第03讲方法篇空间几何体的内切球与外接球问题(原卷版+解析)

第03讲方法篇空间几何体的内切球与外接球问题题型一：内切求问题方法一：独立截面法如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和3、利用相似性求出内切球半径.典型例题例题1．（2022下·内蒙古赤峰·高一统考期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为（

）A． B．1 C． D．例题3．（2023上·云南丽江·高二丽江第一高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．精练核心考点1．（2022下·浙江·高一期末）如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（

）A． B．1 C． D．22．（2022下·河北·高一校联考期中）已知一球体刚好和圆台的上､下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为.3．（2024上·河北·高三校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为．方法二：等体积法例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.典型例题例题1．（2023下·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·广东深圳·高二红岭中学校考期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为.例题3．（2023下·广西玉林·高一校联考期末）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.

精练核心考点1．（2023下·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（

）

A． B．C． D．2．（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该四面体的外接球的表面积为，该四面体内切球表面积为．3．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为.题型二：外接球问题方法一：公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点典型例题例题1．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．例题2．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为.2．（2022下·贵州黔西·高二统考期末）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为．方法二：补型法①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型）题设：三条棱两两垂直②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）典型例题例题1．（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（

）A． B．C． D．例题3．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）在三棱锥中，两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022上·新疆·高二校考期末）已知、、两两垂直且，则过四点的球的表面积为3．（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是．方法三：单面定球心法步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.典型例题例题1．（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在三棱锥中，侧棱，则其外接球的表面积是（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知是边长为4的正三角形，是边上的中线．现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为．例题3．（2024·全国·模拟预测）若体积为的正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小值为．精练核心考点1．（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为.2．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为．3．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球表面积为.方法四：双面定球心法如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2022上·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为.

精练核心考点1．（2023上·江苏常州·高三统考期中）在平面凸四边形中，，且，将四边形沿对角线折起，使点到达点的位置．若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是．2．（2019·辽宁沈阳·统考三模）已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的球面面积为.第03讲方法篇空间几何体的内切球与外接球问题题型一：内切求问题方法一：独立截面法如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和3、利用相似性求出内切球半径.典型例题例题1．（2022下·内蒙古赤峰·高一统考期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.【详解】如图，由题意可知，所以，所以圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以外接球半径，所以该圆锥的内切球的表面积为.故选：B.例题2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】如图，作，则E为切点，由三角形的全等可得母线的长为，进而.由球的表面积和圆台的侧面积公式化简计算可得，即可求解.【详解】设内切球的半径为R，上底面的圆的半径为，下底面的圆的半径为，如图，作，则E为切点，有，，所以，，得，故母线的长为，在中，，即，得.又内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，所以，由得，设母线与底面的夹角为，则.故选：D.例题3．（2023上·云南丽江·高二丽江第一高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．【答案】【解析】圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球，设球与底面相切于，与侧面相切于点B，利用相似三角形即可求出内切球的半径，从而求出内切球的表面积.【详解】如图，由题意可知，，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于，与侧面相切于点B，则，所以，设球的半径为r，则，所以，解得，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法，属于中档题.精练核心考点1．（2022下·浙江·高一期末）如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，是中点，的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，求得的边长，得切点位置求得，而四边形是正方形，对称线为其外接圆直径，由此可得．【详解】如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．故选：C．【点睛】方法点睛：在涉及到正棱锥与内切球、外接球的计算中，常常需要作出截面得出相应关系求解．对正四棱锥来讲，有两个截面，一个是本题中作出的过棱锥的标点，和底面对边中点的截面，它截正四棱锥内切球所得大圆为截面三角形的内切圆，另外一个是正四棱锥的对角面，它截外接球的大圆是截面三角形的外接圆．2．（2022下·河北·高一校联考期中）已知一球体刚好和圆台的上､下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为.【答案】【分析】如图在截面梯形中，，，，然后利用，求出母线长，再由可求出球的半径，从而可求出球体的表面积【详解】如图，在截面梯形中，，，.因为，解得.又因为，所以，所以该球体的表面积为.故答案为：3．（2024上·河北·高三校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为．【答案】【分析】首先根据几何关系球内切球的半径和截面圆的半径，再代入圆台体积公式，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面，，，所以，所以，，过球心且与圆锥底面平行的截面的截面圆的半径为，所得圆台的体积故答案为：方法二：等体积法例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.典型例题例题1．（2023下·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设四面体内切球的球心为，半径为，则，求得，，从而求得，根据球的表面积公式即可求解.【详解】

因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，，设四面体内切球的球心为，半径为，则所以，因为四面体的表面积为，又因为四面体的体积，所以，所以内切球表面积.故选：C.例题2．（2023上·广东深圳·高二红岭中学校考期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为.【答案】【分析】利用等体积法求得，根据空间向量运算可得，则当的长度最小时，取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解.【详解】设的中点为，的中心为，连接，因为四面体是棱长为1的正四面体，可知，即四面体的高为，则其体积为，设正四面体内切球的半径为，由等体积可得，解得，如图，取的中点为，则，显然当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得，因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故答案为：.例题3．（2023下·广西玉林·高一校联考期末）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.

