第02讲10.2事件的相互独立性(原卷版+解析)

第02讲10.2事件的相互独立性题型一：独立事件的判断典型例题例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（

）A．与相互独立 B．与对立C．与相互独立 D．与相互独立例题2．（2024·江苏·模拟预测）有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（

）A．与为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件例题3．（多选）（23-24高二上·河南驻马店·期末）有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（

）A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立例题4．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有（用数字①②③作答）①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.精练核心考点1．（23-24高一下·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立2．（23-24高一下·广西·开学考试）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（

）A．与相互独立 B．与是对立事件C．与是对立事件 D．与相互独立3．（多选）（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．通过判断或计算可知，下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥且对立 B．事件与事件互斥且对立C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立4．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期末）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立题型二：相互独立事件与互斥事件典型例题例题1．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（

）A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件例题2．（23-24·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立例题3．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（

）A．与互为对立事件 B．与为相互独立事件C．与相等 D．精练核心考点1．（23-24高一下·全国·课后作业）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（

）A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立2．（23-24高一下·全国·课时练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（

）A．A与B，A与均相互独立B．A与B相互独立，A与互斥C．A与B，A与均互斥D．A与B互斥，A与相互独立3．（多选）（23-24高三上·广东江门·阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率B．若事件与事件互斥，则事件与事件对立C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立题型三：独立事件的乘法公式典型例题例题1．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（

）A． B． C． D．例题3．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.例题4．（23-24高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.(1)求小明4道题目至少答错1道题的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.精练核心考点1．（多选）（23-24高一下·辽宁·期末）同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）“一带一路”空港工程建设，甲、乙公司独立地完成的概率分别为和，则此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为．3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则.4．（23-24高二上·广东茂名·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两人都译不出密码的概率；(2)至多一人译出密码的概率.题型四：独立事件的实际应用典型例题例题1．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.例题3．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打个球甲赢的概率；(2)求该局打个球结束的概率．精练核心考点1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.3．（22-23高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)求甲两次都没有击中目标的概率；(2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率.第02讲10.2事件的相互独立性题型一：独立事件的判断典型例题例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（

）A．与相互独立 B．与对立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】C【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；其中事件“”包含的样本点有：，，，，，共个；事件“”，包含的样本点有：，，，，，，，，共个，事件“”，包含的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故B错误；因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则，又，，所以，所以与不相互独立，故A错误；又事件包含的样本点有：，，共个，所以，，则，所以与相互独立，故C正确；事件包含的样本点有：，，，，，共个，因为，所以与不相互独立，故D错误．故选：C例题2．（2024·江苏·模拟预测）有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（

）A．与为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件【答案】B【分析】根据对立事件和互斥事件的定义即可判断AD；根据相互独立事件的定义结合古典概型公式进行计算，即可判断BC.【详解】由题意，与互斥但不对立，故A错；事件有共种，则，事件有共种，则，其中事件有共种，事件有共种，，则，所以与相互独立，故B对；，所以与不独立，故C错；因为与可同时发生，所以与不互斥，故D错.故选：B.例题3．（多选）（23-24高二上·河南驻马店·期末）有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（

）A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立【答案】BC【分析】列出基本事件，利用古典概型的概率公式结合独立事件的定义一一判断即可．【详解】从上述个球中不放回的随机取两次，每次取1个球，所有的基本事件：、、、、、、、、、、、，共种，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，事件包含的基本事件有：、、、、、、，，共8种，事件包含的基本事件有：、、、，共4种，对于A：，，事件包含的基本事件有：、、、，共4种，则，故，不独立，故A错误；对于B：事件包含的基本事件有：、、、，共种，则，又，所以，故，相互独立，故B正确；对于C：事件包含的基本事件有：、，共2种，则，又因为，则，则、相互独立，故C正确；对于D：因为、互为对立事件，所以，则，故、不相互独立，故D错误．故选：BC．例题4．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有（用数字①②③作答）①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.【答案】①②③【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解.【详解】依题意，，，对于①，，所以与是相互独立本件；对于②，，所以与是相互独立事件；对于③，，所以与是相互独立事件.故答案为：①②③.精练核心考点1．（23-24高一下·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立【答案】D【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.2．（23-24高一下·广西·开学考试）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（

