第02讲集合间的基本关系(人教A版2019必修第一册)(原卷版+解析)

第02讲集合间的基本关系【人教A版2019】·模块一子集与真子集·模块二集合相等与空集·模块三集合间关系的性质·模块四课后作业模块一模块一子集与真子集1．子集的概念2．真子集的概念【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，则AB.【考点1子集、真子集的概念】【例1.1】（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）下列选项中正确的有（

）A．{质数}⊆{奇数}；B．集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集；C．空集是任何集合的真子集；D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；【例1.2】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（

）A．A⊆A B．A⊂≠A C．∅⊆A【变式1.1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1【考点2有限集合子集、真子集的确定】【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【例2.2】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（A．6 B．7 C．8 D．9【变式2.1】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知集合A={−1,0},B={1,2}，则集合C=zz=xA．7 B．8 C．15 D．16【变式2.2】（2023·湖北·模拟预测）集合A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+，B不为空集，B⊂AA．5 B．6 C．7 D．8模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【考点1集合相等问题】【例1.1】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）下列与集合2023,1表示同一集合的是（

）A．2023,1 B．x,yC．x|x2−2024x+2023=0【例1.2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合M=a,0，N=a2,b，若M=N，则A．0 B．1 C．2 D．−1【变式1.1】（2023春·新疆·高一校联考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1} 【变式1.2】（2022秋·江西抚州·高一校考期末）已知a、b∈R，若a,ba,1=aA．−1 B．0 C．1 D．−1或0【考点2空集的判断及应用】【例2.1】（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【例2.2】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【变式2.1】（2022秋·新疆喀什·高一校考阶段练习）以下5个关系：a,b⊆b,a，0∈∅，∅∈0，∅∈0A．1 B．2 C．3 D．4【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|ax2−ax−1>0，若A为空集，则实数A．(−4,0) B．(−4,0] C．[−4,0) D．[−4,0]【考点3Venn图表示集合的关系】【例3.1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【例3.2】（2023·江苏·高一专题练习）已知集合P和Q的关系如图所示，则（

）A．P>Q B．Q⊆P C．P=Q D．P⊆Q【变式3.1】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合BA．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【变式3.2】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【考点1集合间关系的判断】【例1.1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A．{(a,b)}⊆{a,b} B．{0,2}⊆Z C．∅⊆{0} D．【例1.2】（2023春·四川成都·高三联考阶段练习）集合A=1,2，若A⊆B，则集合B可以是（

A．1 B．2 C．0,1,2 D．∅【变式1.1】（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①a⊆a；②∅⊆a；③a∈a,b；④a⊆A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【变式1.2】（2023·高三课时练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−A．M=NP B．MN=P C．MNP D．NPM【考点2已知集合关系求参】【例2.1】（2023·高一课时练习）已知A={1,2},B=x∣x2+ax+b=0A．a=1,b=−2 B．a=2,b=−2 C．a=−3,b=2 D．a=−1,b=2【例2.2】（2023·山东聊城·统考三模）已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a<x<3}，若对于∀x∈A，都有x∈B，则a的取值范围为（）A．(−∞,0] B．(−∞,0) C．【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知集合A=x∣2x2−x−3=0,B=A．{2} B．{2,0} C．2,−112 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2−3x−18<0，A．若A=B，则a=−3 B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6 D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥6模块四模块四课后作业1．（2022秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⊆A，则A≠∅．其中正确的说法有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=(x,y)x+y=1,N=C．M={(3,2)},N={(2,3)} D．M={1,2},N={(1,2)}3．（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）集合M=x|ax2A．a≤−94 B．a=−94 C．a=0 4．（2023·高一单元测试）已知集合A={x|x2−1=0}A．1∈A B．{−1}∈A C．∅⊆A D．−1,15．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（A．6 B．7 C．8 D．96．（2023·高一课时练习）已知集合A=(x,y)∣x+y=52x−y=1,B⊆A且B≠∅，则A．{2,3} B．{(2,3)} C．{(3,2)} D．(2,3)7．（2023·高一课时练习）设集合M={x∣x>1},P=yA．M=P B．MP C．P⊊M D．M∈P8．（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023春·北京·高一校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（