【答案】【分析】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，利用等体积法求得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，可求得，再结合球的表面积公式即可求解.【详解】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得，解得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有，即，则，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比为：.故答案为：.精练核心考点1．（2023下·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】求出四棱锥的表面积和体积，利用等体积法即可求出内切圆半径，从而得解.【详解】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，则，过P作底面垂线，垂足为H，则，

所以，则，故其内切圆表面积为，故选：B．2．（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该四面体的外接球的表面积为，该四面体内切球表面积为．【答案】/【分析】由题意确定四面体外接球的球心，进而求得外接球半径，即可求得四面体的外接球的表面积；利用等体积法求得四面体内切球的半径，即可求得四面体内切球的表面积.【详解】由题意可知底面，底面，故，又，平面，故平面，平面，故，取PB的中点为O，则，

即O为四面体的外接球的球心，又，则，则四面体外接球半径为,故该四面体的外接球的表面积为；设四面体的内切球球心为，半径为r，则，即,解得，则四面体内切球表面积为，故答案为：；3．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为.【答案】【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.【详解】

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；，当时，取得最大值.过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，所以，易得.所以.因为，设内切球的半径为，则根据等体积法，有：，即，解之得，所以其内切球的表面积为故答案为：题型二：外接球问题方法一：公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点典型例题例题1．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】问题等价于求该正方体内切球的表面积，结合已知数据求解.【详解】易知体积最大的球为该正方体的内切球，球的半径为1，则该球的表面积为故选：D.例题2．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案.【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为，所以外接球半径为，所以这个球体的体积.故选：D精练核心考点1．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为.【答案】【分析】根据正方体的棱长求出内切球的半径，进而求得内切球的表面积.【详解】因为正方体的棱长为，所以内切球的半径为，所以该正方体内切球的表面积为.故答案为：2．（2022下·贵州黔西·高二统考期末）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为．【答案】【分析】由题知长方体的体对角线即为外接球的直径，然后直接计算可得.【详解】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，所以所以外接球的表面积.故答案为：方法二：补型法①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型）题设：三条棱两两垂直②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）典型例题例题1．（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积.【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，，，则，，，解得，，，.则长方体的对角线的长为.所以球的直径是，半径长，则球的表面积，故选：C.例题2．（2023上·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.【详解】将四面体放入长方体中，如图，则四面体的外接球，即为长方体的外接球，设长方体中，则，三式相加得，故，所以四面体的外接球半径为，故四面体的外接球表面积为.故选：B例题3．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可.【详解】把正四面体放在正方体中，如图，

则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径，因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为，所以正四面体的棱切球的体积为.故选：C.精练核心考点1．（2023上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）在三棱锥中，两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将三棱锥补形为长方体，即可得到其外接球的半径，从而得到结果.【详解】

因为两两互相垂直，把三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体的对角线长为，则三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C2．（2022上·新疆·高二校考期末）已知、、两两垂直且，则过四点的球的表面积为【答案】【分析】将三棱锥补成长方体，求得长方体的体对角线长，得到外接球的半径，利用球体表面积公式可得结果.【详解】由于，，两两垂直，将三棱锥补成长方体，如图所示，则长方体的体对角线长为，故三棱锥的外接球的半径为，因此，该球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.3．（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是．【答案】【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，进而得到球的半径，进而根据球体的表面积公式计算即可.【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：则，则，因为球的直径即为长方体的体对角线，则球的半径为，所以球的表面积是.故答案为：.方法三：单面定球心法步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.典型例题例题1．（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在三棱锥中，侧棱，则其外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得到点在底面的射影为底面三角形的外心，从而判断三棱锥的外接球球心在上，分别求得和,设出外接球半径，借助于直角三角形即可求得.【详解】如图，设的外接圆半径为，由正弦定理：，解得：，过点作平面，垂足为，分别连接，因，故，即点是的外心，则依题，三棱锥的外接球球心必在直线上，连接,不妨设外接球半径为，则,在中，由勾股定理，，解得：故外接球的表面积为故选：B.例题2．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知是边长为4的正三角形，是边上的中线．现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为．【答案】【分析】先根据位置关系得到平面，然后确定出球心的位置，结合勾股定理求解出外接球的半径，由此可求外接球的表面积.【详解】因为是正三角形，且是边上的中线，所以，且，平面，所以平面；记的中点为，的外接圆圆心为，过作平面的垂线，则球心在该垂线上，连接，因为二面角等于，所以，由正弦定理可知，所以，由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形是矩形，所以，所以，即外接球的半径，所以外接球的表面积为，故答案为：.例题3．（2024·全国·模拟预测）若体积为的正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小值为．【答案】【分析】求得外接球半径的表达式，然后利用基本不等式求得半径的最小值，进而求得体积的最小值.【详解】设正三棱锥的底面中心为，连接，则平面，设正三棱锥底面的边长为，顶点到底面距离（体高）为，即，所以，即．正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，即为正三棱锥的外接球，设其半径为．等边三角形外接圆半径为，根据对称性知球心在正三棱锥的高上，设球心为，则．所以，当且仅当时取得等号，此时球的体积最小，最小值为．故答案为：精练核心考点1．（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为.【答案】【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.【详解】如图所示取中点，连接，根据题意易知，又为等腰直角三角形，为等边三角形，所以可知，易知点在直线上，设，球半径为R，所以，故外接球的表面积为.故答案为：2．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为．【答案】【分析】如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，所以，在中，由正弦定理求得，所以球O的半径，再由球的体积公式求解即可.【详解】如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半径，所以，故答案为：.3．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球表面积为.【答案】/【分析】根据弧长公式、三角形面积公式，结合球的性质、表面积公式进行求解即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以有，因为圆锥的截面面积为，所以有，而舍去，设棱锥的外接球的球心为，显然在高上，设该球的半径为，于是有，因此三棱锥的外接球表面积为，故答案为：

方法四：双面定球心法如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案.【详解】如图，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为该球的球心，连接并延长，交教AB于E,则E线段的中点，连接，则四边形为矩形.在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在中，，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.例题2．（