第02讲空间向量的数量积运算(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版+解析)

第02讲空间向量的数量积运算【人教A版2019】·模块一空间向量的夹角与数量积·模块二向量的投影·模块三课后作业模块一模块一空间向量的夹角与数量积1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【考点1空间向量数量积的计算】【例1.1】（2023·江苏·高二专题练习）正方体ABCD−A1B1C1DA．BC⋅B1D1=2 B．AB【例1.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1DA．−1 B．1 C．2 D．3【变式1.1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB的最大值为（A．−2 B．−3 C．−1 D．0【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，A．−12,0 B．−34,0【考点2空间向量的夹角及其应用】【例2.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a−b与a垂直，则aA．60∘ B．30∘ C．135∘【变式2.1】（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量a,b,c都是单位向量，且夹角都是π3，则向量aA．π6 B．π4 C．3π4【变式2.2】（2022·高二课时练习）已知a=(1,0,0)，b=(0,−1,1)，若a+λb与b的夹角为120°A．66 B．−66 C．±【考点3利用空间向量的数量积求模】【例3.1】（2022秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知空间中非零向量a，b，且a=2，b=3，a，b=A．133 B．133 C．61 D．61【例3.2】（2022秋·江西·高二统考期中）若a，b，c为两两垂直的三个空间单位向量，则2a+2bA．23 B．17 C．14 D．【变式3.1】（2022·全国·高二期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则BM=（

A．62 B．63 C．64【变式3.2】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（A．12 B．22 C．3【考点4向量垂直的应用】【例4.1】（2022秋·河南开封·高三统考开学考试）已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且A．32 B．−32 C．【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1BA．AD1⋅B1C B．B【变式4.1】（2023春·福建莆田·高二校考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2A．－6 B．6C．3 D．－3【变式4.2】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量OA,OB,OC满足OA⊥A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形模块二模块二向量的投影1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【考点1投影向量的求解】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则A．−91313b B．91313【例1.2】（2022秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量A．2 B．−2 C．−12 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB=BC=6，则向量PC在【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D模块三模块三课后作业1．（2023春·高二课时练习）设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（

）A．aB．aC．aD．a2．（2022·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，设AB=A．π6 B．π3 C．π23．（2022秋·北京朝阳·高二校考期中）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（

）A．DA B．BC C．BD D．AP4．（2023春·高二课时练习）在正方体ABCD−A①(AA1+AD+AB)2其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个5．（2023·全国·高三专题练习）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，连接AC､BD､PB､PC､PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．PC与BD B．PB与DAC．PD与AB D．PA与CD6．（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么a−2bA．2 B．13C．14 D．67．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．1 B．3 C．9 D．38．（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅ADA．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定9．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且A．② B．①③ C．②④ D．②③④10．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是四边形A1A．5 B．6 C．5+2 D．11．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分别与向量A′B′，B′A′，12．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C(1)求AC(2)求AA14．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅15．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体OABC−O′A′B′C′中，G、H分别是侧面BB(1)用向量a、b、c表示OB′、(2)求GH⋅(3)判断AC′与

