第02讲3.2函数的基本性质+3.3幂函数(原卷版+解析)

第02讲3.2函数的基本性质+3.3幂函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 2题型二：重点考查求函数的单调区间 3题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 3题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 4题型五：重点考查根据函数的最值求参数 5题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 7题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 9题型八：重点考查分段函数的值域或最值 11题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 12题型十：重点考查函数奇偶性的判断 14题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 16题型十二：重点考查由奇偶性求参数 17题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 18题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 20题型十五：重点考查幂函数 21题型一：重点考查定义法证明函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）证明：在区间上是单调递增函数.例题2．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数，满足条件.(1)求的解析式；(2)用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）证明：函数在区间上是增函数.（2023·全国·高一课堂例题）求函数的单调递减区间．题型二：重点考查求函数的单调区间典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A． B．和C． D．和例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．求函数的单调区间．精练核心考点1．（2023春·高一校考开学考试）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一课时练习）求函数的单调减区间.3．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是．题型三：重点考查利用函数的单调性求参数典型例题例题1．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．例题3．（2023秋·高一课时练习）已知函数.若函数在区间上单调，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是．题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）函数在区间上的最大值为；最小值为．例题2．（2023秋·高一课时练习）求函数在区间上的最大值与最小值．例题3．（2023·全国·高一课堂例题）设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式．精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知函数，求的值域．2．（2023秋·高一课时练习）求函数在区间上的最大值与最小值3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数.(1)当时，判断在R上的单调性；(2)记在R上的最小值为，写出的表达式并求的最大值.题型五：重点考查根据函数的最值求参数典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数，若的最小值为0，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知，函数，若函数的值域为，则的值为.例题4．（2023·全国·高二专题练习）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．(1)求的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·校联考三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是.3．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.4．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是.题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．

例题2．（2023春·黑龙江双鸭山·高一校考期中）函数的单调递增区间为.例题3．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知函数（）.(1)当时，画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间；(2)若在区间上的最大值为，求的表达式.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有；函数的单调递减区间有．

2．（2023秋·高一课时练习）已知函数（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数.(1)求、的值；(2)画出函数的图象，并指出它的单调区间（不需证明）；(3)当时，求函数的值域.题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．例题2．（2023秋·高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高一课堂例题）函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为．例题4．（2023秋·高一课时练习）已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（

）A．B．C．D．2．（2023春·天津蓟州·高二校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）函数在区间上是增函数,且,求实数x的取值范围.4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.题型八：重点考查分段函数的值域或最值典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业），记，则函数（）的最小值是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数存在最小值，则的取值范围是.例题3．（2023·全国·高一假期作业）已知函数.(1)求的最小值;(2)求的最大值.精练核心考点1．（2023春·江苏常州·高一常州高级中学校考开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为．3．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数则函数的最大值为，最小值为.题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．例题2．（2023春·江苏·高二南京市人民中学校联考阶段练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为.例题3．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数.(1)若当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)若存在，使成立，求实数取值范围；(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围.例题4．（2023·高一单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高一课堂例题）设，不等式恒成立，则实数的最大值为．2．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是.3．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知a，b为常数，且，，.(1)若方程有唯一实数根，求函数的解析式(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围4．（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.题型十：重点考查函数奇偶性的判断典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).例题2．（2023·全国·高一课堂例题）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).2．（2023·全国·高一假期作业）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．例题3．（2023·全国·高一课堂例题）为上的奇函数，当时，，则．精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的表达式．3．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知是定义域为的奇函数，且时，，当时，的解析式为.题型十二：重点考查由奇偶性求参数典型例题例题1．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设是定义在上的奇函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．-2例题2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，若是偶函数，则（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4例题3．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则=精练核心考点1．（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）设是定义在上的奇函数，则（）A． B． C． D．2．（2023春·山东威海·高二统考期末）已知函数是偶函数，则实数.3．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，若是偶函数，则．题型十三：重点考查由奇偶性解不等式典型例题例题1．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为.例题4．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且(1)求实数，的值．(2)判断在上的单调性，并用定义法证明．(3)解不等式：.精练核心考点1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一单元测试）若函数是定义在R上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为．3．（2023·全国·高一课堂例题）已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为．4．（2023秋·高一课时练习）设是定义在上的奇函数．(1)求b的值；(2)若在上单调递增，且，求实数m的取值范围．题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用典型例题例题1．（2023春·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则．精练核心考点1．（2023春·云南曲靖·高一校考期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（

）A．0 B．1 C．-1 D．22．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（

）A． B．0 C．1 D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，则（

）A．6 B．3 C．0 D．题型十五：重点考查幂函数典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取，，2四个值，相应的曲线对应的依次为（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）若＜，则实数的取值范围．例题4．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数是幂函数，则=精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是（填序号）．①；②；③；④；⑤.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为．4．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为.

