第02讲2.4圆的方程+2.5直线与圆圆与圆的位置关系(原卷版+解析)

第02讲2.4圆的方程+2.5直线与圆，圆与圆的位置关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 1题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 2题型三：重点考查圆过定点问题 3题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 4题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 5题型六：重点考查圆的切线问题 6题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 8题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 10题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 11题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 12题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 12题型十二：重点考查圆的公切线问题 13题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 14题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 16题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知关于，的二元二次方程，当为时，方程表示的圆的半径最大．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为．2．（2023·全国·高二专题练习）若表示圆，则实数的值为.题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（

）A． B．C． D．例题2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，求(1)过点，且周长最小的圆的标准方程；(2)过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.例题4．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点，圆心为点；(2)经过点，且圆心在轴上.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）(用两种方法求解)已知圆E经过三点，，，则圆E的一般方程为．2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C经过点和点，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为．4．（2023·全国·高二专题练习）已知点和，求:(1)线段的垂直平分线l的方程;(2)以线段为直径的圆的标准方程.题型三：重点考查圆过定点问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和例题2．（2023秋·高二课时练习）已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为2．（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是.题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断典型例题例题1．（2023·江苏·高二假期作业）直线与圆的位置关系是（

）A．过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心例题2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标．例题3．（2023秋·高二单元测试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为.(1)求圆的方程；(2)证明：直线与圆恒相交．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定2．（2023·全国·高二课堂例题）圆与直线的位置关系是，圆上的点到直线的最大距离是．3．（2023·江苏·高二假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数典型例题例题1．（2023春·云南曲靖·高二校考期中）若直线与圆相切，则的值是（

）A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12例题2．（多选）（2023秋·全国·高二期中）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）直线：上存在两个不同的点到点的距离为，则的取值范围是.例题4．（2023·江苏·高二假期作业）求实数的取值范围，使直线与圆分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习）圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为，则的值可以是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2023秋·高二课时练习）直线与圆有两个不同的交点的充分不必要条件可以是（）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二课堂例题）与直线平行且与圆相切的直线的方程为．4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为.题型六：重点考查圆的切线问题典型例题例题1．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（

）A． B．y＝－C．y＝－ D．例题2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点为圆心作单位圆，直线与直线平行，且过点，为直线上一动点，过点作直线与圆相切于点，则面积的最小值为．例题3．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）解答下列问题．(1)求经过点且与相切的直线的方程；(2)求经过点且与圆相切的直线的方程．例题4．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知圆是圆：关于直线：的对称圆．(1)求圆的方程(2)求过点与圆相切的切线方程．精练核心考点1．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为.3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：(1)圆的一般方程；(2)圆过点的切线方程.4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知圆C经过点A（－1，0）和B（5，0），且圆心在直线x＋2y－2＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)直线l过点D（－1，1），且与圆C相切，求直线l的方程；题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．例题2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）直线与圆交于、两点，则.例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与圆O：相交于不重合的，两点，是坐标原点，且，，三点构成三角形．

(1)求的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二课时练习）点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为．3．（2023春·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校联考期中）已知圆，直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．

4．（2023秋·全国·高二期中）已知圆.(1)过点作圆的切线，求的方程；(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题典型例题例题1．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．81例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和直线，则圆心到直线的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．例题3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是．例题4．（2023秋·高二课时练习）（1）如果实数，满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数，满足方程，求的取值范围． 精练核心考点1．（2023·北京·高三专题练习）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为.3．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.4．（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为.题型九：重点考查两圆的位置关系的判断典型例题例题1．（2023春·上海·高二期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切例题2．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知两圆，，判断圆与圆的位置关系．精练核心考点1．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．外离2．（2023秋·全国·高二专题练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切3．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·高二课时练习）圆与圆外切，则的值为（

）A． B． C．2 D．5例题2．（2023秋·高二课时练习）已知与的方程分别为，若两圆相交，则的取值范围是．例题3．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知，与一条坐标轴相切，圆心在直线上.若与相切，则的一个方程为.精练核心考点1．（2023·江苏·高二假期作业）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为．3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为.题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题典型例题例题1．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）圆与圆的公共弦长为（

