第2章：一元二次函数、方程和不等式基础检测卷(原卷版+解析)

第2章：一元二次函数、方程和不等式基础检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．函数的最小值为（）A．2B．C．3D．42．设，则（）A．B．C．D．3．不等式的解集为（）A．B．C．D．4．下列各式中，不能判断其符号的是（）A．B．C．D．5．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7．已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（）A．B．C．D．8．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．11．已知、，，则下列说法正确的是（）A．，B．的最小值为8C．的最小值为3D．的最小值为412．某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价，第二次提价；②第一次提价，第二次提价；③第一次提价，第二次提价．其中，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（）A．方案①提价比方案②多B．方案②提价比方案③多C．方案②提价比方案①多D．方案①提价比方案③多三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数，的最大值为______.14．已知，则的取值范围是__________．15．若关于x的方程的解集为，则实数k的取值范围是__________.16．己知，则ab的取值范围是__________．四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解下列不等式：（1）；（2）；（3）.18．比较大小：（1）比较与的大小．（2）比较与的大小．19．已知不等式的解集为或．（1）求a，b；（2）解关于x的不等式．20．已知，且．（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．21．已知a，b，c均为正实数.（1）求证：.（2）若，求证：.22．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入(-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

第2章：一元二次函数、方程和不等式基础检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．函数的最小值为（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，故选：B.2．设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为恒成立，所以．故选：A.3．不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式等价于，利用数轴标根法可得或，所以不等式解集为.故选：C4．下列各式中，不能判断其符号的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故A正确；，故B正确；当时，；当时，，故C正确；当时，；当时，；当时，，则的值可正，可负，也可能为0，故D错误.故选：D.5．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】因为，对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确；对于②中，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以②不正确；对于③中，由不等式，可得，两边同除，可得成立，所以③成立；对于④，由，可得，即，所以成立，所以④正确.故选：B.6．若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，所以,所以不等式的解集，故选：D7．已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为不等式解集为，所以，所以可化为，则，所以，解得：，所以，，故选：B.8．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意，不等式，即不等式恒成立，因为，可得，当且仅当时，即等号成立，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，由于，所以，则，即，故B错误；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，由于，则，但与的大小不确定，故D错误.故选：AC.10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AC【解析】关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；方程的两根为、，由韦达定理得，解得．对于B，，由于，所以，所以不等式的解集为，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知所以或，所以不等式的解集为或，故C正确；对于D，，故D不正确．故选：AC．11．已知、，，则下列说法正确的是（）A．，B．的最小值为8C．的最小值为3D．的最小值为4【答案】ABD【解析】因为，所以且a>0，可得.又且b>0，可得，故A正确；,即，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，所以.所以,当且仅当时等号成立，故C错；将代入，可得,当且仅当时等号成立，此时，故D正确.故选：ABD.12．某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价，第二次提价；②第一次提价，第二次提价；③第一次提价，第二次提价．其中，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（）A．方案①提价比方案②多B．方案②提价比方案③多C．方案②提价比方案①多D．方案①提价比方案③多【答案】BCD【解析】不妨设原价为1，方案1：两次提价后变为，方案2：两次提价后变为，方案3：两次提价后变为，由于，即，，A错，C对．，则，B对．，D对，选BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数，的最大值为______.【答案】0【解析】函数,,或时,函数取最大值，.故答案为:0.14．已知，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，在中，∵，∴，解得：，故答案为：.15．若关于x的方程的解集为，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，方程的解为，不满足题意；当时，因为关于x的方程的解集为，所以，解得；综上，实数k的取值范围是，故答案为：.16．己知，则ab的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，可得，综上，，当且仅当等号成立.故答案为：.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解下列不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）；（3）或或【解析】（1）原不等式等价于，即，即，所以，所以或，所以原不等式的解集或；（2）由，可得，所以，解得，所以原不等式的解集为；（3）原不等式等价于或，分别解这两个不等式组，得或或或，故原不等式的解集为或或.18．比较大小：（1）比较与的大小．（2）比较与的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）．因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以，当且仅当上且时取到等号．19．已知不等式的解集为或．（1）求a，b；（2）解关于x的不等式．【答案】（1），；（2）答案见解析【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以与是方程的两个实数根，且．由根与系数的关系，得，解得；（2）原不等式化为：，即，①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为．20．已知，且．（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为（2）因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，因为恒成立，所以，解得所以实数的取值范围为21．已知a，b，c均为正实数.（1）求证：.（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为a，b，c都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，所以；（2），当且仅当时等号成立.∴.22．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入(-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）要使销售的总收入不低于原收