第02讲3.2双曲线(原卷版+解析)

第02讲3.2双曲线目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查双曲线定义及根据定义求方程 1题型二：重点考查双曲线上点到焦点距离（含最值） 2题型三：重点考查双曲线中线段和差最值 3题型四：重点考查焦点三角形问题 4题型五：重点考查判断方程是否表示双曲线 5题型六：重点考查双曲线标准方程 6题型七：重点考查双曲线渐近线问题 8题型八：重点考查双曲线离心率问题 9题型九：重点考查由双曲线离心率求方程 10题型十：重点考查由双曲线离心率求参数 11题型一：重点考查双曲线定义及根据定义求方程典型例题例题1．（2023秋·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定例题2．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例题3．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）点P是圆B：上任意一点，，线段的中垂线交直线于点M，当时，点M的轨迹方程为；当时，点M的轨迹方程为．精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．122．（2023·全国·高二专题练习）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则.题型二：重点考查双曲线上点到焦点距离（含最值）典型例题例题1．（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11例题2．（2023·高二课时练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．7 D．8例题3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（）A．5 B．3C．7 D．6题型三：重点考查双曲线中线段和差最值典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.例题3．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为2．（2023·全国·高二课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.3．（2023秋·高二课时练习）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值．题型四：重点考查焦点三角形问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．例题3．（2023·江苏·高二假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于，．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积．3．（2023秋·高二课时练习）若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．题型五：重点考查判断方程是否表示双曲线典型例题例题1．（多选）（2023秋·高二课时练习）关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（

）A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线例题2．（2023秋·高二课时练习）已知，当为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在轴上的双曲线；(3)表示焦点在轴上的双曲线．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示两条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线3．（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）已知曲线（

）A．表示两条直线 B．表示圆C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆4．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）当取一定实数值时，方程可以表示为（

）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的椭圆D．焦点在轴上的双曲线题型六：重点考查双曲线标准方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或例题2．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)，经过点，焦点在y轴上．例题3．（2023秋·高二课时练习）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程；精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线两个焦点分别为、，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程．2．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．3．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）（1）若椭圆的焦点坐标为，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程．（2）与椭圆有公共焦点，且经过点，求双曲线的标准方程．（2023·全国·高二课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.题型七：重点考查双曲线渐近线问题典型例题例题1．（2023·四川成都·校联考二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为．例题3．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为.精练核心考点1．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（

）A．9 B． C．3 D．2．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则．3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线为，若顶点到渐近线的距离为1，求该双曲线的方程．题型八：重点考查双曲线离心率问题典型例题例题1．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2例题2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（

）A． B． C．2 D．例题4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．2．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为题型九：重点考查由双曲线离心率求方程典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，虚半轴长为，离心率为，求该双曲线的标准方程．例题3．（2023春·四川自贡·高二校考期中）（1）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程;（2）已知双曲线（）的离心率，过点和的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.精练核心考点12．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，点分别为曲线的左，右焦点，点为关于一条渐近线的对称点，若，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程．题型十：重点考查由双曲线离心率求参数典型例题例题1．（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023·上海·高三专题练习）设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的左支上，直线与的左支相交于另一点N，且，则．精练核心考点1．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）已知双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（

）A．3 B． C．2 D．3．（2023·全国·高二专题练习）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为

