第5讲等式与不等式的性质(原卷版+解析)

第5讲等式与不等式的性质【基础知识】1．等式的性质2.方程的解集含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．3.一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．4．一元二次方程根与系数的关系5、不等式的性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.【考点剖析】考点一：等式的性质考点二：方程的解集考点三：一元二次方程的解集及根与系数的关系（1）方程根个数的判断及应用例1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．例2．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.（2）直接应用根与系数的关系进行计算例3若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.例4.已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值．（3）应用根与系数的关系求字母系数的值或范围例5.已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq\f(1,4)k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.例6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，求k的值．考点四：不等式基本性质例1．设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______例2.下列四个命题中，为真命题的是（ ） A.若，则B.若，则 C.若，则D.若，则例3.设，下面四个不等式中，正确的是________①②③④ A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④例4.已知，则下列不等式成立的是_________ A、B、C、D、例5.已知三个不等式：（1）(2)(3)以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.考点五：作差法/作商法比较大小例1已知，记，则的大小关系是______例2.设，比较与的大小．【反思总结】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式，基本不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。【真题演练】一、单选题1．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）如果，且，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．2．（2021·上海高一期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．（2021·上海市控江中学高一期末）若，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．4．（2021·上海高一期末）下列不等式中，恒成立的是（）A． B．C． D．5．（2021·上海市大同中学高一期末）如果，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．6．（2020·上海高一专题练习）若非空集合，则使得成立的所有的集合是（）A． B．C． D．空集二、填空题7．（2021·上海高一期末）若，且，，则的最大值是_________.8．（2021·上海高一期末）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了，，，四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为_________.(填入，，，中的一个)9．（2021·上海高一期末）已知方程的两个实根为，，则__________.10．（2021·上海高一）若，则方程有__________个实数解11．（2021·上海高一）已知方程至少有一个整数根，则整数的值为________12．（2020·上海市嘉定区第一中学高一月考）若恒成立，则的值______．13．（2020·上海高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是_____三、解答题14．（2021·上海高一期末）已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．15．（2021·上海高一期末）设、为实数，比较与的值的大小.【过关检测】一、单选题1．（2020·上海高一单元测试）以下结论正确的是A．若且，则B．若，则C．若且，则D．若，集合，则2．（2020·上海市三林中学高一月考）已知，若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．（2020·上海高一单元测试）若，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．（2020·上海市金山中学高一月考）已知为实数，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．（2020·上海高一开学考试）若、、为实数，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2020·上海高一单元测试）若，，则下列不等关系中不一定成立的是（）A． B．C． D．7．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则8．（2020·上海高一单元测试）如果，那么下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．9．（2020·上海高一单元测试）设，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．10．（2020·上海高一单元测试）若，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．11．（2020·上海市行知中学高一月考）如果，那么下列不等式中错误的是（）A． B． C． D．12．（2020·上海高一专题练习）若非空集合，则使得成立的所有的集合是（）A． B．C． D．空集二、填空题13．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则__________．14．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程的两个根为､，则___________.15．（2020·上海市复兴高级中学高一期中）若、是方程的两个实数根，则_______．16．（2020·上海市嘉定区第一中学高一月考）若恒成立，则的值______．17．（2019·上海曹杨二中高一月考），则的取值范围是_____________18．（2020·上海华师大二附中高一月考）已知，则________（填“”或“”）.19．（2020·上海市延安中学高一月考）已知关于的方程的两个实根为、，，则实数_______.20．（2020·上海市金山中学高一期中）已知为方程的两个实数根，则的取值范围为______.21．（2020·上海高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是_____三、解答题22．（2021·上海高一期末）设、为实数，比较与的值的大小.23．（2021·上海高一期末）已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．24．（2020·上海高一专题练习）设，求证：．25．（2020·上海高一专题练习）不等式有实数解，且对于任意的实数解恒有求实数m的取值范围第5讲等式与不等式的性质【基础知识】1．等式的性质2.方程的解集含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．3.一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．4．一元二次方程根与系数的关系5、不等式的性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.【考点剖析】考点一：等式的性质考点二：方程的解集考点三：一元二次方程的解集及根与系数的关系（1）方程根个数的判断及应用例1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<eq\f(1,3).