A．−1 B．−1,1 C．−1,0,1 D．−2,−1,0,110．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．−2 B．−1 C．1 D．211．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1)A=2,4,6，B=(2)A=2,3，B=(3)A=x|x>3，B=(4)A=y|y=2x,x∈R，12．（2022秋·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}(1)A=∅；(2)A恰有一个元素.13．（2021秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合A={x|ax（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.14．（2023·高一课时练习）设集合A=xx2−1=0，(1)若A⊆B，求实数a,b的值；(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m215．（2023·高一单元测试）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A第02讲集合间的基本关系【人教A版2019】·模块一子集与真子集·模块二集合相等与空集·模块三集合间关系的性质·模块四课后作业模块一模块一子集与真子集1．子集的概念2．真子集的概念【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，则AB.【考点1子集、真子集的概念】【例1.1】（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）下列选项中正确的有（

）A．{质数}⊆{奇数}；B．集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集；C．空集是任何集合的真子集；D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；【解题思路】A.举反例判定该选项错误；B.集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；C.空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D选项正确.【解答过程】解：A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，所以该选项错误；B.集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；C.空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D.若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，所以该选项正确.故选：D.【例1.2】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（

）A．A⊆A B．A⊂≠A C．∅⊆A【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，∅⊂≠A，但是A故选：B.【变式1.1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b所以a+b+a+b=12，解得a+b=6.故选：D.【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1【解题思路】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【解答过程】解：对于集合P1=可得当m∈P1，即m2+am+1>0，可得m2+am+2>0，即有m∈P当b=5时，Q1=x|x2+x+5>0=当b=1时，Q1=x|x2+x+1>0=R，综上有，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1故选：B.【考点2有限集合子集、真子集的确定】【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【解题思路】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.【解答过程】由{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：1,2,故选：C.【例2.2】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】由集合间的基本关系A⊊C⊆B，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.故选：B.【变式2.1】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知集合A={−1,0},B={1,2}，则集合C=zz=xA．7 B．8 C．15 D．16【解题思路】先根据题意求出集合C，再求其真子集的个数.【解答过程】当x=−1,y=1时，z=(−1)当x=−1,y=2时，z=(−1)当x=0,y=1时，z=0当x=0,y=2时，z=0所以C=z所以集合C的真子集的个数为24故选：C.【变式2.2】（2023·湖北·模拟预测）集合A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+，B不为空集，B⊂AA．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】先根据题干得出集合A,再分个数讨论B集合，即可得出满足条件集合个数.【解答过程】A=x|B不为空集且B⊂A,若B中的元素之和为奇数，当集合B有四个元素则B可以为1,5,6,7，当集合B有三个元素则B可以为1,5,7，当集合B有两个元素则B可以为1,6,当集合B有一个元素则B可以为1,则满足条件的集合B的个数为8.故选:D.模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【考点1集合相等问题】【例1.1】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）下列与集合2023,1表示同一集合的是（