第02讲3.2函数的基本性质+3.3幂函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 2题型二：重点考查求函数的单调区间 4题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 6题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 8题型五：重点考查根据函数的最值求参数 12题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 17题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 21题型八：重点考查分段函数的值域或最值 25题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 28题型十：重点考查函数奇偶性的判断 33题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 37题型十二：重点考查由奇偶性求参数 40题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 41题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 46题型十五：重点考查幂函数 48题型一：重点考查定义法证明函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）证明：在区间上是单调递增函数.【答案】证明见解析.【详解】设，且，则，因为，所以，，所以，所以，即.故在区间上是单调递增函数.例题2．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数，满足条件.(1)求的解析式；(2)用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.【答案】(1)(2)证明见解析，.【详解】（1）因为，且，所以解得所以；（2）由，设任意的且，则因为且，所以，所以，则在上单调递增，所以.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）证明：函数在区间上是增函数.【答案】证明见解析.【详解】任取，且，则，因为，且，所以，所以，即，所以在上是增函数.2．（2023·全国·高一课堂例题）求函数的单调递减区间．【答案】函数的单调递减区间为，【详解】方法一（定义法）由题意知函数的定义域是，设，是区间上的任意两个实数，且，则，，∵，，∴，，，，∴，即，∴函数在上单调递减．同理可得，函数在上单调递减．综上可得，函数的单调递减区间为和．方法二（分离常数法）由题意知函数的定义域是，函数可变形为，此时，求函数的单调区间转化为求函数的单调区间．由，知，则函数在和上均单调递减．故函数的单调递减区间为，．题型二：重点考查求函数的单调区间典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A． B．和C． D．和【答案】B【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是．【答案】，【详解】去绝对值，得函数当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递减区间为综上，函数

