第01讲成对数据的统计分析(原卷版+解析)

第01讲成对数据的统计分析题型一：计算样本中心典型例题例题1．（2023·山东潍坊·山东省昌乐第一中学校考模拟预测）具有线性相关关系的变量的一组数据如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为，则回归直线经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限例题2．（2023下·四川乐山·高二期末）在一次实验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程可能是（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023下·陕西汉中·高二校联考期末）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x（万元）与销售利润y（万元）的统计数据如表，由表中数据，得回归直线l的方程为：，则下列结论正确的是（

）广告费用x（万元）2356销售利润y（万元）57911A．直线l过点 B．直线l过点C． D．变量y和x负相关2．（2024上·江西·高二校联考期末）“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为百万元.题型二：根据回归直线方程求数据中的值典型例题例题1．（2023下·四川泸州·高二泸县五中校考期中）已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为（

）12343.24.87.5A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5例题2．（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：34562.5t44.5根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为．精练核心考点1．（2023上·辽宁沈阳·高二校考期末）对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（

）A．3 B．5 C．5.2 D．62．（2023·四川南充·统考一模）某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（

）时间x（月）12345销售量y（万件）11.62.0a3A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B．表中数据的样本中心点为C．D．由表中数据可知，y和x成正相关题型三：根据回归方程估计典型例题例题1．（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第年12345利润/亿元23457已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，预测该人工智能公司第6年的利润约为亿元.例题2．（2023下·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则去除后当时，的估计值为精练核心考点1．（2023上·高二课时练习）从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（

）A．为60.316kg B．约为60.316kgC．大于60.316kg D．小于60.316kg2．（2023上·高二课时练习）若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为．题型四：根据样本中心求参数典型例题例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示：3040506070一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤例题2．（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:单价(元)销量(件)由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为精练核心考点1．（2024上·山东德州·高二统考期末）技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千部）若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为（

）千部.A． B． C． D．2．（2024上·河南焦作·高二统考期末）小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度与时间天的线性回归方程为，则根据回归方程预测，从第（

）天开始蒜苗高度大于.时间天45678蒜苗高度12.44.65.66.4A．15 B．16 C．17 D．18题型五：求回归方程典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）某单位为了研究用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表：气温2016124用电量（度）14284462(1)求关于的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过1度，则认为得到的线性回归方程是可靠的.若某天的气温和用电量分别为和33度，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：.例题2．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价千元销量百件(1)若变量，具有线性相关关系，求产品销量百件关于试销单价千元的线性回归方程；(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从个销售数据中任取个，求“好数据”至少有个的概率．参考数据：参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为，例题3．（2024上·山东日照·高三统考期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学2023年毕业人数（千人）87542023年考研人数（千人）0.60.40.30.3(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.参考公式：.精练核心考点1．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码12345678910渗透率29323432333436363638(1)假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，2．（2024上·四川成都·高三石室中学校考期末）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186参考数据及公式：，，，，，.(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程；(2)小明的父亲身高，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高.3．（2024上·青海西宁·高三统考期末）家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具、家电、建材、装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来，家居消费一直是居民消费的重要组成部分，对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动，统计了半个月以来天数x与销售额y（万元）的一组数据：.通过分析发现x与y呈线性相关.(1)求x与y的样本相关系数r（结果保留三位小数）；(2)求x与y的线性回归方程（，的结果用分数表示）.参考公式：相关系数，，.参考数据：，，，.题型六：计算相关系数典型例题例题1．（2024上·天津·高三校联考期末）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：天数x1234567一次最多答对题数y12151618212427参考数据：，，，，，相关系数由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是相关（填“正”或“负”），其相关系数（结果保留两位小数）例题2．（2024上·陕西汉中·高三统考期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和零件的横截面积0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并计算得，．(1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；(2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．附：相关系数；．例题3．（2023·全国·模拟预测）新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖．(1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人．①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数．②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由．(2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表．第天用时①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度；②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因．参考数据和公式：，相关系数．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）某研究者搜集了某种花的一些数据（见下表），试分别计算花瓣长与花枝长之间、花瓣长与花萼长之间的相关关系（结果保留三位小数）．花瓣长x494432423253363937454148453940343735花枝长y272412221329142016212225231820152013花萼长z191612171019151415211422221514151516相关系数，2．（2023上·高二课时练习）为了研究豆类脂肪含量与其产生的热量的关系，选取了5种豆类进行实验测定．下面是kg豆类中脂肪含量（单位：kg）与相应热量（单位：kJ）的对照表．豆类黄豆豇豆青毛豆豌豆（鲜）四季豆脂肪含量/kg0.01840.00020.00570.00030.0004热量/kJ1726108527336130(1)根据表中的数据绘制散点图；(2)观察散点图的趋势，如果能看成线性关系，请在图中画出一条直线来近似的表示这种关系，并计算豆类脂肪含量与热量的相关系数．3．（2023下·湖南邵阳·高二校考期中）如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：(1)依据折线图计算相关系数（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.相关公式，参考数据：.回归方程中，.题型七：计算决定系数典型例题例题1．（2022·高二单元测试）变量与相对应的一组样本数据为、、、，由上述样本数据得到与的线性回归分析，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则（

