第01讲直线的斜率与倾斜角(原卷版+解析)

第01讲直线的斜率与倾斜角1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．知识点一直线的斜率1．直线l的斜率对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则eq\f(y2－y1,x2－x1)是一个定值，我们将这个定值eq\f(y2－y1,x2－x1)称为直线l的斜率，即k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．2．对斜率定义的理解对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq\f(Δy,Δx)．知识点二直线的倾斜角1．倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角．2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．3．倾斜角与斜率的关系当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足：k＝tan_α(α≠90°)．考点一：求直线的斜率例1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．【总结】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．变式直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率．考点二：直线的倾斜角例2设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α＋45°或α－135°【总结】求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．变式如图，直线l的倾斜角为()A．60° B．120°C．30° D．150°考点三：直线的倾斜角、斜率的应用例3已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．【总结】1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用k＝tanα(α≠90°)求解．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．4．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)变式已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)2．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为()A．0° B．30°C．60° D．90°3．(多选)下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，且tanα＞0，则α为锐角B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα4．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率．6．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角7．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A．2B．1C．－1D．－28．若A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为________．9．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)10．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq\r(3)，则直线的倾斜角可以为()A．30°B．60°C．120°D．150°1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在2．直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知一直线经过两点A(1,2)，B(a,3)，且倾斜角为135°，则a的值为()A．－6 B．－4C．0 D．64．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为()A．－2eq\r(3) B．0C．eq\r(3) D．2eq\r(3)5．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0<α<eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)<α<πC．eq\f(π,4)≤α<eq\f(π,2) D．eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4)6．(多选)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中错误的是()A．k3＞k1＞k2 B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0 D．k3＞k2＞k17．(多选)下列各组点中，共线的是()A．(1,4)，(1,2)，(1,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)8．过两点A(5，y)，B(3，－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．9．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．10．过不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的取值为________．11．分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)C(－3,4)，D(2,4)；(2)P(0,0)，Q(－1，eq\r(3))；(3)M(－3，eq\r(2))，N(－eq\r(2)，3)；(4)E(7,0)，Q(7，－eq\r(2))．12．坐标平面内有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))13．在△ABC中，A(4,1)，AB的中点M(3,2)，重心G(1，－1)，则BC边所在直线的斜率为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－214．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．15．直线(a2＋2a)x－y＋1＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是______．16．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)l与x轴平行？(2)l与y轴平行？(3)l的斜率为eq\f(1,3)？17．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．18．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ，且k1<k2<k3，探索其倾斜角α，β，γ的大小关系．第01讲直线的斜率与倾斜角1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．知识点一直线的斜率1．直线l的斜率对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则eq\f(y2－y1,x2－x1)是一个定值，我们将这个定值eq\f(y2－y1,x2－x1)称为直线l的斜率，即k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．2．对斜率定义的理解对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq\f(Δy,Δx)．知识点二直线的倾斜角1．倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角．2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．3．倾斜角与斜率的关系当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足：k＝tan_α(α≠90°)．考点一：求直线的斜率例1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．【解析】(1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1．(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1．(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在．【总结】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．变式直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率．【解析】由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，根据直线的斜率公式得k＝eq\f(7－3,2－1)＝4．考点二：直线的倾斜角例2设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α＋45°或α－135°【答案】D【解析】由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°．而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．【总结】求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．变式如图，直线l的倾斜角为()A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【解析】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．考点三：直线的倾斜角、斜率的应用例3已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．【解析】当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝eq\f(3,7)或k≤kPB＝－eq\f(11,6)，即直线l的斜率k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞))．【总结】1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用k＝tanα(α≠90°)求解．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．4．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)变式已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【解析】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7)．