第02讲3.2双曲线目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查双曲线定义及根据定义求方程 1题型二：重点考查双曲线上点到焦点距离（含最值） 4题型三：重点考查双曲线中线段和差最值 7题型四：重点考查焦点三角形问题 10题型五：重点考查判断方程是否表示双曲线 14题型六：重点考查双曲线标准方程 18题型七：重点考查双曲线渐近线问题 22题型八：重点考查双曲线离心率问题 24题型九：重点考查由双曲线离心率求方程 30题型十：重点考查由双曲线离心率求参数 32题型一：重点考查双曲线定义及根据定义求方程典型例题例题1．（2023秋·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定【答案】C【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C例题2．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，，所以，，，因为都在椭圆上，所以，，故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又，，即，，所以，因此的轨迹方程是（）.故选：A.例题3．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）点P是圆B：上任意一点，，线段的中垂线交直线于点M，当时，点M的轨迹方程为；当时，点M的轨迹方程为．【答案】；.【详解】当时，圆B：半径为，点A在圆内，如图，此时,所以，而,故点M的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，故点M的轨迹方程为；当时，圆B：半径为，点A在圆外，如图，线段的中垂线交延长线于点M，此时,所以，而,故点M的轨迹是以为焦点的双曲线，设双曲线方程为，则，故点M的轨迹方程为，故答案为：；精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【详解】双曲线中，得，则，由双曲线的定义可得，因为，所以，解得，故选：B2．（2023·全国·高二专题练习）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，由题意可得，解得，∴双曲线的方程为.故选：A.3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则.【答案】20【详解】由，得，得，因为，，所以或，解得（舍去），或，故答案为：20题型二：重点考查双曲线上点到焦点距离（含最值）典型例题例题1．（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.例题2．（2023·高二课时练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知，∴∴.故选：A例题3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值．【答案】10或2【详解】由双曲线可知，，由双曲线的定义可知，，即，解得或.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】

则故双曲线的两个焦点为,,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,则的最大值为故选：D3．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（）A．5 B．3C．7 D．6【答案】BC【详解】由双曲线的定义可知，即，所以或．故选：BC．题型三：重点考查双曲线中线段和差最值典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.例题2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】/【详解】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.

例题3．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．【答案】【详解】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则，由，因为，所以，设，则，．可得函数在上单调递减，所以，即，故的最大值为．故答案为：．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为【答案】.【详解】由双曲线，可得，则，如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得，所以，又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为，所以，所以，当点在线段上时，取得等号，即的最小值为.故答案为：.2．（2023·全国·高二课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】5【详解】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，

两圆的半径分别为，，易知，，故的最大值为.故答案为：53．（2023秋·高二课时练习）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值．【答案】【详解】，，，则，故双曲线的两个焦点为，，，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为，所以，，则，即的最大值为．

题型四：重点考查焦点三角形问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，设，则①，因为，所以，所以②，又因为的面积为，所以，即，所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.故选：D.

例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，所以在中，，所以，故选：B.例题3．（2023·江苏·高二假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于，．【答案】22【详解】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则，显然，又，解得，所以的周长等于，.故答案为：22；精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．【答案】/【详解】因为双曲线，则，，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为：2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积．【答案】9【详解】不妨设为双曲线右支上一点，由题意得，又，因为，由勾股定理得，故，即，解得，故.

3．（2023秋·高二课时练习）若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．【答案】【详解】如图，

由可得，设，则，又，所以，在中，又因为，.题型五：重点考查判断方程是否表示双曲线典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（

）A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线【答案】ABC【详解】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，则，这样的不存在，D选项错误.故选：ABC.例题2．（2023秋·高二课时练习）已知，当为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在轴上的双曲线；(3)表示焦点在轴上的双曲线．【答案】(1)或(2)(3)【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线，所以，解得或；所以或；（2）因为，即，焦点在轴上的双曲线，则，解得，所以；（3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示两条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】AC【详解】对于A，当时，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，即实数的取值范围为，故选项B错误；对于，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，故选项C正确；对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．故选：AC．3．（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）已知曲线（

）A．表示两条直线 B．表示圆C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆【答案】BCD【详解】对于A，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故A错误；对于B，当时，曲线为表示圆，故B正确；对于C，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，当时，，则曲线为表示焦点在轴上的椭圆，故D正确.故选：BCD.4．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）当取一定实数值时，方程可以表示为（