）附：决定系数公式.A． B．C． D．例题2．（2022下·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（

）A． B． C． D．例题3．（2022下·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：科技投入1234567收益19202231405070根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：514012391492134130其中，．（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）；（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试计算，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001）②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：．参考数据：．精练核心考点1．（2022下·黑龙江·高二统考期末）在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（

）A．模型1的相关指数为 B．模型2的相关指数为C．模型3的相关指数为 D．模型4的相关指数为2．（2022下·河南商丘·高二校联考期中）通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：①；②.对这两个模型进行了残差分析发现：第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若用、，、分别表示模型①与模型②的相关指数与残差平方和，则结论正确的是(

)A．， B．，C．， D．，3．（2023下·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：服务人员增量x/人234681013年收益增量y/万元13223142505658据此，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为；模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中，(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）；(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数题型八：残差典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1例题2．（2023下·重庆·高二统考期末）对于线性回归直线，样本点的残差为（

）A． B． C． D．例题3．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为．精练核心考点1．（2023下·吉林长春·高二校考期中）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表：245683040605070已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（）万元A． B． C． D．2．（2023下·河南新乡·高二统考阶段练习）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（

）A．0 B． C．1 D．23．（2021下·河北唐山·高二开滦第二中学校考阶段练习）某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系：245683040605070与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（

）A． B． C．20 D．10题型九：非线性回归拟合典型例题例题1．（2024·云南曲靖·统考一模）已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示：12345则当时，预测的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．参考数据：17500.370.55参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x(天)1234567y(秒/题)910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．例题3．（2023·四川内江·统考一模）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到0.01）附：相关系数回归直线中：，．例题4．（2023·全国·模拟预测）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x与购买人数y的数据如下表．旅游线路奇山秀水游古村落游慢生活游亲子游采摘游舌尖之旅套票型号ABCDEF价格x/元394958677786经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式，即，对上述数据进行初步处理，其中，，，2，…，6．附：①可能用到的数据：，，，．②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．(1)根据所给数据，求关于x的回归方程．(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．精练核心考点1．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（

）A． B． C．35 D．212．（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．年份代码x123456中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；(2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望．参考数据：3.36673.28217.251.16其中．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．3．（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．年份代码123456中国夜间经济的市场发展规模万亿元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：3.36673.28217.251.162.83其中．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．4．（2023上·山东淄博·高三统考期中）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金（亿元）与年销售额（亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金和年销售额的数据，，2，，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令，，经计算得如下数据：20667702004604.203125000215000.30814(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；(3)为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如下表：比较喜欢不太喜欢合计年龄小于30岁200100300年龄不小于30岁150150300合计350250600根据小概率的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②，；0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828③参考数据：．题型十：独立性检验（选填）典型例题例题1．（2023上·全国·高三专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（）日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545参考公式：临界值参照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．出现“日落云里走”，据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨例题2．（2022下·福建福州·高二福州三中校考期末）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用a50未服用50合计8020100若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为．（其中且）（参考数据：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例题3．（2023上·全国·高三专题练习）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．精练核心考点1．（2023·全国·高二随堂练习）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（