）A．1 B．2 C．4 D．8例题2．（2023·上海·高二专题练习）已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是．例题3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．2．（2023春·云南保山·高二统考期中）若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为．3．（2023秋·高二课时练习）已知两圆，当圆与圆相交且公共弦长为4时，求的值．题型十二：重点考查圆的公切线问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·江苏·高二假期作业）圆与圆，则圆与圆的公切线方程为.例题4．（2023秋·全国·高二专题练习）已知圆的方程为，圆的方程为.(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.精练核心考点1．（2023秋·全国·高二专题练习）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为；此时公切线的方程为.4．（2023·全国·高二专题练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知，，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则动点的轨迹方程为．例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的一般方程；(2)若线段的端点在圆上运动，端点为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为.2．（2023·全国·高二专题练习）已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是．3.（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.题型十四：重点考查直线与圆的实际应用典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？例题2．（2023秋·高一单元测试）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.精练核心考点1．（2023·江苏·高二假期作业）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？2．（2023·全国·高二专题练习）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到米．

第02讲2.4圆的方程+2.5直线与圆，圆与圆的位置关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 1题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 3题型三：重点考查圆过定点问题 7题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 9题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 11题型六：重点考查圆的切线问题 15题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 19题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 24题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 29题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 30题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 33题型十二：重点考查圆的公切线问题 35题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 39题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 41题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为方程，即表示圆，等价于0，解得或.故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知关于，的二元二次方程，当为时，方程表示的圆的半径最大．【答案】【详解】即，，解得，设圆的半径为r，则，所以当时，，所以．故答案为：．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为．【答案】【详解】若“”表示圆，则，解得．“”是“”表示圆的必要不充分条件，可得，即所以实数t的取值范围是．故答案为：.2．（2023·全国·高二专题练习）若表示圆，则实数的值为.【答案】【详解】因为表示圆，所以，解得或，当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；故答案为：题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.例题2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是.【答案】【详解】设所求圆的一般方程为：，，由圆经过三点，，解得：，则所求圆的一般方程为：，所以的外接圆的标准方程是：.故答案为：.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，求(1)过点，且周长最小的圆的标准方程；(2)过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即的中点为圆心，半径，则圆的标准方程为．（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．．故所求圆的标准方程是．解法二：待定系数法设圆的标准方程为，则故所求圆的标准方程为．例题4．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点，圆心为点；(2)经过点，且圆心在轴上.【答案】(1)(2)【详解】（1）圆的半径长为，圆心为点，所以圆的方程为．（2）设所求圆的方程是，因为点P，Q在所求圆上，依题意得解得所以所求圆的方程是.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）(用两种方法求解)已知圆E经过三点，，，则圆E的一般方程为．【答案】【详解】法一(待定系数法)设圆E的一般方程为，则由题意得，解得所以圆E的一般方程为．法二(几何法)因为圆E经过点，，所以圆E的圆心在线段的垂直平分线上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为．则圆E的半径为，圆E的标准方程为，所以圆E的一般方程为．故答案为：.2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为.【答案】【详解】设圆的方程为，令，，则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，所以，所以圆的方程为.故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C经过点和点，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为．【答案】【详解】因为，，所以直线的斜率为，线段中点为，所以中垂线方程为，即，联立，解得，所以圆心的坐标为.根据两点间的距离公式，得半径，因此，所求的圆的方程为.故答案为：.4．（2023·全国·高二专题练习）已知点和，求:(1)线段的垂直平分线l的方程;(2)以线段为直径的圆的标准方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得线段的中点C的坐标为，由和，可得直线的斜率，因为直线l垂直于直线，所以直线l的斜率，故直线l的方程为，即.（2）由和，得，以线段为直径的圆的半径，又圆心为，故所求圆的标准方程为.题型三：重点考查圆过定点问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.例题2．（2023秋·高二课时练习）已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．【答案】（1）；（2）证明见解析；【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时方程表示圆．（2）证明：方程变形为．由于取任何值，上式都成立，则有．解得或所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为【答案】【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.2．（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是.【答案】【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.由，解得即定点坐标为.故答案为题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断典型例题例题1．（2023·江苏·高二假期作业）直线与圆的位置关系是（

