三角函数的基本关系式；3.能利用同角三角函数的基本关系进行求解相关题型.学习目标平方关系：sin²α+cos²α=1由单位圆方程x²+y²=1代入三角函数定义直接得到平方关系式，它揭示了同一角的正弦与余弦之间不可分割的内在约束，是同角三角函数关系的第一基石。01、推导过程点P(x,y)在单位圆上→x²+y²=1→代入sinα=y,cosα=x→sin²α+cos²α=1单位圆代入02、适用范围对任意角α均成立，无论α在哪个象限、是否为特殊角，此等式恒成立∀α恒成立教师点拨03、常用变形sin²α=1−cos²α，cos²α=1−sin²α，实现正弦与余弦之间的相互转化正余互化04、几何本质单位圆上任意一点到原点的距离恒为1，平方关系正是这一几何事实的代数表达距离=1教师点拨

推导过程

坐标定义成立条件

cosα≠0常用变形sinα=tanα·cosα，cosα=sinα/tanα（tanα≠0），可灵活实现三者互化三者互化与平方关系联用将sinα=tanα·cosα代入sin²α+cos²α=1，可推导出含tanα的新等式sin²α+cos²α=1教师点拨基本关系的联用与拓展推导将平方关系与商数关系联立，可推导出等重要变形，实现"知一求二"——仅凭一个三角函数值就能求出同角的其余三角函数值。1、联立推导—将sinα=tanα·cosα代入sin²α+cos²α=1

教师点拨2、对称结论—同理可得sin²α的对应表达式,实现仅知tanα即可求出sin²α和cos²α

基本关系的联用与拓展推导教师点拨题型一：已知一个三角函数值求其余值“知一求二”是同角关系最基础的应用题型。核心策略是先利用平方关系或商数关系建立方程，再根据象限条件确定符号——若题目未指定象限，必须分类讨论。类型1、指定象限

求解过程：由sin²α+cos²α=1

因α在第二象限，cosα<0结论

小组互助类型2、未指定象限（需分类讨论）变式训练1、已知tanα=2,求sinα,cosα的值.求解过程

α可能在第一或第三象限分类讨论：第一象限cosα=sinα=第三象限cosα=sinα=小组互助题型二：三角函数式的化简化简题的核心策略是"用公式替换"——将表达式中的某一部分用基本关系式的等价形式替换，使复杂项相互抵消或合并，最终得到最简结果。例2：利用商数关系化简cos²α·tan²α将tan²α=代入，cos²α与分母约去，结果为sin²α遇到tanα与cosα同时出现时，优先考虑用商数关系将tanα转化为sinα与cosα分析：原式=小组互助∵sinα·tanα<0,∴cosα<0.已知sinα·tanα<0,化简:解：小组互助变式训练2：题型三：三角恒等式的证明证明三角恒等式的核心策略是"从复杂端向简单端推进"——将较复杂的一侧通过基本关系式逐步变形，直到与另一侧完全一致。例3求证：左边==右边证明：∴原等式成立.小组互助答案:B随堂练习2.已知求：随堂练习答案：随堂练习核心公式与常用变形汇总同角三角函数的两个基本关系式及其变形构成了一套完整的互化工具箱，掌握这些变形是灵活运用公式解决各类三角函数问题的前提。平方关系及变形核心公式sin²α+cos²α=1(对任意角恒成立)变形①sin²α=1−cos²α(由余弦求正弦)变形②cos²α=1−sin²α(由正弦求余弦)变形

③(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα(关联和与积)课堂小结商数关系及变形核心公式tanα=(cosα≠0)变形①sinα=tanα·cosα(用正切和余弦表示正弦)变形②cosα=(tanα≠0，用正弦和正切表示余弦)课堂小结THINK&PRACTICE3、求证课后作业3、左边==右边答案：三大核心解题策略掌握公式只是第一步，真正的能力在于灵活运用。'切化弦''1的代换''方程思想'三大策略覆盖了三类基本题型的核心解法，是提升解题效率的关键。策略一：切化弦

策略二：1的代换利用sin²α+cos²α