）.A．变量与不独立B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与独立D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过2．（2023上·高二课时练习）在一个列联表中，通过数据计算，则这两个变量间有关的可能性为．参考表格：3．（2023上·高二课时练习）为了考查某流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：疫苗使用情况感染情况感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100参照附表，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染某流感”有关系．参考公式：.题型十一：独立性检验（解答）典型例题例题1．（2023下·全国·高二校联考开学考试）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加省级比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析．现对球员甲所在球队近50场比赛的胜负情况作了调查，已知球员甲参加的比赛有32场，球队胜的场数为40，球员甲未参加的比赛中有6场落败（假设足球比赛均分出了胜负）．(1)完成下面的列联表：球队胜负情况甲是否参加球队负球队胜合计甲参加甲未参加合计(2)能否有的把握判断球队胜利与甲球员参赛有关?附：．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635例题2．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下：该项医学指标接种疫苗人数1050接种疫苗人数3040个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.(1)为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；(2)根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强疫苗疫苗合计附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879例题3．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一､高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：合格不合格总计高三年级学生54高一年级学生16总计100(1)请完成2×2列联表，依据小概率值1的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中例题4．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）11月16日是国际宽容日，联合国教科文组织设立国际宽容日的目的在于强调在多元化社会里，应通过普及宽容方面的教育，使人们和谐、和平地生活在一起.为调查大家对国际宽容日的了解程度，某地随机抽取了500人进行调查，其中了解国际宽容日的有300人.随后，当地政府利用媒体进行了持续一周的宣传后，再次随机抽取了600人进行调查，其中了解这一节日的占.(1)在宣传前抽取的500人中按照是否了解国际宽容日进行分层随机抽样，抽取50人进行现场采访，再从这50人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的这2人恰有1人了解国际宽容日的概率；(2)填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析当地政府宣传后了解国际宽容日的人数比例是否增加.了解国际宽容日不了解国际宽容日合计宣传前宣传后合计参考数据与公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828精练核心考点1．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校分组频数3148103乙校分组频数210221(1)计算，的值；(2)若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率；(3)若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．甲校乙校总计优秀非优秀总计参考公式：，．临界值表：0.10.050.012.7063.8416.6352．（2024上·河北张家口·高三统考期末）某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．(1)根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？单位：人性别接受不接受合计男女合计(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为X，求X的数学期望，附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．3．（2024上·江西·高二校联考期末）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联.4．（2024上·山东德州·高二统考期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差．(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；(2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性3945女性15总计根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？参考公式：（i）线性回归方程：，其中；（ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强．（iii），其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828第01讲成对数据的统计分析题型一：计算样本中心典型例题例题1．（2023·山东潍坊·山东省昌乐第一中学校考模拟预测）具有线性相关关系的变量的一组数据如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为，则回归直线经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【分析】根据x，y呈正相关，得到，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x，y呈正相关，所以，又，则样本中心为，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D例题2．（2023下·四川乐山·高二期末）在一次实验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据变量的相关性和回归系数之间的关系判断A选项，根据回归直线必过样本中心点判断选项B,C,D即可.【详解】可知：与之间是正相关的，故排除A选项，且：，B，C，D中只有B选项过点.故选：B精练核心考点1．（2023下·陕西汉中·高二校联考期末）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x（万元）与销售利润y（万元）的统计数据如表，由表中数据，得回归直线l的方程为：，则下列结论正确的是（

）广告费用x（万元）2356销售利润y（万元）57911A．直线l过点 B．直线l过点C． D．变量y和x负相关【答案】A【分析】根据样本点的中心求出回归方程，对照四个选项一一判断即可．【详解】由表中数据计算，，所以线性回归直线经过样本点的中心，所以A选项正确；，所以C选项错误；回归直线l的方程为：，当时，，所以B选项错误；由，所以变量y和x呈正相关，故D选项错误；故选：A2．（2024上·江西·高二校联考期末）“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为百万元.【答案】225【分析】根据样本中心点在回归直线上的性质，先计算出，代入回归方程求得，再用代表月平均销售额，即可算得总销售额.【详解】依题意，，因样本中心点在回归直线上，代入得：，所以该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为百万元.故答案为：225.题型二：根据回归直线方程求数据中的值典型例题例题1．（2023下·四川泸州·高二泸县五中校考期中）已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为（

）12343.24.87.5A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5【答案】D【分析】求出样本数据中心点坐标，代入回归直线方程求解.【详解】，，因为关于的线性回归方程为，所以，解得，故选：D例题2．（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：34562.5t44.5根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为．【答案】3【分析】先求出，然后根据回归直线过样本中心点，将其代入回归方程可求出t的值.【详解】．因为回归直线过样本中心点，所以，解得．故答案为：精练核心考点1．（2023上·辽宁沈阳·高二校考期末）对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（