(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝eq\f(1,3).(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤eq\f(1,3).(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>eq\f(1,3).例2．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程没有实数根．（2）直接应用根与系数的关系进行计算例3若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.【解】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2007)＝eq\f(2,2007).(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.(4)|x1－x2|＝eq\r(（x1－x2）2)＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(4＋4×2007)＝eq\r(8032)＝4eq\r(502).例4.已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值．解：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),x1x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq\f(（－6）2－2×3,3)＝10.（3）应用根与系数的关系求字母系数的值或范围例5.已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq\f(1,4)k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.【解】Δ＝[－(k＋1)]2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)k2＋1))＝2k－3，Δ≥0，k≥eq\f(3,2).(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝eq\f(1,4)k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝eq\f(3,2).方程为x2－eq\f(5,2)x＋eq\f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq\f(5,4)>0满足．②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程为x2＋eq\f(5,4)＝0，而方程无解，所以k≠－1，所以k＝eq\f(3,2).例6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，求k的值．解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤eq\f(5,8).(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.因为xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，所以2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1，因为k≤eq\f(5,8)，所以k＝－1.考点四：不等式基本性质例1．设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______【难度】★【答案】【解析】，根据，可知要使两者同时成立，则．例2.下列四个命题中，为真命题的是（ ） A.若，则B.若，则 C.若，则D.若，则【难度】★★【答案】C，较常规例3.设，下面四个不等式中，正确的是________①②③④ A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④【难度】★★【答案】【解析】，所以同号，再根据不等式性质即可求得例4.已知，则下列不等式成立的是_________ A、B、C、D、【难度】★★【答案】【解析】本题的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高例5.已知三个不等式：（1）(2)(3)以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.【难度】★★【答案】3【解析】解法一：显然第三个命题是下面证明这个命题也正确.首先,由知则由可得这与bc>ad矛盾.因此只能ab>0.综上所述,可以组成3个正确命题.解法二：由式（2）式（1）就是分母大于0，式（3）等价于分子大于0。显然（1）（2）（3）；（1）（3）（2）；（2）（3）（1），所以可以构成3个正确命题。考点五：作差法/作商法比较大小例1已知，记，则的大小关系是______【难度】★★【答案】【解析】作差法，，例2.设，比较与的大小．【难度】★★【答案】1）当时，即，∴；2）当，即时，，∴；3）当但，即或时，，∴作差，本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．【反思总结】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式，基本不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。【真题演练】一、单选题1．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）如果，且，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，．【详解】，且，．，，因此．故选．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2．（2021·上海高一期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于选项A、C,可以举反例判断，对于选项B,可以利用函数的单调性判断，对于选项D,可以利用作差法判断.【详解】对于选项A,可以举反例，如：，但是，所以该选项错误；对于选项B,由于函数是R上的单调增函数，所以，所以该选项正确；对于选项C,可以举反例，如：，但是，所以该选项错误；对于选项D,不一定大于零，所以该选项错误.故选B【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．（2021·上海市控江中学高一期末）若，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.【详解】且.当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.A项,当,,时,,故A项错误;B项,，即，故B项错误;C项,时,,故C项错误;D项,，即，故D项正确.故选：D4．（2021·上海高一期末）下列不等式中，恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确.【详解】A选项，若，则，故A错；B选项，若，则，故B错；C选项，若，，，则，，此时，故C错；D选项，显然恒成立，所以，即D选项正确.故选：D.5．（2021·上海市大同中学高一期末）如果，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取特殊值可判断A,B选项，由函数在上为增函数可判断选项C，由的符号不定，则的符号不定，可判断D，从而得出答案.【详解】选项A中，取，则，所以A不正确.选项B中，取，则，所以B不正确.选项C中，由函数在上为增函数，由，则有成立，所以C正确.选项D中，由，因为，，则.所以，即，所以D不正确.故选：C6．（2020·上海高一专题练习）若非空集合，则使得成立的所有的集合是（）A． B．C． D．空集【答案】B【分析】由成立知，结合非空集合，列不等式式组求解集即可.【详解】使成立，则，∴由题设，知：，解得：.故选：B二、填空题7．（2021·上海高一期末）若，且，，则的最大值是_________.【答案】【分析】根据题中条件，由不等式的性质，求出的范围，即可得出结果.【详解】因为，，即，，所以，因此，即的最大值是.故答案为：.8．（2021·上海高一期末）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了，，，四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为_________.(填入，，，中的一个)【答案】【分析】从分式的性质中寻找到的变化规律，结合变化规律，即可求解.