2026初升高数学暑假衔接2套（人教版）第12讲 幂函数（学生版）

第12讲幂函数

1．理解幂函数的概念；

1

2．会画幂函数yx，yx2，yx3，yx1，yx2的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函

数图象的变化规律和性质；

3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数需要满足三个条件：

（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如y3x，yxx1，yx21等的函数都不是幂函数．

二、幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数＝，＝2，＝3，＝－1，的图象如图．

yxyxyxyx1()

2

�=�

三、幂函数的性质

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，

图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）

1、当a0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于yx1的图象；

1

2、当0a1时，函数的图象向x轴弯曲，类似于的yx2图象；

3、当a1时，函数的图象向y轴弯曲，类似于yx3的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数

例1．下列函数为幂函数的是（）

2

A．y2x2B．y2x21C．yD．y=x2

x

x

31252

【变式训练】现有下列函数：①yx；②y；③y4x；④yx1；⑤yx1；⑥yx；

2

⑦yax(a1)，其中幂函数的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

考点二：根据函数是幂函数求参数

例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点2,2，则f(9)＝（）

11

A．3B．C．3D．

33

【变式训练】幂函数fxm23xm在第一象限内是减函数，则m（）

A．2B．2C．2D．2

考点三：幂函数的定义域问题

1

例3．函数fxx1x2的定义域为（）

A．,B．,00,C．0,D．0,

4124

-2

【变式训练】给出5个幂函数：①y=x；②yx5；③yx4；④yx3；⑤yx5，其中定义域为R的

是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

考点四：幂函数的图象判断与应用

例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

1111

11

A．①yx，②yx2，③yx3B．①yx，②yx3，③yx2

1111

11

C．①yx3，②yx2，③yxD．①yx3，②yx，③yx2

1

【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应

2

于C1，C2，C3，C4的n依次为（）

1111

A．2，，，2B．2，，，2

2222

1111

C．，2，2，D．2，，2，

2222

考点五：幂函数图象过定点

例5．当R时，函数yx2的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．

a

【变式训练】不论实数a取何值，函数yx12恒过的定点坐标是___________．

考点六：幂函数的单调性与奇偶性

例6．下列函数中，在区间(,0]上为增函数的是（）

1

A．yB．yx2C．yxD．yx3

x

1

【变式训练1】已知幂函数fx的图象经过点9,，则fx在定义域内（）

3

A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值

【变式训练2】已知幂函数fxm2m1xm的图象关于y轴对称，则m的值为_________．

考点七：利用幂函数单调性解不等式

1

110

例7．已知幂函数f(x)，若fa1f82a，则a的取值范围是__________.

x

【变式训练】若幂函数fx过点4，2，则满足不等式f2afa1的实数a的取值范围是______．

考点八：幂函数的综合应用

2

例8．已知幂函数yfxx2mm3(2m2，且mZ)满足：①在区间0,上是增函数；②

对任意的xR，都有fxfx0.

（1）求同时满足①②的幂函数fx的解析式，

（2）在（1）条件下，求x0,3时fx的值域.

2

【变式训练】已知幂函数fxxm2m3(mZ)的图象关于y轴对称，且在0,上是单调递减函数．

（1）求m的值；

（2）解不等式f12xf2．

1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）

1

A．fxx3B．fxxC．fxD．fxx5

x4

1

2．已知幂函数的图象经过点P16,，则该幂函数的大致图象是（）

4

A．B．C．D．

1

3．幂函数的图象过点2,，则下列说法正确的是（）

4

A．偶函数，单调递增区间0,B．偶函数，单调递减区间0,

C．偶函数，单调递增区间,0D．奇函数，单调递增区间,

4．幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）

A．abcdB．dbcaC．dcbaD．bcda

5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）

A．y3x是幂函数B．y2x1是指数函数

2

C．y2log2x是对数函数D．y(x1)不是二次函数

6．（多选）下列函数为幂函数的是（）

1

021

A．y2x3B．yxC．yx1D．yx

7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）

A．图像必过点(1,1)B．可能是非奇非偶函数

C．都是单调函数D．图像不会位于第四象限

2

8．已知幂函数f(x)的图象经过点2,，则f(4)的值为________．

2

9．已知函数fx2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.

2

10．已知幂函数fxm2m1xmm1在0,上是减函数，则实数m值是______.

11．已知函数fxxn的图像经过点2,8，若f2xf1x0，则x的取值范围为__________.

111

12．已知幂函数f(x)的图像经过A(2,2),B(1,1),C3,,D,四点中的两点，且f(x)在(0,)上为减函

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数．

（1）求f(x)的解析式；

（2）若f(a1)f(2a3)，求实数a的值．

2

13．已知幂函数fxm26m10xn4nn1,nZ,mR的图象关于y轴对称，且在0,上单调递

增.

（1）求m和n的值；

mn

（2）求满足不等式2a33a12的a的取值范围.

1．下列函数中不是幂函数的是()

A．yxB．yx3C．y3xD．yx1

2．下列函数是幂函数的是（）

1

A．y2x2B．yx1C．yD．y2x

x3

-

3．若幂函数f(x)＝(2m2-6m+5)x2m3的图象与x轴没有交点，则fx的图象（）

A．关于原点对称B．关于x轴对称

C．关于y轴对称D．不具有对称性

4．在下列幂函数中，是偶函数且在0,上是严格增函数的是（）．

112

=-2

A．yxB．yx2C．yx3D．yx3

2

5．已知幂函数yf(x)的图象过点2,，则下列关于f(x)说法正确的是（）

4

A．奇函数B．偶函数C．在(0,)单调递减D．定义域为[0,)

5

6．函数yx4的图像可能是（）

A．B．C．D．

11

7．如图是幂函数yx的部分图像，已知分别取、3、3、这四个值，则与曲线C、C、C、C相应的

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依次为（