）A．过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心【答案】D【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相交但不过圆心，故选：D例题2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标．【答案】直线与圆相交，交点坐标为或【详解】圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，由，得或，所以交点坐标为或例题3．（2023秋·高二单元测试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为.(1)求圆的方程；(2)证明：直线与圆恒相交．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设圆C的方程为，由条件得，解得，所以圆C的方程为；（2）由，得，令得，即直线l过定点，由，知点在圆内，所以直线l与圆C恒相交．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【详解】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）圆与直线的位置关系是，圆上的点到直线的最大距离是．【答案】相交【详解】圆一般方程，圆的标准方程为，则圆的半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相交，且圆上的点到直线的最大距离是．故答案为：相交；.3．（2023·江苏·高二假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．【答案】坐标为或，直线和圆相交【详解】直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解，解这个方程组，得或，所以公共点的坐标为或．因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数典型例题例题1．（2023春·云南曲靖·高二校考期中）若直线与圆相切，则的值是（

）A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12【答案】D【详解】由得圆的圆心坐标为半径为1，因为直线与圆相切，所以或.故选：D.例题2．（多选）（2023秋·全国·高二期中）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线一定经过点，由于圆心为，半径为1，若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆无交点，设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即，因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即，解得或，则反射直线的方程为或.故选：.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）直线：上存在两个不同的点到点的距离为，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意知直线：上存在两个同的点到点的距离为，即以为圆心，以为半径画圆，和直线有2个交点，则点到直线的距离小于，所以，解得或，即的取值范围是，故答案为：例题4．（2023·江苏·高二假期作业）求实数的取值范围，使直线与圆分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）圆的方程化为标准式为，故圆心到直线的距离，圆的半径，若相交，则，即，所以；（2）若相切，则，即，所以；（3）若相离，则，即，所以.精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习）圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由题意知，圆的标准方程为，较短弧所对圆心角是，因为较短弧长与较长弧长之比为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：BC.2．（多选）（2023秋·高二课时练习）直线与圆有两个不同的交点的充分不必要条件可以是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线与圆有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离，所以，解得，显然，，，，即，是的充分不必要条件；是的必要不充分条件；是的充要条件；所以A，C正确，B，D错误．故选：AC.3．（2023·全国·高二课堂例题）与直线平行且与圆相切的直线的方程为．【答案】或【详解】方法一：设直线的方程为，即，圆的圆心坐标为，半径为，由，解得或．故所求直线的方程为或，即或．方法二：设直线的方程为，与圆的方程联立，得消去，得，则，即，解得或，故所求直线的方程为或，即或．故答案为：或．4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为.【答案】【详解】直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：题型六：重点考查圆的切线问题典型例题例题1．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（

）A． B．y＝－C．y＝－ D．【答案】D【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以，的中点为，则以为直径的圆的方程为，所以为两圆的公共弦，因此两圆的方程作差得，所在直线方程为，故选：D.例题2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点为圆心作单位圆，直线与直线平行，且过点，为直线上一动点，过点作直线与圆相切于点，则面积的最小值为．【答案】/【详解】由题知，圆的圆心为，半径为．设直线，将点代入，得，所以直线，所以点O到直线l的距离为，所以.因为，所以，所以的面积为，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为．故答案为：.例题3．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）解答下列问题．(1)求经过点且与相切的直线的方程；(2)求经过点且与圆相切的直线的方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，即点在圆上，且，可知切线的斜率，所以切线的方程为，即.

（2）由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，即点在圆外，当直线斜率不存在时，则直线方程为，此时圆心到直线的距离，即直线与圆相切，符合题意；当直线斜率存在时，设为，则直线方程为，即，可得，解答，所以直线方程为；综上所述：切线方程为或.

例题4．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知圆是圆：关于直线：的对称圆．(1)求圆的方程(2)求过点与圆相切的切线方程．【答案】(1)(2)或．【详解】（1）由：可得：.因为圆是圆：关于直线：的对称圆，则可设的方程为，由题意可得，解得，，所以圆的方程为．（2）过点与圆相切的切线，当切线斜率不存在时，则切线方程为，经检验满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径可得，解得，即切线方程为，综上，所求切线方程为或．精练核心考点1．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.【答案】【详解】由圆，可得圆心，半径，设切点为，因为，可得，所以切线长为.故答案为：.2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为.【答案】（答案不唯一）【详解】因为直线与直线平行，设圆心坐标为，因为圆心到直线的距离等于圆的半径r，所以，取，则圆的方程为.故答案为：（答案不唯一）3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：(1)圆的一般方程；(2)圆过点的切线方程.【答案】(1)(2)和【详解】（1）设圆的一般方程为，代入三个点得，解得所以圆的一般方程为.（2）圆的一般方程化为标准形式为.当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意.当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则依题意可得，解得，此时切线方程为，即.综上所述，圆过点的切线方程为和.4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知圆C经过点A（－1，0）和B（5，0），且圆心在直线x＋2y－2＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)直线l过点D（－1，1），且与圆C相切，求直线l的方程；【答案】(1)(2)x＝－1或4x－3y＋7＝0；【详解】（1）如图，圆C的圆心C必定在A，B连线的垂直平分线上，将代入，解得，，半径，圆C的标准方程为：；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l：，即kx－y＋k＋1＝0，则，解得，此时直线l：4x－3y＋7＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与圆C相切，所以直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0；综上，圆C的标准方程为：，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0.题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】