）A．3 B．5 C．5.2 D．6【答案】A【分析】由数据得出样本中心点，再代入回归直线方程计算即可.【详解】易知，代入得.故选：A2．（2023·四川南充·统考一模）某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（

）时间x（月）12345销售量y（万件）11.62.0a3A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B．表中数据的样本中心点为C．D．由表中数据可知，y和x成正相关【答案】A【分析】根据给定数据，结合回归直线的特性逐项判断即得.【详解】依题意，，而y与x的回归直线方程为：，则，解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确；由，得y和x成正相关，D正确；2024年1月份，即，由回归直线方程，得，因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误.故选：A题型三：根据回归方程估计典型例题例题1．（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第年12345利润/亿元23457已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，预测该人工智能公司第6年的利润约为亿元.【答案】7.8/【分析】分别求得，，又回归直线方程必过样本中心点，可得，将代入即可得出结果.【详解】依题意，，因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，则回归直线方程为，当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元.故答案为：7.8例题2．（2023下·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则去除后当时，的估计值为【答案】/【分析】根据给定条件，求出去除前后的样本中心点，求出新的回归方程即可求解作答.【详解】将代入得，即样本中心点为，由数据点和知：，，因此去除这两个数据点后，样本中心点不变，设新的回归直线方程为，则，即新的回归直线方程为，当时，的估计值为，所以的估计值为.故答案为：.精练核心考点1．（2023上·高二课时练习）从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（

）A．为60.316kg B．约为60.316kgC．大于60.316kg D．小于60.316kg【答案】B【分析】根据题意，令，代入回归直线方程，即可求解.【详解】由身高和体重的回归方程为，令，可得（），即由回归方程可以预测其体重大约为.故选：B.2．（2023上·高二课时练习）若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为．【答案】【分析】将代入回归直线方程可得结果.【详解】将代入回归直线方程可得.故答案为：.题型四：根据样本中心求参数典型例题例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示：3040506070一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】A【分析】先求出样本点中心，代入回归方程求出，再将代入计算即可.【详解】由表中数据可得，，将代入得，解得，即，则当时，.故选：A.例题2．（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:单价(元)销量(件)由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为【答案】/【分析】根据表中数据可得回归方程，进而确定在回归直线右上方的个数，进而可得概率.【详解】由已知，，又样本中心在回归直线上，即，解得，所以回归直线方程为，当时，，所以点在回归直线上；当时，，所以点在回归直线左下方；当时，，所以点在回归直线右上方；当时，，所以点在回归直线右上方；当时，，所以点在回归直线右上方；当时，，所以点在回归直线左下方；所以个样本点中在回归直线右上方的有个，所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为，故答案为：.精练核心考点1．（2024上·山东德州·高二统考期末）技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千部）若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为（

）千部.A． B． C． D．【答案】D【分析】先求样本数据的中心点，代入回归直线方程可得，然后代入可求.【详解】回归直线过，由题意得，，将代入，解得，则，当时，，可以预测时，该商城手机的销量约为千部.故选：D2．（2024上·河南焦作·高二统考期末）小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度与时间天的线性回归方程为，则根据回归方程预测，从第（