的单调递减区间为，故答案为：，例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．求函数的单调区间．【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为【详解】由题意得当时，，此时函数的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为．综上所述，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.精练核心考点1．（2023春·高一校考开学考试）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】.因为，，所以的增区间是．故选：D2．（2023秋·高一课时练习）求函数的单调减区间.【答案】单调递减区间是【详解】函数的定义域为,任取,且,则,因为,所以,所以,即.所以函数在上单调递减,同理函数在上单调递减.综上,函数的单调递减区间是.3．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是．【答案】【详解】因为函数可化为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的单调递减区间为，故答案为：.题型三：重点考查利用函数的单调性求参数典型例题例题1．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，而的图象开口向下，对称轴为，故且，即，故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】.【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；当时，函数图象的对称轴为直线，因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意．综上，实数的取值范围为.故答案为：例题3．（2023秋·高一课时练习）已知函数.若函数在区间上单调，求实数的取值范围.【答案】.【详解】函数的单调区间是，因为函数在区间上单调，则有或，即有或，解得或，所以实数a的取值范围是.精练核心考点1．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，函数是实数集上的减函数，所以在时，随的增大而减小，符合题意，当时，二次函数的对称轴为，因为在时，随的增大而减小，所以有，综上所述：的取值范围是，故选：D2．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由于为开口向下的二次函数，对称轴为，所以，故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】.【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为，因为在上单调递增，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）函数在区间上的最大值为；最小值为．【答案】/【详解】易知函数在区间上单调递减，在区间上也是单调递减，所以函数在该区间上是单调递减，所以，；故答案为：，例题2．（2023秋·高一课时练习）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】【详解】任取，则因为，所以，所以，所以所以在区间上是减函数，所以，.例题3．（2023·全国·高一课堂例题）设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式．【答案】【详解】，，，对称轴为直线，将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论．（1）当，即时，解得或．此时．（2）当，即时，解得．此时．（3）当，即时，．综上所述，.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知函数，求的值域．【答案】【详解】任取，则，由于，所以，可得，即所以在上单调递增，无最小值，且趋近于0时，趋近于；当时取得最大值1.所以的值域为．2．（2023秋·高一课时练习）求函数在区间上的最大值与最小值【答案】最小值是，最大值是.【详解】任取且，则，，因为，所以.又，所以，所以函数在上是减函数．所以在区间上的最小值是，最大值是.3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数.(1)当时，判断在R上的单调性；(2)记在R上的最小值为，写出的表达式并求的最大值.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)，【详解】（1），即当时，，，则函数在上单调递减，在上单调递增，（2），，当，即时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，，当且，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，当，即时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，综上，当时，，所以.题型五：重点考查根据函数的最值求参数典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，所以函数，解得，，所以．故选：C．例题2．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数，若的最小值为0，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得因为，所以，当且仅当时，等号成立，当，即时，，不符题意；当，即时，由，解得.综上，.故选：D例题3．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知，函数，若函数的值域为，则的值为.【答案】【详解】当时，时，，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故，故，当时，，此时满足值域.当时，，此时，不满足，故.当时，时，，当时，，不满足；当时，时，，单调递增，，当时，，不成立；综上所述：故答案为：例题4．（2023·全国·高二专题练习）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．(1)求的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由为二次函数，可设∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，∴，∴，∴．（2）∵，即在上恒成立，又∵当时，有最小值0，∴，∴实数m的取值范围为．精练核心考点1．（2023·全国·校联考三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，函数在上的最小值为，所以对，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当时，，当时，可得恒成立.当或时，不等式显然成立；当时，，因为，所以，，，所以；当时，，因为，所以，，，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选：D.2．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是.【答案】【详解】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减（i）当时，在上单调递增，所以，则，，所以，，，，，，或或；（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，；综上，的取值范围为.故答案为：3．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】解：由题意，在中，∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.故答案为：.4．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是.【答案】【详解】因为，当，即时，，，此时对称轴为，所以，即，所以，解得，所以；当，即或时，有两个根，，设，此时对称轴为或，当，即时，，即所以，解得，所以；当，即时，，即所以，解得，不满足，故无解.综上所述，的取值范围是，故的最大值为.故答案为：题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．

【答案】【详解】由图可知，函数的增区间为，减区间为.故答案为：；.例题2．（2023春·黑龙江双鸭山·高一校考期中）函数的单调递增区间为.【答案】【详解】解：因为，所以函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为故答案为：例题3．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知函数（）.(1)当时，画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间；(2)若在区间上的最大值为，求的表达式.【答案】(1)图象见解析，的单调减区间为和(2).【详解】（1）当时，的图象如图由图象可知的单调减区间为和（2）由题，的对称轴为，则①当时，即时，在单调递减，在单调递增，所以，，，因为当时，，当时，，所以，②当时，即时在和单调递减，在单调递增，所以，因为当时，，所以，综上所述.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有；函数的单调递减区间有．

【答案】，，【详解】由图可知函数的单调递增区间有，，函数的单调递减区间有，.故答案为：，；，2．（2023秋·高一课时练习）已知函数（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.【详解】（1）图象如图所示（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数.(1)求、的值；(2)画出函数的图象，并指出它的单调区间（不需证明）；(3)当时，求函数的值域.【答案】(1)，；(2)图象见解析，单调递增区间为，递减区间为，；(3)【详解】（1），；（2）的图象如下：