）A．与相互独立 B．与是对立事件C．与是对立事件 D．与相互独立【答案】D【分析】利用互斥，对立，独立事件的定义逐项判断即可.【详解】由题意可得基本事件总数为，设，由题意可得与可以同时发生，故不是对立事件，易知与不同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，比如还可以有发生，则错误.，则，从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确.故选：D3．（多选）（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．通过判断或计算可知，下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥且对立 B．事件与事件互斥且对立C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立【答案】AD【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项AB；利用独立事件的定义可判断CD.【详解】有三个小孩的家庭的样本空间：={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}事件={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)}，对于A，,且，则事件B与事件C互斥且对立，A正确；对于B，{(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}，则事件与事件不互斥，B错误；对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然，即事件与事件不相互独立，C错误；对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然，即事件与事件相互独立，D正确.故选：AD4．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期末）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】ABC【分析】利用独立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，，，记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、，用表示两次取球的号码，则事件包含的基本事件有：、、、、，则，事件包含的基本事件有：、、，则，事件包含的基本事件有：、、，则，事件包含的基本事件有：，则，事件包含的基本事件有：，则，对于A选项，，则与相互独立，A对；对于B选项，，所以，与相互独立，B对；对于C选项，，所以，与相互独立，C对；对于D选项，，所以，与不相互独立，D错.故选：ABC.题型二：相互独立事件与互斥事件典型例题例题1．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（

）A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可.【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.故选：B.例题2．（23-24·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【答案】A【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得.【详解】由题意得，，所以.所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.故选：A.例题3．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（

）A．与互为对立事件 B．与为相互独立事件C．与相等 D．【答案】BD【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A、B；求出概率可判断C、D.【详解】由对立事件是在一次试验中，故A错误；，为独立事件，B正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由，可得C错误；D正确.故选：BD．精练核心考点1．（23-24高一下·全国·课后作业）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（

）A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立【答案】A【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立.故选：A2．（23-24高一下·全国·课时练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（

）A．A与B，A与均相互独立B．A与B相互独立，A与互斥C．A与B，A与均互斥D．A与B互斥，A与相互独立【答案】A【分析】结合独立事件和互斥事件直接判断即可.【详解】由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立.故选：A3．（多选）（23-24高三上·广东江门·阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率B．若事件与事件互斥，则事件与事件对立C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立【答案】ABD【分析】根据和事件、互斥事件、对立事件、独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若是必然事件，则事件与事件的和事件的概率等于事件的概率，A选项说法不正确.B选项，互斥事件不一定是对立事件，所以B选项说法不正确.C选项，如果相互独立，则可以同时发生，故不互斥，C选项说法正确.D选项，若事件互斥，则不能同时发生，所以不是相互独立事件，D选项说法错误.故选：ABD题型三：独立事件的乘法公式典型例题例题1．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.【详解】设甲第局胜，，2，3，且，则甲恰好连胜两局的概率，故选：B．例题2．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得.【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：,因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为：.故选：B．例题3．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.【答案】【分析】利用独立事件的概率公式即可得解.【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为，至少两次投中的概率为.故答案为：；.例题4．（23-24高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.(1)求小明4道题目至少答错1道题的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）小明4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，根据对立事件概率和为1计算即可；（2）分答对2题，应是第3题和第4题，答对三题或全部答对则面试成功，依次计算概率后，再相加即可.【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.（2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分.设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题，则小明面试成功的概率.精练核心考点1．（多选）（23-24高一下·辽宁·期末）同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，逐一判断即可求解.【详解】依题意，，，故选项A正确，B不正确；因为，为相互独立事件，所以，故选项C正确；又因为事件、、不可能同时发生，所以，故选项D不正确；故选：AC.2．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）“一带一路”空港工程建设，甲、乙公司独立地完成的概率分别为和，则此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为．【答案】【分析】根据甲、乙两公司是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】此项工程甲、乙公司都未完成的概率为：，所以此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为.故答案为：.3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则.【答案】/【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.【详解】由题意，，，，，所以事件与相互独立，则与也相互独立，.故答案为：.4．（23-24高二上·广东茂名·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两人都译不出密码的概率；(2)至多一人译出密码的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对立事件的概率公式及独立事件的概率乘法公式求解；（2）先求两人都能译出密码的概率，再由对立事件的概率公式求至多一人译出密码的概率.【详解】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，则，，，，,∴两人都译不出密码的概率为；（2）事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，“两人都译出密码”的概率为，则“密码至多一人译出密码”的概率为，∴两人中至多一人译出密码的概率为.题型四：独立事件的实际应用典型例题例题1．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，所求概率．故选：A．例题2．（2022·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.【答案】(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为(2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可；（2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可.【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，∴所求概率为.（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，∵，∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.例题3．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打个球甲赢的概率；(2)求该局打个球结束的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先设甲发球甲赢为事