）天开始蒜苗高度大于.时间天45678蒜苗高度12.44.65.66.4A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】由表中数据可得样本中心点，代入回归方程求出，确定回归方程，计算得解.【详解】由表中数据得，代入方程，解得，则回归方程为，令，解得，因为，所以.故选：D.题型五：求回归方程典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）某单位为了研究用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表：气温2016124用电量（度）14284462(1)求关于的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过1度，则认为得到的线性回归方程是可靠的.若某天的气温和用电量分别为和33度，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：.【答案】(1)(2)得到的线性回归方程是可靠的【分析】（1）利用最小二乘法即可得解；（2）由（1）中得，将代入求解并验证，从而可求解.【详解】（1）由题意得，，，则，关于的线性回归方程为.（2）当时，，得到的线性回归方程是可靠的.例题2．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价千元销量百件(1)若变量，具有线性相关关系，求产品销量百件关于试销单价千元的线性回归方程；(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从个销售数据中任取个，求“好数据”至少有个的概率．参考数据：参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为，【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用最小二乘法求出回归直线.（2）根据回归直线分别计算出各个估计值，从而得到好数据的个数，利用古典概型求得结果.【详解】（1）依题意，，，而，于是，，所以所求线性回归方程为.（2）利用（1）中所求的线性回归方程得：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，与销售数据对比知满足的共有个“好数据”：，记个销售数据中的4个“好数据”分别为，另两个数据为，从个销售数据中任取个的试验的样本空间：，共15个样本点，“好数据”至少有个的事件，其对立事件，故，所以“好数据”至少有个的概率为.例题3．（2024上·山东日照·高三统考期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学2023年毕业人数（千人）87542023年考研人数（千人）0.60.40.30.3(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.参考公式：.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出，即可求得关于的线性回归方程；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，确定的所有可能值，求出每个值相应的概率，即可求得X的期望，进而可得该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，又，，，，所以，故得关于的线性回归方程为；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，，，，，则，可得，又因为，可得，故.精练核心考点1．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码12345678910渗透率29323432333436363638(1)假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，【答案】(1)，(2)分布列见解析，万元【分析】（1）根据题意计算，，得出回归直线方程，代入，即可求解.（2）由（1）可知客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为，由题意购置税服从二项分布，即可求出分布列和均值.【详解】（1）计算得，，所以，，则回归直线方程为，代入得，所以预测2024年1月新能源渗透率为；（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为，所有可能取值为，，，，则，，，，所以的分布列为0246所以（万元）.2．（2024上·四川成都·高三石室中学校考期末）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186参考数据及公式：，，，，，.(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程；(2)小明的父亲身高，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）利用（1）的结果，将代入求解.【详解】（1）解：，，，，故回归方程为：；（2）当时，，.3．（2024上·青海西宁·高三统考期末）家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具、家电、建材、装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来，家居消费一直是居民消费的重要组成部分，对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动，统计了半个月以来天数x与销售额y（万元）的一组数据：.通过分析发现x与y呈线性相关.(1)求x与y的样本相关系数r（结果保留三位小数）；(2)求x与y的线性回归方程（，的结果用分数表示）.参考公式：相关系数，，.参考数据：，，，.【答案】(1)0.984；(2).【分析】（1）根据给定数据，求出样本中心点，再代入公式计算即得.（2）由（1）的信息，结合最小二乘法公式计算即得.【详解】（1）依题意，，，所以.（2）因为，则，所以y关于x的线性回归方程为.题型六：计算相关系数典型例题例题1．（2024上·天津·高三校联考期末）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：天数x1234567一次最多答对题数y12151618212427参考数据：，，，，，相关系数由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是相关（填“正”或“负”），其相关系数（结果保留两位小数）【答案】正0.99【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可.【详解】由表中数据得随的增大而增大，所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，.故答案为：正；.例题2．（2024上·陕西汉中·高三统考期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和零件的横截面积0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并计算得，．(1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；(2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．附：相关系数；．【答案】(1)横截面积为，耗材量为．(2)0.94【分析】（1）根据表格中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解；（2）由表格中的参考数据和相关系数的公式，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值，样本中10个这种零件的耗材量的平均值，由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为．（2）解：由表格中的参考数据和相关系数的公式，可得，所以这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数.例题3．（2023·全国·模拟预测）新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖．(1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人．①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数．②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由．(2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表．第天用时①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度；②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因．参考数据和公式：，相关系数．【答案】(1)①；②方案二更合理，理由见解析(2)①，两变量线性相关性很强；②负相关，理由见解析【分析】（1）①利用分层抽样的概念直接计算，②根据随机抽样的特性直接判断；（2）根据相关系数的公式可得，进而可以判断相关性的强弱及相关性.【详解】（1）①高一学生每天的检测人数为人，②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强，潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作；（2）①，，，，，故，，两变量线性相关性很强，②由可知变量和负相关．可能的原因：随着核酸检测工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）某研究者搜集了某种花的一些数据（见下表），试分别计算花瓣长与花枝长之间、花瓣长与花萼长之间的相关关系（结果保留三位小数）．花瓣长x494432423253363937454148453940343735花枝长y272412221329142016212225231820152013花萼长z191612171019151415211422221514151516相关系数，【答案】答案见解析【分析】利用方差、相关系数公式求、，进而说明因素间的相关性.【详解】由题意，，，，，，，，所以，．上述结果表明花瓣长与花枝长之间正相关程度高，花瓣长与花萼长之间呈正相关关系．2．（2023上·高二课时练习）为了研究豆类脂肪含量与其产生的热量的关系，选取了5种豆类进行实验测定．下面是kg豆类中脂肪含量（单位：kg）与相应热量（单位：kJ）的对照表．豆类黄豆豇豆青毛豆豌豆（鲜）四季豆脂肪含量/kg0.01840.00020.00570.00030.0004热量/kJ1726108527336130(1)根据表中的数据绘制散点图；(2)观察散点图的趋势，如果能看成线性关系，请在图中画出一条直线来近似的表示这种关系，并计算豆类脂肪含量与热量的相关系数．【答案】(1)散点图见解析(2)图形见解析，【分析】（1）根据数据绘制即可；（2）根据相关系数公式计算可得结果.【详解】（1）散点图如图：（2），，，，，.3．（2023下·湖南邵阳·高二校考期中）如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：(1)依据折线图计算相关系数（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.相关公式，参考数据：.回归方程中，.【答案】(1)0.95，可用线性回归模型拟合与的关系(2)，5.5吨【分析】（1）利用公式计算出相关系数，从而作出判断；（2）利用公式计算出，得到线性回归方程，并代入，求出答案.【详解】（1）由折线图得如下数据计算，得，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系；（2），所以回归方程为，当时，，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.题型七：计算决定系数典型例题例题1．（2022·高二单元测试）变量与相对应的一组样本数据为、、、，由上述样本数据得到与的线性回归分析，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则（