第02讲空间向量的数量积运算【人教A版2019】·模块一空间向量的夹角与数量积·模块二向量的投影·模块三课后作业模块一模块一空间向量的夹角与数量积1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【考点1空间向量数量积的计算】【例1.1】（2023·江苏·高二专题练习）正方体ABCD−A1B1C1DA．BC⋅B1D1=2 B．AB【解题思路】由空间向量数量积的运算律对选项逐一判断，【解答过程】对于A，BC⋅对于B，AB⋅对于C，AB⊥平面A1ADD对于D，BC1=由垂直关系化简得BC故选：B.【例1.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1DA．−1 B．1 C．2 D．3【解题思路】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出BD【解答过程】由题意得BD1=则B=1−1+1×1×cos故选：B.【变式1.1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB的最大值为（A．−2 B．−3 C．−1 D．0【解题思路】根据空间向量的加减法运算和数量积的运算律求解.【解答过程】由题可得，正方体外接球的直径AB=2设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有OA=−OB,且PA=−OA由于OP≤AB2故选:D.【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，A．−12,0 B．−34,0【解题思路】取AC1中点O，将所求数量积转化为PO2【解答过程】取AC1中点则PA⋅∵当P为侧面ABB1A1中点时，POmin又OA=12即PA⋅PC故选：B.【考点2空间向量的夹角及其应用】【例2.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【解题思路】设a与b的夹角为θ，由a+b+【解答过程】设a与b的夹角为θ，由a+b+两边平方，得a2因为a=2,所以4+2×2×3cosθ+9=16，解得故选：D.【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a−b与a垂直，则aA．60∘ B．30∘ C．135∘【解题思路】根据已知可得a−b⋅【解答过程】因为a−b与a垂直，所以即a2所以cosa又0∘≤a故选：D.【变式2.1】（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量a,b,c都是单位向量，且夹角都是π3，则向量aA．π6 B．π4 C．3π4【解题思路】根据题意计算得a−b−【解答过程】解：由题意，得a=所以a−b−a设向量a−b−c和b的夹角为又θ∈0,π，所以θ=故选：C.【变式2.2】（2022·高二课时练习）已知a=(1,0,0)，b=(0,−1,1)，若a+λb与b的夹角为120°A．66 B．−66 C．±【解题思路】首先求出向量a+λb的坐标，及向量a+λ【解答过程】∵a+λb=(1,−λ,λ)∴(a+λb)⋅b∴cos120°=(a故选：B.【考点3利用空间向量的数量积求模】【例3.1】（2022秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知空间中非零向量a，b，且a=2，b=3，a，b=A．133 B．133 C．61 D．61【解题思路】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．【解答过程】因为a=2，b=3，所以2=4×故选：A．【例3.2】（2022秋·江西·高二统考期中）若a，b，c为两两垂直的三个空间单位向量，则2a+2bA．23 B．17 C．14 D．【解题思路】利用空间向量的数量积性质即可求解.【解答过程】依题意得，a=b=所以2a故选：B.【变式3.1】（2022·全国·高二期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则BM=（

A．62 B．63 C．64【解题思路】根据空间向量基本定理得到BM=12【解答过程】因为M是PC的中点，所以BM=所以BM=因为PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．所以BM=3所以BM=故选：A.【变式3.2】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（A．12 B．22 C．3【解题思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cos∠DOE，然后由空间向量的运算法则可得DE2=【解答过程】根据题意，在△DOC中，OD=CD=3所以cos所以DE2=OE−则λ=12时，DE则DE的最小值为22故选：B.【考点4向量垂直的应用】【例4.1】（2022秋·河南开封·高三统考开学考试）已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且A．32 B．−32 C．【解题思路】由向量数量积的运算律可得(3a+2b【解答过程】由题意知：a⋅b=0∴(3a+2b故选：A.【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1BA．AD1⋅B1C B．B【解题思路】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.【解答过程】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，AC⊥BB1，BD,BB1⊂平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得AB⊥AD1选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1故选：D.【变式4.1】（2023春·福建莆田·高二校考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2A．－6 B．6C．3 D．－3【解题思路】由a和b的数量积为0，解出k的值.【解答过程】由题意可得a⋅b=0，e所以(2e1+3e2故选：B.【变式4.2】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量OA,OB,OC满足OA⊥A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形【解题思路】根据已知条件推出AB⋅AC>0，得∠CAB【解答过程】因为OA⊥所以OA⋅AB=OB所以cos∠CAB=即知∠CAB为锐角．同理可知∠ABC,∠BCA也为锐角．故△ABC是锐角三角形．故选：A．模块二模块二向量的投影1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【考点1投影向量的求解】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则A．−91313b B．91313【解题思路】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【解答过程】∵a=13，b=5，a与b∴a在b上的投影向量为a⋅故选：D．【例1.2】（2022秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量A．2 B．−2 C．−12 【解题思路】由空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅【解答过程】由题意，|a|=4，|e则空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅故选：B.【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB=BC=6，则向量PC在BC上的投影向量等于【解题思路】先求出PC⋅【解答过程】∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，PC⋅向量PC在BC上的投影向量为PC⋅BC故答案为：32【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，向量【解题思路】由正方体的性质可得向量AB与向量A1C1夹角为cos【解答过程】棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D所以AB⋅A1C1向量AB在向量A1AB⋅A1向量AB在向量A1C1故答案为：22模块三模块三课后作业1．（2023春·高二课时练习）设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（