）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的椭圆D．焦点在轴上的双曲线【答案】ABC【详解】∵，且，则有：当，即时，方程表示焦点在轴上的双曲线，B正确；当，即时，则有：①当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，A正确；②当，即时，方程即为，表示圆心在坐标原点，半径为2的圆；③当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，C正确；对于D：若方程表示为焦点在轴上的双曲线，则，无解，D错误.故选：ABC.题型六：重点考查双曲线标准方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，若将点代入，得①，又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，综上所述，双曲线的标准方程为或.故选：C.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)，经过点，焦点在y轴上．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为．（2）因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为．由，且点在双曲线上，可得，解得．因此，所求双曲线的标准方程为．例题3．（2023秋·高二课时练习）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.【答案】【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即，于是，即，整理得，所以动点M的轨迹方程.例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程；【答案】【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设动圆的半径为，因为动圆与圆，圆都外切，所以所以，所以点在以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支上，设双曲线的方程为，所以，所以，注意圆与圆外切于点，所以不可能为，所以的方程为精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线两个焦点分别为、，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程．【答案】【详解】解：由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为．由双曲线的定义知，所以．又因为，所以．因此，所求双曲线的标准方程为．2．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得，即,∵，∴.∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是;（2）设双曲线的方程为，则,∴双曲线方程为.3．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）（1）若椭圆的焦点坐标为，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程．（2）与椭圆有公共焦点，且经过点，求双曲线的标准方程．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）椭圆焦点坐标为，可设椭圆方程为：，又椭圆经过点，且，，椭圆的标准方程为：；（2）由椭圆方程知：焦点坐标为，则可设双曲线方程为：，，又双曲线经过点，，又，解得：，双曲线的标准方程为：.4．（2023·全国·高二课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.【详解】设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则.将上式两边平方，并化简，得，即.所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.题型七：重点考查双曲线渐近线问题典型例题例题1．（2023·四川成都·校联考二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由双曲线，则其渐近线方程为，由题意可得：，整理可得，将代入双曲线方程可得：，解得，，所以双曲线.故选：C.例题2．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为．【答案】【详解】由题可知，故，所以，则渐近线方程为，即，焦点到渐近线距离为1，则，解得，所以，由得，所以双曲线方程为．故答案为：例题3．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为.【答案】【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，所以离心率，故答案为：精练核心考点1．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（

）A．9 B． C．3 D．【答案】A【详解】由题可得，由，得，所以双曲线的渐近线方程，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，故选：A2．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则．【答案】【详解】因为双曲线方程为，故，则实半轴长，虚半轴长为，而双曲线的一条渐近线方程为，故，解得，故答案为：33．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线为，若顶点到渐近线的距离为1，求该双曲线的方程．【答案】【分析】根据双曲线渐近线的定义及点到直线的距离公式计算即可.【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，即，顶点坐标为又顶点到渐近线的距离为1，故，联立有，故双曲线方程为.题型八：重点考查双曲线离心率问题典型例题例题1．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】根据题意不妨取焦点，渐近线方程为，如下图所示：

可得焦点到渐近线的距离为，即；则离心率.故选：A例题2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，

因为切圆于，则，有，因为，则有，，而为的中点，于是，即，，在中，，整理得，所以双曲线E的离心率.故选：C例题3．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】由，得，当时，有，得，当时，有，得，故的所有可能取值的乘积为，故选：C例题4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.精练核心考点1．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，则过点且与直线垂直的直线方程为，令，则，则，所以，所以此双曲线的离心率是.故选：C.

2．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线：的渐近线方程为.设，联立方程组，解得.因为，所以，即，可得.又因为点在双曲线上，所以，将代入，可得，由，所以，所以，即，化简得，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.

3．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】设，则，由，则点为线段的中点，则，从而有，又，所以，又由，则，即，所以，所以．故选：D.4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为【答案】/【详解】

依题意有所以，设又所以、在中，所以，故有：即解得：即在中，有即，所以故答案为：.题型九：重点考查由双曲线离心率求方程典型例题例题1．（2023秋·高