直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3)．故直线AB的斜率为eq\f(1,7)，直线AC的斜率为eq\f(5,3)．(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3)))．1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)【答案】D【解析】D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．2．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为()A．0° B．30°C．60° D．90°【答案】A【解析】因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°．3．(多选)下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，且tanα＞0，则α为锐角B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα【答案】AD【解析】对于A，因0°≤α＜180°，且tanα＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，显然D正确．故选A、D．4．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．【答案】135°【解析】设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率．【解析】在菱形ABCD中，∵∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∴直线AC的斜率kAC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，直线BD的斜率kBD＝tan(180°－60°)＝tan120°＝－eq\r(3)．6．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角【答案】ABC7．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A．2B．1C．－1D．－2【答案】A【解析】由题意知，tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.8．若A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为________．【答案】eq\f(9,2)【解析】设直线AB，BC的斜率分别为kAB·kBC，则由斜率公式，得kAB＝eq\f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1,2)－3)＝－eq\f(2,5)(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f(2,5)(m－2)，解得m＝eq\f(9,2).9．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)【答案】0°<α≤90°【解析】当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tanα＝eq\f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.10．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq\r(3)，则直线的倾斜角可以为()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】BC【解析】由题意得直线的斜率为eq\r(3)或－eq\r(3)，故直线的倾斜角为60°或120°.1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在【答案】C【解析】由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C．2．直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°；若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件．故选B．3．已知一直线经过两点A(1,2)，B(a,3)，且倾斜角为135°，则a的值为()A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【解析】因为α＝135°，所以k＝tan135°＝－1，故eq\f(3－2,a－1)＝－1，即a＝0．4．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为()A．－2eq\r(3) B．0C．eq\r(3) D．2eq\r(3)【答案】B【解析】由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan60°＋tan120°＝eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0．5．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0<α<eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)<α<πC．eq\f(π,4)≤α<eq\f(π,2) D．eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4)【答案】C【解析】根据题意，直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)，则直线l的斜率k＝eq\f(1＋m2,2－1)＝1＋m2，又由m∈R，则k＝1＋m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α<π，则eq\f(π,4)≤α<eq\f(π,2)．故选C．6．(多选)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中错误的是()A．k3＞k1＞k2 B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0 D．k3＞k2＞k1【答案】ABC【解析】由题图可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1<k2，可知A，B，C错误．故选A、B、C．7．(多选)下列各组点中，共线的是()A．(1,4)，(1,2)，(1,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)【答案】AC【解析】A中，三点都在直线x＝1上，共线；B中，eq\f(－5－6,－2－7)＝eq\f(11,9)，eq\f(3－6,－5－7)＝eq\f(1,4)≠eq\f(11,9)，不共线；C中，eq\f(－\f(1,3)－0,0－1)＝eq\f(1,3)，eq\f(－\f(1,3)－2,0－7)＝eq\f(1,3)，共线；D中，eq\f(4,2)＝2，eq\f(3,－1)＝－3≠2，不共线．故选A、C．8．过两点A(5，y)，B(3，－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．【答案】－3【解析】因为斜率k＝tan135°＝－1，所以k＝eq\f(y＋1,5－3)＝－1，得y＝－3．9．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．【答案】(3,0)或(0，－3)【解析】若点P在x轴上，设点P的坐标为P(x,0)，则k＝eq\f(0－－1,x－2)＝tan45°＝1，∴x＝3，即P(3,0)．若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，y)，则k＝eq\f(y－－1,0－2)＝tan45°＝1，∴y＝－3，即P(0，－3)．10．过不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的取值为________．【答案】－2【解析】由题意知kAB＝tan45°＝1，即eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2)＝1，解得m＝－1或m＝－2，当m＝－1时，A与B重合，不符合题意舍去，故m＝－2．11．分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)C(－3,4)，D(2,4)；(2)P(0,0)，Q(－1，eq\r(3))；(3)M(－3，eq\r(2))，N(－eq\r(2)，3)；(4)E(7,0)，Q(7，－eq\r(2))．【解析】(1)存在．因为kCD＝eq\f(4－4,2－－3)＝0，所以直线CD的倾斜角为0°．(2)存在．因为kPQ＝eq\f(\r(3)－0,－1－0)＝－eq\r(3)，即tanα＝－eq\r(3)(0°≤α<180°且α≠90°)，所以α＝120°．(3)存在．因为kMN＝eq\f(3－\r(2),－\r(2)＋3)＝1，即tanα＝1，所以直线MN的倾斜角为45°．(4)不存在．因为x1＝x2＝7，所以直线EQ的斜率不存在，倾斜角为90°．12．坐标平面内有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))【答案】B【解析】∵点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)是相异两点，∴kAB＝eq\f(sin2θ－1,cosθ)＝eq\f(－cos2θ,cosθ)＝－cosθ，且cosθ≠0，∴kAB∈[－1,0)∪(0,1]．设直线的倾斜角为α，则tanα∈[－1,0)∪(0,1]，当0<tanα≤1时，倾斜角α的范围为0<α≤eq\f(π,4)；当－1≤tanα<0时，倾斜角α的范围为eq\f(3π,4)≤α<π．∴α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))．故选B．13．(2021·镇江第一中学高二期中)在△ABC中，A(4,1)，AB的中点M(3,2)，重心G(1，－1)，则BC边所在直线的斜率为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2【答案】C【解析】设B(x1，y1)，因为A(4,1)，AB的中点M(3,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,2)＝3，,\f(y1＋1,2)＝2，))解得B(2,3)，设C(x2，y2)，因为重心G(1，－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋2＋x2,3)＝1，,\f(1＋3＋y2,3)＝－1，))解得C(－3，－7)，所以BC边所在直线的斜率为eq\f(3＋7,2＋3)＝2．故选C．14．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))【解析】∵直线的斜率k＝eq\f(3－1,2a－1－a)＝eq\f(2,3a－1)，且直线的倾斜角为钝角，则eq\f(2,3a－1)<0，解得a