）A．aB．aC．aD．a【解题思路】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．【解答过程】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若a，c不共线且a→,b故选：C.2．（2022·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，设AB=A．π6 B．π3 C．π2【解题思路】利用A′B⋅B′D′【解答过程】设正方体的棱长为1，A因为A所以A′又A′∴cos又A′∴A故选：D.3．（2022秋·北京朝阳·高二校考期中）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（

）A．DA B．BC C．BD D．AP【解题思路】过点B和点分别作直线的垂线，由垂足确定BP在向量AD上的投影向量.【解答过程】四棱锥P−ABCD如图所示，底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，PD⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，过向量BP的始点B作直线AD的垂线，垂足为点A，过向量BP的终点P作直线AD的垂线，垂足为点D，BP在向量AD上的投影向量为AD，由底面ABCD是矩形,AD=故选：B.4．（2023春·高二课时练习）在正方体ABCD−A①(AA1+AD+AB)2其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解题思路】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可【解答过程】解：对于①，(A对于②，A1C⋅(所以②正确；对于③，因为A1B∥D1所以∠AD1C=60°,所以AD1故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，连接AC､BD､PB､PC､PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．PC与BD B．PB与DAC．PD与AB D．PA与CD【解题思路】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证PB⊥DA、AB⊥PD、PA⊥CD，而BD不一定与PC垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.【解答过程】由PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，A：AD⊂面ABCD，则PA⊥AD，而AC与AD不一定垂直，不一定有BD⊥面PAC，故BD不一定与PC垂直，所以PC与BD数量积不一定为0，符合题意；B：由A知PA⊥AD，又DA⊥AB且AB∩PA=A，则DA⊥面PAB，又PB⊂面PAB，所以PB⊥DA，即PB与DA数量积为0，不合题意；C：由上易知PA⊥AB，又DA⊥AB且DA∩PA=A，则AB⊥面PAD，又PD⊂面PAB，所以AB⊥PD，即PD与AB数量积为0，不合题意；D：由上知PA⊥AB，而AB//CD，所以PA⊥CD，即PA与CD数量积为0，不合题意；故选：A.6．（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么a−2bA．2 B．13C．14 D．6【解题思路】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.【解答过程】因为a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，a所以|=|故选：C.7．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．1 B．3 C．9 D．3【解题思路】根据图形，利用向量的加法法则得到AC再利用AC1=【解答过程】在平行六面体ABCD−A有AC=AB+由题知，AB=AD=1，AA1=2，所以AB=AD=1，AA1=2AB与AA1的夹角为∠BAA1=45°，AD所以A===1+1+2+2×1×1×=9.所以AC故选：D.8．（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅ADA．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【解题思路】由题，可得AD⊥平面ABC，后由MA⊂平面ABC，可得答案.【解答过程】由AD⋅AC=0，AB又AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，则AD⊥平面因M∈BC，BC⊂平面ABC，则MA⊂平面ABC.故AD⊥MA，即△AMD是直角三角形.故选：C.9．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且A．② B．①③ C．②④ D．②③④【解题思路】由题意知AD⋅AB=0，AD⋅AC=0，DB⋅DC=DA+AB⋅DA+AC=DA2【解答过程】对于①，因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⋅AB=0则DB⋅对于②，若∠BAC是直角，则AB⋅DB所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设∠BAC=120°，AB=AD=AC=1，在△ABC中，由余弦定理可得：BC而DB=DC=2，所以在△DBC中，cos所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，DB⋅若AB<DA且AC<因为∠BAC∈0,DB→⋅DC故选：C.10．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点