）附：决定系数公式.A． B．C． D．【答案】C【分析】利用决定系数公式可求得结果.【详解】易知，点、、、都在直线上，所以，，所以，.故选：C.例题2．（2022下·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相关指数越大，拟合效果更好求解.【详解】因为相关指数越大，拟合效果更好，故选：D例题3．（2022下·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：科技投入1234567收益19202231405070根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：514012391492134130其中，．（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）；（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试计算，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001）②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：．参考数据：．【答案】（1）；（2）①；甲建立的回归模型拟合效果更好；②科技投入的费用至少要9.3百万元．【分析】(1)两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；(2)①根据公式计算可得相关指数，由此可得结论；②由，解不等式可求得范围，由此可得结果．【详解】(1)将两边取对数得：，令，则，∵，∴根据最小二乘估计可知：，∴，∴回归方程为，即．(2)①甲建立的回归模型的．∴甲建立的回归模型拟合效果更好．②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．设，解得：，解得：．∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿．精练核心考点1．（2022下·黑龙江·高二统考期末）在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（

）A．模型1的相关指数为 B．模型2的相关指数为C．模型3的相关指数为 D．模型4的相关指数为【答案】A【分析】根据相关指数的意义即可求解.【详解】两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值，最接近于1，所以拟合效果最好的模型是模型1.故选：A2．（2022下·河南商丘·高二校联考期中）通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：①；②.对这两个模型进行了残差分析发现：第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若用、，、分别表示模型①与模型②的相关指数与残差平方和，则结论正确的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】相关指数越大，残差平方和越小，拟合效果越好，据此即可判断．【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∵第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好，∴，．故选：A．3．（2023下·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：服务人员增量x/人234681013年收益增量y/万元13223142505658据此，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为；模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中，(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）；(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数【答案】(1)＝21.3－14.4(2)模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，92.1万元．【分析】（1）令，则，然后根据表中的数据和公式可求出模型②中y关于x的经验回归方程；（2）由表中的数据和样本回归效果的决定系数可判断回归模型②刻画的拟合效果更好，再根据模型②的回归方程可预测服务人员增加25人时的年收益增量．【详解】（1）令，则.由参考数据得＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，所以，模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4．（2）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即，模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)．所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元．题型八：残差典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1【答案】C【分析】对于响应变量，通过观测得到的数据为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.【详解】因为观测值减去预测值称为残差，所以当时，，所以残差为.故选：C.例题2．（2023下·重庆·高二统考期末）对于线性回归直线，样本点的残差为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据残差的定义可求得结果.【详解】对于线性回归方程，当时，，故残差为.故选：A.例题3．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为．【答案】/【分析】利用样本中心在其经验回归方程为上，求出,再计算当时的残差即可.【详解】经验回归直线过样本点的中心，，，经验回归方程为．当时，，残差为．故答案为：.精练核心考点1．（2023下·吉林长春·高二校考期中）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表：245683040605070已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（）万元A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入回归直线方程，可得出销售额的预测值，然后利用残差的定义可求得结果.【详解】当时，销售额的预测值为，残差为万元.故选：A.2．（2023下·河南