由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C例题2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】圆：的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线：被圆截得的弦长为，故选：C.例题3．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）直线与圆交于、两点，则.【答案】【详解】圆心到直线的距离为，且圆的半径为，因此，.故答案为：.例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与圆O：相交于不重合的，两点，是坐标原点，且，，三点构成三角形．

(1)求的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．【答案】(1)(2)的最大值为2，取得最大值时【详解】（1）解法一：由题意知：圆心到直线的距离，因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范围为.解法二：联立，化简得：，得，因为A，B，O三点构成三角形，所以所以的取值范围为.（2）直线：，即，点O到直线距离：，所以所以，（且）设，则，所以所以当，即，即时，所以的最大值为2，取得最大值时.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】

当最短时，直线，所以.又，所以，所以的方程为，即.故选：D2．（2023秋·高二课时练习）点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为．【答案】【详解】圆的方程可化为，圆心坐标为，半径长.设这条弦所在直线为，则，因为，所以直线的斜率，所以所求直线为，即.故答案为：3．（2023春·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校联考期中）已知圆，直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】(1)证明详见解析(2)【详解】（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.

4．（2023秋·全国·高二期中）已知圆.(1)过点作圆的切线，求的方程；(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.【答案】(1)或(2)【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，由，可得点在圆外，当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即，则圆心到直线l的距离为，解得，的方程为，即，当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，的方程为或；（2）直线方程为，则圆心到直线的距离，直线与圆相交，题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题典型例题例题1．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【详解】由直线与圆相切可得：圆心到直线的距离等于圆的半径，即，故，即点在圆O上，的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，由圆心为，因为，所以点在圆外，所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，即，所以的最大值为.故选：C.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和直线，则圆心到直线的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【详解】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，直线的方程为，所以直线过定点，过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，所以圆心C到直线l的最大距离为.故选：D

例题3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是．【答案】【详解】由题意可知，的最小值即为圆上一点到直线与圆交点的最小距离，圆心，半径，圆心到直线的距离为，由题意可知．故答案为：.例题4．（2023秋·高二课时练习）（1）如果实数，满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数，满足方程，求的取值范围．【答案】（1）最大值、最小值分别为；（2）【详解】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，过圆心作切线l的垂线交于B，

在中，．∴切线l的倾斜角为，∴的最大值为．同理可得的最小值为．解法二：令，将与联立，消去y得，，即，∴，即的最大值、最小值分别为．（2）可以看成圆上的点到的距离．圆心到的距离为．由图可知，圆上的点到的距离的范围是，则的取值范围是．

精练核心考点1．（2023·北京·高三专题练习）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，则的面积，要使的面积的最小，则最小，又，即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离，，即的面积的最小值为．故选：C．2．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为.【答案】【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，如图所示，根据圆的切线长公式，可得，则，当取最小值时，取最小值，此时，则，则.故答案为：.

3．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.【答案】/【详解】由圆知圆心，半径，因为与圆相切于点，所以，所以，所以越小，越小，

当时，最小，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，，故的周长的最小值为.故答案为：.4．（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为.【答案】【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，表示点到点的距离，表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，则，当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，