单调递增区间为，递减区间为，；（3）由（2）可知，当时，单调递减，当时，单调递增，故，因为，故，故值域为.题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以由，因为是定义在上的增函数，所以有，故选：A例题2．（2023秋·高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得：当时，，则函数在上单调递减，且当时，，则函数在上单调递减，且，所以函数在上是减函数，又，所以，解得：，实数的取值范围是.故选：C.例题3．（2023·全国·高一课堂例题）函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为．【答案】或【详解】解：因为是奇函数，且，在上单调递增，所以，且在上单调递增．所以不等式可化为或即或，解得或．所以原不等式的解集是或.故答案为：或.例题4．（2023秋·高一课时练习）已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)0(2)【详解】（1）令，得，解得：，所以.（2）因为对任意，都有，所以函数在上单调递减，又时，，且，则由，得：，即，所以，解得：，故实数的取值范围为.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为为上的减函数，所以由，得：，即，即，解得：，所以实数的取值范围为，故选：B.2．（2023春·天津蓟州·高二校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为在上为单调递减函数，所以，所以不等式的解集为.故选：A3．（2023秋·高一课时练习）函数在区间上是增函数,且,求实数x的取值范围.【答案】【详解】∵在上是增函数,且,∴,即.所以实数x的取值范围为.4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.【答案】(1),(2)证明见解析(3)【详解】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得.（2）设，则，所以，即，因为所以，所以，即都有，所以在上单调递减.（3）由题可知，所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由（2）知在上单调递减，所以，即即，解得.所以，解集为.题型八：重点考查分段函数的值域或最值典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业），记，则函数（）的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当，即或，解得时，，函数单调递增，所以；当时，，函数单调递减，；当时，，函数单调递增，；综上，.故选：A.例题2．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数存在最小值，则的取值范围是.【答案】【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；②当时，.当时，，故函数存在最小值；③当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.若，则不存在最小值，故，解得.此时满足题设；④当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.因为，所以，因此不存在最小值.综上，的取值范围是.故答案为：.例题3．（2023·全国·高一假期作业）已知函数.(1)求的最小值;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)2【详解】（1）由题意可得：，当时，在区间上单调递减，最小值；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值；当时，在区间上单调递增，最小值；综上所述：.（2）由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为；当时，在单调递增，所以的最大值为；综上所述：的最大值.精练核心考点1．（2023春·江苏常州·高一常州高级中学校考开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为，当时，，对称轴为，当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则,当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为，综上故选：A2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为．【答案】－4【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，所以，所以，故答案为：3．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数则函数的最大值为，最小值为.【答案】2【详解】时，，时，，，时，是减函数，无最大值和最小值，但由得．综上的最大值为2，最小值为故答案为：2；．题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【详解】对任意，函数的值恒大于零设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或.故选：C.例题2．（2023春·江苏·高二南京市人民中学校联考阶段练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为.【答案】【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.又因为在上单调递增，所以时，，由题意，对任意的，存在，使得，所以，所以，即，所以实数a的取值范围为.故答案为：.例题3．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数.(1)若当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)若存在，使成立，求实数取值范围；(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）∵当时，恒成立，需，即，解得，∴实数a的取值范围是.（2）由题意可转化为在上有解，令，当时，需，函数图象的对称轴方程为，且抛物线的开口向上，当时，，解得，当时，，解得，综上可得，满足条件的实数a的取值范围是.（3）令，可知函数的图象为一条直线，当时，有恒成立，只需，即，解得或.所以实数x的取值范围是.例题4．（2023·高一单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】或【详解】原不等式可化为.设，当时，恒成立，满足题意；当时，恒成立，不满足题意；当时，函数单调递增，要使不等式成立，则应有，即有，解得，或；当时，函数单调递减，要使不等式成立，则应有，即有，解得，.综上所述，x的取值范围为或.精练核心考点1．（2023·全国·高一课堂例题）设，不等式恒成立，则实数的最大值为．【答案】3【详解】，故只需．因为，令，则，再令，在上单调递增，故当，即时，取最小值3，所以，的最大值为3．故答案为：32．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为函数，，而函数在为减函数，在为增函数，所以，即函数的最小值为,又，使得成立，则，即，解得：或，即实数的取值范围是或，故答案为：3．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知a，b为常数，且，，.(1)若方程有唯一实数根，求函数的解析式(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.4．（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为二次函数，所以关于的不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，记，因为，所以，则，因为在上单调递增，所以，，所以；（2）对，使不等式成立，转化为，在上单调递增，，，①当，即时，在上单调递增，，此时，且，解得；②当，即时，在上单调递减，此时，且，解得；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，且，解得，综上所述，实数的取值范围为或.题型十：重点考查函数奇偶性的判断典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数，又是偶函数．【详解】（1）函数的定义域为，不关于原点对称，故函数既不是奇函数，又不是偶函数．（2）函数的定义域为R.又所以函数为奇函数.（3）函数的定义域为R.又，所以函数为偶函数.（4）因为函数的定义域为，则，且，则且，所以函数既是奇函数，又是偶函数.例题2．（2023·全国·高一课堂例题）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)奇函数(3)答案见解析(4)奇函数【详解】（1）∵函数的定义域为且，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）方法一（定义法）