）A．2023,1 B．x,yC．x|x2−2024x+2023=0【解题思路】逐个选项分析特征，选择符合题意的.【解答过程】方程x2−2024x+2023=0的解为x=2023或x=1，所以A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合.故选：C.【例1.2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合M=a,0，N=a2,b，若M=N，则A．0 B．1 C．2 D．−1【解题思路】根据集合相等的含义分别求出a,b，然后可得答案.【解答过程】因为M=a,0,N=a所以a=a2b=0a2故选：B．【变式1.1】（2023春·新疆·高一校联考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1} 【解题思路】根据集合的定义逐项分析即可.【解答过程】选项A表示点的集合，2,3与3,2不同，故A选项不正确，集合中元素具有无序性，所以集合3,2与集合2,3相等，故B选项正确，选项C中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故C不正确，选项D中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故D不正确，故选：B.【变式1.2】（2022秋·江西抚州·高一校考期末）已知a、b∈R，若a,ba,1=aA．−1 B．0 C．1 D．−1或0【解题思路】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.【解答过程】由0∈a,ba,1且∴b=0，于是a2=1，解得a=1或根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，因此a=−1，b=0,故a2020故选：C.【考点2空集的判断及应用】【例2.1】（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据空集的性质判断即可.【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A.【例2.2】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【解题思路】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【解答过程】A选项：±1∈{x∈R|x2−1=0}，不是空集；B选项：∃7∈{x|xC选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=∅.故选：D.【变式2.1】（2022秋·新疆喀什·高一校考阶段练习）以下5个关系：a,b⊆b,a，0∈∅，∅∈0，∅∈0A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合,集合与集合之间的关系表示对5个关系一一判断.【解答过程】对于{a,b}⊆{b,a},任何集合是其本身的子集,正确;对于0∈∅,∅是不含任何元素的集合,故错误;对于{∅}∈{0},两者都是集合,用属于符号错误;对于∅∈{0},两者都是集合,应该为∅⊆{0};故选:B.【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|ax2−ax−1>0，若A为空集，则实数A．(−4,0) B．(−4,0] C．[−4,0) D．[−4,0]【解题思路】分a=0,a≠0两种情况分类讨论，a=0时符合题意，a≠0时只需满足a<0即可求解.【解答过程】当a=0时，原不等式为−1>0，A为空集；当a≠0时，因为A为空集所以ax只需满足a<0a解得−4≤a<0，综上实数a的取值范围是[−4,0].故选D.【考点3Venn图表示集合的关系】【例3.1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【解题思路】化简集合，判断集合M,N没有包含关系，即可得出答案.【解答过程】∵M={−1,0},N={x∣x(x−1)=0}={0,1}，∴集合M,N没有包含关系，故选：A.【例3.2】（2023·江苏·高一专题练习）已知集合P和Q的关系如图所示，则（

）A．P>Q B．Q⊆P C．P=Q D．P⊆Q【解题思路】根据集合间的包含关系可得.【解答过程】根据集合间的包含关系，可得B选项正确.故选：B.【变式3.1】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合BA．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.【解答过程】解：由图可知：B⊆A，∵A=1,2,3由选项可知：1,3⊆A故选：D.【变式3.2】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，①S∈U，故错误；②F⊆T，故错误，③S⊆T，故正确；④S⊆F；故错误，⑤S∈F，故错误，⑥F⊆U，故正确；故选D．模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【考点1集合间关系的判断】【例1.1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A．{(a,b)}⊆{a,b} B．{0,2}⊆Z C．∅⊆{0} D．【解题思路】根据集合与集合的关系判断即可.【解答过程】对于A：集合{(a,b)}为点集，含有元素a,b，集合{a,b}含有两个元素a，b，所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A错误；对于B：{0,2}⊆Z对于C：∅⊆{0}，故C正确；对于D：因为{0,1}={1,0}，所以{0,1}⊆{1,0}，故D正确；故选：A.【例1.2】（2023春·四川成都·高三联考阶段练习）集合A=1,2，若A⊆B，则集合B可以是（

