第03讲第二章直线和圆的方程章节综合测试(原卷版+解析)

第03讲第二章直线和圆的方程章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·高二单元测试）斜率为2的直线的倾斜角所在的范围是（）A． B．C． D．2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知直线：是圆：的对称轴，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（）A． B．C． D．5．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．6．（2023·河南·校联考模拟预测）设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（

）A．-4 B． C．4 D．17．（2023秋·高二课时练习）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．8．（2023·全国·高二专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（

）A． B． C． D．5二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知直线l的方程是，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（

）A．6 B．8 C．10 D．1610．（2023·全国·高二课堂例题）已知方程，下列叙述正确的是（

）A．方程表示的是圆B．方程表示的圆的圆心在x轴上C．方程表示的圆的圆心在y轴上D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆11．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为12．（2023秋·高二课时练习）（多选）若圆始终平分圆的周长，则直线被圆所截得弦长为（

）A． B．C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是.14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.

15．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．16．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为，圆的半径．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）已知直线过点，为坐标原点．(1)若与垂直，求直线的方程：(2)若直线与平行，求直线的方程．18．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程；(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.19．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若P的坐标为，求过点P的切线方程；(2)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.20．（2023·全国·高三专题练习）如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为.(1)若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程；(2)已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？21．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和圆(1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值22．（2023·全国·高二专题练习）已知圆心在轴上的圆与直线切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．

第03讲第二章直线和圆的方程章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·高二单元测试）斜率为2的直线的倾斜角所在的范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵，即，∴.故选：B.2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知直线：是圆：的对称轴，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由圆C：得，，表示以为圆心、半径等于1的圆．由题意可得，直线经过圆C的圆心，故有，得.故选：D.3．（2023·全国·高二专题练习）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【详解】由已知直线恒过定点,如图所示,若与线段相交,则,

因为,所以.故选:D.4．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设所求直线的方程为，即，因为直线与垂直，所以，解得，所以直线的方程为，即.故选：B.5．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．故选：C6．（2023·河南·校联考模拟预测）设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（

）A．-4 B． C．4 D．1【答案】A【详解】设点，则，，

，又，则可得，又，则，解得，所以.故选：A

7．（2023秋·高二课时练习）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是，则由题意可得，计算可得，由题知它是圆的圆心，所以a＝2.设点P的坐标为（x，y），则有，化简得.故选：C8．（2023·全国·高二专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（

）A． B． C． D．5【答案】D【详解】由已知表示点到点的距离，表示点到点的距离，所以，过点作，垂足为，因为直线的方程为，，所以，又直线与直线平行，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，所以点的坐标为，所以，所以的最小值为，故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知直线l的方程是，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（

）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】AD【详解】设当圆与直线相切时，设圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，解得或，所以该圆运动的时间为或.故选：AD.10．（2023·全国·高二课堂例题）已知方程，下列叙述正确的是（

）A．方程表示的是圆B．方程表示的圆的圆心在x轴上C．方程表示的圆的圆心在y轴上D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆【答案】BD【详解】对于选项A：因为，，，由方程表示圆的条件得，即，解得，所以只有当时才表示圆，故A错误；对于选项B、C：因为，，若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；对于选项D：当时，半径，故D正确；故选：BD.11．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为【答案】BD【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，所以它的最大值为，所以A错误；对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，由圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，则点与圆心连线的斜率为，根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以D正确.故选：BD.12．（2023秋·高二课时练习）（多选）若圆始终平分圆的周长，则直线被圆所截得弦长为（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】由圆得,由圆得.把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为,由题意知直线经过的圆心，因而.当时，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，∴直线被圆所截得的弦长为.当时，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，，∴直线被圆所截得弦长为.综上所述，直线被圆所截得弦长为或.故选：BD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是.【答案】/【详解】两条直线与平行,解得，经检验时，,两直线不重合；所以，则与间的距离,故答案为：.14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.

【答案】（不唯一）【详解】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，化简，得，当时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式，故杆的交点P的轨迹方程是.因为取原点的位置不一样，所以答案不一样.故答案为：（答案不唯一）.

15．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．【答案】【详解】设，因为动点满足，所以，化简得．又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．故答案为：16．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为，圆的半径．【答案】【详解】线段的中点为，在非等边中，，所以，的“欧拉线”为线段的中垂线，，所以，的“欧拉线”方程为，即，由已知，圆与直线相切，故.故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）已知直线过点，为坐标原点．(1)若与垂直，求直线的方程：(2)若直线与平行，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1），直线与垂直，，又直线过点，直线方程为：，即.（2）由题意可设直线方程为：，又直线过点，，解得：，直线方程为：.18．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程；(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，可得，即，由题可设直线，又直线过点，所以，所以直线的方程为；（2）因为圆心在直线上且过点，由，可得线段的中垂线方程为，由，可得，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心在直线上且过点的圆的方程为.19．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若P的坐标为，求过点P的切线方程；(2)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.【答案】(1)或.(2)【详解】（1）P的坐标为,当斜率不存在时可设线为，

此时圆心到直线的距离，不符合切线要求，舍去；当斜率不存在时可设线为，即，

此时圆心到直线的距离，即，可得或，过点的切线方程为或.（2）设，

联立，消去，可得，化简可得：，则，即，解得，由韦达定理可得，，，又，.20．（2023·全国·高三专题练习）如图，足球门框的长为，设足球为一点，足球与，连线所成的角为.(1)若队员射门训练时，射门角度，求足球所在弧线的方程；(2)已知点到直线的距离为，到直线的垂直平分线的距离为，若教练员要求队员，当足球运至距离点为处的一点时射门，问射门角度最大可为多少？【答案】(1)(2)【详解】（1）建立平面直角坐标系，求出过两点的圆的方程，即得答