故的最小值为.故答案为：.题型九：重点考查两圆的位置关系的判断典型例题例题1．（2023春·上海·高二期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.例题2．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离【答案】B【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，于是，所以两圆相交.故选：B例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知两圆，，判断圆与圆的位置关系．【答案】圆与圆的位置关系是相交【详解】把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径．把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径．圆与圆的圆心距，又圆与圆的半径之和是，半径之差是，而，即，所以圆与圆的的位置关系是相交．精练核心考点1．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【详解】由题意得圆的圆心为，半径为6，圆的圆心为，半径为1，则，故两圆内切，故选：B2．（2023秋·全国·高二专题练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【详解】圆是以为圆心，半径的圆，圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：.3．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【详解】由题意可得，故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，易知，故两圆内切.故选：B题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·高二课时练习）圆与圆外切，则的值为（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【详解】圆的圆心为，半径长为3，圆的圆心为，半径长为2．依题意，即，解得或．故选：AC例题2．（2023秋·高二课时练习）已知与的方程分别为，若两圆相交，则的取值范围是．【答案】【详解】因为，且两圆相交，所以，即，所以．故答案为：

.例题3．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知，与一条坐标轴相切，圆心在直线上.若与相切，则的一个方程为.【答案】(答案不唯一)【详解】由已知可得，的圆心为，半径，所以点到直线的距离，所以，直线与圆相离，所以的圆心在的外面.当与轴相切时，设的圆心，则的半径.因为与相切，且在的外面，所以两圆外切.所以，即，整理可得，.若，整理可得无解，所以，所以，解得或，所以方程为或；当与轴相切时，设圆心，则的半径.由两圆外切可得，，即，整理可得，则，所以有，解得或，所以方程为或.故答案为：.精练核心考点1．（2023·江苏·高二假期作业）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.两圆圆心距为，由于两圆有公共点，所以，解得，所以.故选：D2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为．【答案】0或2【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有或．故答案为：0或2.3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为.【答案】【详解】若圆与圆有且仅有两条公切线，则两圆相交，圆心，半径，圆心，半径，则，若两圆相交，则满足，即，得，又，所以，故答案为：.题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题典型例题例题1．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）圆与圆的公共弦长为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，所以，易知两圆相交，两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为：即，则圆心到直线的距离，故公共弦长为.故选：C.例题2．（2023·上海·高二专题练习）已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是．【答案】【详解】由题意，圆与圆相交，两圆的方程作差得，即公式弦所在直线方程为.故答案为：.例题3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）将圆：化为标准方程为，，，圆的圆心坐标为，半径为，，，两圆相交；（2）由圆与圆，将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．【答案】【详解】联立，两式相减得.故答案为：2．（2023春·云南保山·高二统考期中）若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为．【答案】【详解】由解得或，不妨设，所以.故答案为：3．（2023秋·高二课时练习）已知两圆，当圆与圆相交且公共弦长为4时，求的值．【答案】【详解】由圆，知圆心，设其半径为，则，又由圆，可得，两式相减可得公共弦所在的直线方程为．因为圆与圆相交且公共弦长为，此时相交弦过圆心，代入公共弦直线方程得，解得．题型十二：重点考查圆的公切线问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【详解】当直线的斜率不存在时，直线满足与点距离为，且与点距离为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，因为，则两圆相内切，故两圆的公切线有且仅有条，即，故在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有条.故选：A例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，即，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.例题3．（2023·江苏·高二假期作业）圆与圆，则圆与圆的公切线方程为.【答案】，，或【详解】，圆心，半径；，圆心，半径，因为两圆的圆心距，所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条，当直线的斜率不存在时，与两圆均相切；当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，或，所以圆A与圆B的公切线方程有，或，故答案为：，，或例题4．（2023秋·全国·高二专题练习）已知圆的方程为，圆的方程为.(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【答案】(1)两圆相交，，；(2).【详解】（1）圆A：，圆：，两圆心距，∵，∴两圆相交，将两圆方程左、右两边分别对应相减得：，此即为过两圆交点的直线方程.设两交点分别为、，则垂直平分线段，∵A到的距离，∴.（2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形.∴，∴.精练核心考点1．（2023秋·全国·高二专题练习）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【答案】ACD【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．故选：ACD．3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为；此时公切线的方程为.【答案】5（答案不唯一）和（答案与前空的答案有关联）【详解】圆的圆心为，半径为5.因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即.又，所以，所以可取(答案不唯一.满即可).此时.因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5，所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得，又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得.所以当时，公切线的方程为和.故答案为:5；和.4．（2023·全国·高二专题练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．【答案】或，8【详解】，，，．设内公切线与连心线交于点，则在轴上且．设，可得，．设内公切线所在直线方程为，即．由，得．所以内公切线所在直线方程为或．内公切线的长为．题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设