第03讲第一章空间向量与立体几何章节综合测试(原卷版+解析)

第03讲第一章空间向量与立体几何章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）点关于坐标平面对称的点B的坐标为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（

）

A． B．C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．26．（2023秋·新疆·高二校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（

）

A． B． C． D．7．（2023·全国·高二专题练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（

）A．1 B． C． D．8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·全国·高二专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（）A．-2 B．1 C． D．211．（2023秋·全国·高二期中）如图，在四棱锥中，平面平面，侧面PAD是边长为的正三角形，底面为矩形，，Q是PD的中点，则下列结论正确的是（

）

A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．四棱锥外接球的半径为312．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，将两个现状一样的四面体经过适当的截角而得到两个截角四面体，将两个截角四面体的正六边形面相贴合，得到一个组合体，将截角切下来两个小正四面体分别贴放到组合体的左下角和右上角的正三角形面上，就可以得到一个平行六面体．在平行六面体中，已知，，则（

）

A．直线与BD所成的角为B．线段的长度为C．直线与所成的角为D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海·高二期中）已知空间向量，且与垂直，则等于.14．（2023春·陕西咸阳·高二统考期中）在平面坐标系中，点到直线的距离，类比可得，在空间直角坐标系中，点到平面x＋2y＋2z－4＝0的距离为．15．（2023秋·高二单元测试）如图，在正方体中，分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为.

16．（2023秋·高二单元测试）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，；点的轨迹的长度为.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·安徽阜阳·高二校联考期中）已知向量.(1)若，求的值；(2)求的最小值.18．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；(2)点到平面的距离．19．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）如图，在三棱台中，，平面，且为中点.

(1)证明：平面；(2)若，求此时直线和平面所成角的正弦值.20．（2023春·北京海淀·高二清华附中校考期末）四棱锥中，平面，，，，．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．21．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考开学考试）如图，四边形与四边形是全等的矩形，.

(1)若P是棱的中点，求证：平面平面；(2)若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.22．（2023·全国·高二专题练习）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.

第03讲第一章空间向量与立体几何章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）点关于坐标平面对称的点B的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】关于坐标平面对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变.即点关于坐标平面对称的点B的坐标为.故选：B2．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【详解】因为为与的交点，所以，故.故选：D3．（2023·全国·高一专题练习）已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，依题意，三点共线，所以，解得.故选：A4．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，故在上的投影向量为.故选：D5．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以，又点D在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值.故选：A.6．（2023秋·新疆·高二校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故选：C.7．（2023·全国·高二专题练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】解：过和分别作，，在矩形，，，，则，即，平面与平面所成角的余弦值为，,，，，，则，即与之间距离为，故选：C．8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，在正四棱柱中，分别为侧面和侧面的中心，为的中点，为点钟时针，为点钟时针，则，，设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以.所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为.

故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·全国·高二专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ACD【详解】构成空间的一个基底，对于A，因为，因此向量，，共面，A不能；对于B，向量与不共线，又向量不能用和表示，即向量，，不共面，B能；对于C，因为，因此，，共面，C不能；对于D，因为，因此，，共面，D不能.故选：ACD10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（）A．-2 B．1 C． D．2【答案】BD【详解】由题意得，且与不共线，则，即，解得，若与共线，则，即，得，与反向需要舍去，所以的取值范围为且，所以B和D选项正确，A和C选项错误，故选：BD.11．（2023秋·全国·高二期中）如图，在四棱锥中，平面平面，侧面PAD是边长为的正三角形，底面为矩形，，Q是PD的中点，则下列结论正确的是（

）

A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．四棱锥外接球的半径为3【答案】BD【详解】如图，取AD的中点O，BC的中点E，连接，,则，而；

因为为等边三角形，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为，所以两两垂直．以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点，，，)，，，因为Q是PD的中点，所以Q点坐标为.平面的一个法向量可取为，，显然与不共线，所以CQ与平面不垂直，所以A不正确；，，，设平面的一个法向量为，则，令x＝1，则，，所以.设PC与平面所成角为，则，所以，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C错误；由题意四棱锥外接球的球心位于平面上，设为点，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为，D正确，故选：BD12．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，将两个现状一样的四面体经过适当的截角而得到两个截角四面体，将两个截角四面体的正六边形面相贴合，得到一个组合体，将截角切下来两个小正四面体分别贴放到组合体的左下角和右上角的正三角形面上，就可以得到一个平行六面体．在平行六面体中，已知，，则（

）

A．直线与BD所成的角为B．线段的长度为C．直线与所成的角为D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】BCD【详解】设，则，且，对于A，，，所以直线与所成的角为，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，连接，交于点，则为的中点，因为，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则与平面所成的角为，因为，，所以，则在中，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故D正确.

故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海·高二期中）已知空间向量，且与垂直，则等于.【答案】4【详解】因为，且与垂直，所以，解得，故答案为：414．（2023春·陕西咸阳·高二统考期中）在平面坐标系中，点到直线的距离，类比可得，在空间直角坐标系中，点到平面x＋2y＋2z－4＝0的距离为．【答案】【详解】在平面直角坐标系中，点到直线的距离，则类比在空间中点到平面的距离为,所以点到平面的距离为，故答案为：15．（2023秋·高二单元测试）如图，在正方体中，分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为.

【答案】/【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，.设平面的一个法向量，则取，得.平面的一个法向量，设平面和平面所成二面角为，则所以，所以平面和平面所成二面角的正弦值为.故答案为：.16．（2023秋·高二单元测试）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，；点的轨迹的长度为.【答案】【详解】因为平面，平面，所以，又，所以，又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系，则，设，所以，则①当在上时，设，因为，所以，故，则所以；②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以即在线段上运动时，，点的轨迹为线段．则．故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·安徽阜阳·高二校联考期中）已知向量.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为，所以，即，解得；（2）所以，.所以当时，取得最小值为.18．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；(2)点到平面的距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意得，，所以为直线的一个方向向量.（2），，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，则，所以点到平面的距离为.19．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）如图，在三棱台中，，平面，且为中点.

(1)证明：平面；(2)若，求此时直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，所以.又因为为中点，所以，又，且平面，所以平面；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，设平面的一个法向量为，则.所以，可取，则，设直线和平面所成角为，则，故直线和平面所成角的正弦值为.20．（2023春·北京海淀·高二清华附中校考期末）四棱锥中，平面，，，，．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，因为平面，平面，所以、，又，，，所以，所以，所以，，平面，所以平面.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设二面角为，由图可得二面角为钝二面角，所以，所以二面角的余弦值为.21．（2023秋·黑龙