函数的定义域为，关于原点对称．∵，∴函数是奇函数．方法二（根据图象进行判断）画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数是奇函数．

（3）当时，为偶函数．当时，，取，得，，即，函数既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数；当时，函数为偶函数.（4）的定义域为，关于原点对称．方法一：∵，∴，∴为奇函数．方法二：当时，，此时，即；当时，；∴为奇函数．精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)既不是奇函数也不是偶函数(4)既不是奇函数也不是偶函数．【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又，是奇函数．（2）的定义域为，关于原点对称，又，是偶函数．（3）由，得，即函数的定义域是，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数．（4）的定义域为，，，既不是奇函数也不是偶函数．2．（2023·全国·高一假期作业）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数.（2）由，解得，则的定义域为，关于原点对称，又，则既是奇函数，也是偶函数.（3）由，可得或，的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数．题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】【详解】设，则.可得，又函数f(x)是奇函数．∴，∴.故选：B.例题2．（2023秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．【答案】【详解】因为当时，，所以因为是R上的偶函数，所以，，所以.例题3．（2023·全国·高一课堂例题）为上的奇函数，当时，，则．【答案】【详解】当时，，则．由于是上的奇函数，故，所以当时，．因为为上的奇函数，故．综上，，故答案为：精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设，则，∴，又∵函数是定义域为R的奇函数，∴，∴当时，.又时，，所以；（2）∵是偶函数，是奇函数，，∴．则即，解之得.2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的表达式．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足，∴，，∴，即函数是以为周期的周期函数，又时，∴，（2）∵当时，∴当时，，∴，∴当时，，∴.3．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知是定义域为的奇函数，且时，，当时，的解析式为.【答案】【详解】设，则，所以.是奇函数，所以，因此当时，.故答案为：题型十二：重点考查由奇偶性求参数典型例题例题1．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设是定义在上的奇函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．-2【答案】B【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得：，所以，则，则.故选：B.例题2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，若是偶函数，则（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】A【详解】由题意可得．因为是偶函数，所以，解得．故选：A例题3．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则=【答案】1【详解】函数的定义域为所以，若函数是偶函数则，则，解得。故答案为：.精练核心考点1．（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）设是定义在上的奇函数，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是定义在上的奇函数，则关于原点对称，所以，，解得，且，即，所以，，解得，所以，，且，所以，.故选：D.2．（2023春·山东威海·高二统考期末）已知函数是偶函数，则实数.【答案】【详解】，由题意该二次函数是偶函数，则对称轴为轴，即对称轴方程，解得.故答案为：3．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，若是偶函数，则．【答案】【详解】因为是偶函数，所以，，即，解得.故答案为：.题型十三：重点考查由奇偶性解不等式典型例题例题1．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是偶函数，且在区间上单调递增，所以由得，解得，故选：B.例题2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.例题3．（2023秋·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为.【答案】【详解】记，当，时，，则有或所以函数在上单调递减，因为函数是定义在R上的奇函数，所以所以为偶函数，因此在单调递增，且，不等式等价于和，故或，解得或，故不等式的解为，故答案为：例题4．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且(1)求实数，的值．(2)判断在上的单调性，并用定义法证明．(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)在上为增函数，证明见解析(3)【详解】（1）由题意得，解得，经验证满足题设；（2）在上是增函数，证明如下：在上任取两数且，则，因为，所以，，故，即，所以在上为增函数；（3）为奇函数，定义域为，由得，∵在上为增函数，∴，解得.所以原不等式的解集为精练核心考点1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为为偶函数，所以，所以，且，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，当时，则，故，当时，则，故，综上：的解集为.故选：B2．（2023秋·高一单元测试）若函数是定义在R上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为．【答案】【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，可得，又因为函数在上是减函数，可得在上是增函数，由不等式，可得，即的解集为.故答案为：.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为．【答案】