A．1 B．2 C．0,1,2 D．∅【解题思路】根据已知集合及包含关系，根据各项集合判断与集合A的包含关系即可得答案.【解答过程】A、B、D：1⊆A、2⊆A、C：A⊆0,1,2故选：C.【变式1.1】（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①a⊆a；②∅⊆a；③a∈a,b；④a⊆A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【解题思路】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.【解答过程】解：①中，a是集合a中的一个元素，a∈a②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，a是a,b的子集，a⊆④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，a是b,c,a的元素，所以⑤正确.故选：C.【变式1.2】（2023·高三课时练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−A．M=NP B．MN=P C．MNP D．NPM【解题思路】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．【解答过程】M=xN=xP=x所以MN=P.故选：B．【考点2已知集合关系求参】【例2.1】（2023·高一课时练习）已知A={1,2},B=x∣x2+ax+b=0A．a=1,b=−2 B．a=2,b=−2 C．a=−3,b=2 D．a=−1,b=2【解题思路】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解.【解答过程】由于B=x∣x而x2由于A={1,2},A⊆B，所以B={1,2},故由韦达定理可得1+2=故选：C.【例2.2】（2023·山东聊城·统考三模）已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a<x<3}，若对于∀x∈A，都有x∈B，则a的取值范围为（）A．(−∞,0] B．(−∞,0) C．【解题思路】由已知可得A⊆B可得答案.【解答过程】若对于∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B，由已知可得a<0.故选：B.【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知集合A=x∣2x2−x−3=0,B=A．{2} B．{2,0} C．2,−112 【解题思路】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.【解答过程】A=x∣2x2−x−3=0=−1,3若B中只有一个元素，①B中的方程为一元二次方程，则Δ=1+12a=0a≠0⇒a=−②B中的方程为一元一次方程，则a=0，则x=−3，则B=−3，此时不符合B⊆A当B=A时，则a=2符合题意，综上可知：a=2或a<−1故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2−3x−18<0，A．若A=B，则a=−3 B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6 D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥6【解题思路】求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【解答过程】A=x∈R−3<x<6，若A=B，则a=−3，且a=−3时，A=B，故D不正确，若A⊆B，则−32+a⋅−3+a当B=∅时，a2−4a2−27故选：D．模块四模块四课后作业1．（2022秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⊆A，则A≠∅．其中正确的说法有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论.【解答过程】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；由于∅⊆A，则∅A或A=∅，故④不正确；综上，正确的说法有0个.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=(x,y)x+y=1,N=C．M={(3,2)},N={(2,3)} D．M={1,2},N={(1,2)}【解题思路】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.【解答过程】对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，M=N，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；故选：B.3．（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）集合M=x|ax2A．a≤−94 B．a=−94 C．a=0 【解题思路】根据真子集的个数推出集合中元素的个数，即方程解的个数，分类讨论求解即可.【解答过程】解：集合M=x|a故方程ax当a=0时，3x−1=0，方程有且仅有一个根，满足题意；当a≠0时，需满足Δ=9+4a=0，即a=−综上可知，a=0或a=−9故选：D.4．（2023·高一单元测试）已知集合A={x|x2−1=0}A．1∈A B．{−1}∈A C．∅⊆A D．−1,1【解题思路】求出集合A，即可依次判断.对A：利用元素与集合关系判断；对B：“∈”表示元素与集合之间的关系；对C：∅是任何集合的子集；对D：判断−1,1与A是否为包含关系.【解答过程】∵A={x|x∴1∈A,−1{−1}与A是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B错误.故选：B.5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【解答过程】因为2,3⊆M⊆所以集合M可以为：2,3,1,2,3,4,故选：C.6．（2023·高一课时练习）已知集合A=(x,y)∣x+y=52x−y=1,B⊆A且B≠∅，则A．{2,3} B．{(2,3)} C．{(3,2)} D．(2,3)【解题思路】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合A,由子集的性质即可求解.【解答过程】由A=(x,y)∣x+y=52x−y=1=2，3，又B⊆A故选：B.7．（2023·高一课时练习）设集合M={x∣x>1},P=yA．M=P B．MP C．P⊊M D．M∈P【解题思路】将集合P化简，即可由集合间的关系求解.【解答过程】由P=y所以MP，故选：B.8．（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.9．（2023春·北京·高一校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（

A．−1 B．−1,1 C．−1,0,1 D．−2,−1,0,1【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.【解答过程】由题可得A是B的子集，则B=−2,−1,0,1故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】先利用集合相等列式ba=0a=a+ba2【解答过程】因为a,b所以ba=0a=a+ba2当a=1时，不满足集合元素的互异性，故a=−1，b=0，即a202