【详解】因为，，，都是整数，可得分子越大或分母越小时，的值越大，而分子增加1个单位时，分母越小时，的值增长越多，由，可知分母最小，所以增大1个单位时会使得的值增加最多.故答案为：.9．（2021·上海高一期末）已知方程的两个实根为，，则__________.【答案】【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值.【详解】由题设知：，∴，，∴.故答案为：.10．（2021·上海高一）若，则方程有__________个实数解【答案】2【分析】首先分析，再利用判别式的符号即可求解.【详解】因为，所以，方程的判别式，所以方程有个实数解.故答案为：.11．（2021·上海高一）已知方程至少有一个整数根，则整数的值为________【答案】1或9【分析】先讨论时，原方程不成立，当时，利用求根公式求出一元二次方程的根，分析为整数的条件即可求解.【详解】当时，原方程为不成立，当时，关于的一元二次方程判别式，所以方程的两个根分别为，，若方程至少有一个整数根，则是的因数，所以或，解得：或，故答案为：或.12．（2020·上海市嘉定区第一中学高一月考）若恒成立，则的值______．【答案】5【分析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.【详解】因为，即恒成立，所以，所以.故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.13．（2020·上海高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是_____【答案】【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，结合x、y是非负整数，得到x＝y＝0，z＝10，进而计算结果.【详解】∵①×3﹣②得：2x+y＝0，∵x、y是非负整数，∴x＝y＝0，z＝10，∴x+5y+3z＝30，故答案为：．三、解答题14．（2021·上海高一期末）已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．【答案】证明见解析；当且仅当时，等号成立．【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与比较大小即可证明.【详解】因为故，即．当且仅当时，等号成立．15．（2021·上海高一期末）设、为实数，比较与的值的大小.【答案】【分析】利用作差、配方、判断符号，可得出与的值的大小关系.【详解】由于、为实数，则，当且仅当时，等号成立.因此，.【过关检测】一、单选题1．（2020·上海高一单元测试）以下结论正确的是A．若且，则B．若，则C．若且，则D．若，集合，则【答案】C【分析】A.举反例即得解；B.时显然错误；C.利用不等式的性质可以证明正确；D.利用集合的关系分析判断得解.【详解】A.设，且，则，所以该选项错误；B.若，则不成立，所以该选项错误；C.若且，则，所以，所以该选项正确；D.若，集合，则，所以该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．（2020·上海市三林中学高一月考）已知，若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】对于A，当时，不等式不成立，故排除A；对于B，当，时，不等式不成立，故排除B；对于C，由于，又，则，故C选；对于D，当时，不等式不成立，故排除D.故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.3．（2020·上海高一单元测试）若，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取特殊值可判断ABD错误；由不等式性质可判断C正确.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，因为，即，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：C.4．（2020·上海市金山中学高一月考）已知为实数，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反例可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.【详解】取，则且，故AB错误.取，则，故C错误.根据不等式的性质可得成立，故D正确.故选：D.5．（2020·上海高一开学考试）若、、为实数，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，若，则，故A不成立；对于B选项，，在不等式同时乘以，得，另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.故选B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.6．（2020·上海高一单元测试）若，，则下列不等关系中不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由不等式的性质，判断ACD，举出反例判断B【详解】∵a＞b，c＞d，∴a﹣b＞0，d﹣c＜0，故a﹣b＞d﹣c一定成立，即一定成立；故A正确；又因为a＞b，故在两边加﹣c可得，a﹣c＞b﹣c，故C正确；由c＞d可得﹣c＜﹣d，两边同时加a可得a﹣c＜a﹣d，故D正确；对B，当时，a+d＞b+c，当时，a+d＜b+c，当时，a+d＝b+c，故不一定成立，故选：B．【点睛】本题考查两式比较大小，涉及不等式性质及特值的应用，属基础题．7．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.【详解】若，则，故选项不正确；若，则，故选项不正确；若，则，因为所以，故选项正确；当，时，才有成立，故选项不正确；故选：【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.8．（2020·上海高一单元测试）如果，那么下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质分析ABC，采用举例的方式分析D，由此得到正确的结果.【详解】A．因为，所以，所以，故错误；B．因为，所以，所以，故正确；C．因为，所以，所以，D．取，所以，故错误，故选：B.9．（2020·上海高一单元测试）设，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的基本性质可判断各选项中的不等式的正误.【详解】，则.对于A选项，，即，A选项中的不等式成立；对于B选项，由可得，由不等式的基本性质可得，B选项中的不等式成立；对于C选项，，则，所以，，由不等式的性质可得，即，C选项中的不等式不成立；对于D选项，由可得，即，D选项中的不等式成立.故选：C.10．（2020·上海高一单元测试）若，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.【详解】解：因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；对于B选项，由于，但，故B选项错误；对于D选项，由于，但，故D选项错误.故选：C.11．（2020·上海市行知中学高一月考）如果，那么下列不等式中错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解．【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B，因为，所以，所以该选项正确；对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D，所以，所以该选项正确．故选：C12．（2020·上海高一专题练习）若非空集合，则使得成立的所有的集合是（）A． B．C． D．空集【答案】B【分析】由成立知，结合非空集合，列不等式式组求解集即可.【详解】使成立，则，∴由题设，知：，解得：.故选：B二、填空题13．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则__________．【答案】【分析】根据不等式的性质可求得，进而得到，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.【详解】，又故答案为【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.14．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程的两个根为､，则___________.【答案】【分析】利用韦达定理代入求解即可.【详解】由方程的两个根为､，利用韦达定理得：，.故答案为：.15．（2020·上海市复兴高级中学高一期中）若、是方程