第01讲8.1基本立体图形+8.2立体图形的直观图+8.3简单几何体表面积体积(原卷版+解析)

第01讲8.1基本立体图形+8.2立体图形的直观图+8.3简单几何体表面积体积题型一：多面体结构特征典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．多面体至少有5个面D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形例题2．（2024·全国·高一假期作业）三棱柱各面所在平面将空间分为（

）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分例题3．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，长方体.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.精练核心考点1．（2024上·江苏南通·高三统考期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（

）A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形2．（2024·全国·高一假期作业）下列几何体中，棱数最多的是（

）A．五棱锥 B．三棱台C．三棱柱 D．四棱锥3．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体题型二：旋转体结构特征典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（

）A． B．C． D．例题2．（2024·全国·高一假期作业）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（

）A．16 B．18 C．20 D．22例题3．（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中学校考期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（

）A．6 B． C．4 D．32．（2023上·上海·高二校考期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（

）①经线②北纬③西经④赤道A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．（2024·全国·高一假期作业）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9cm，则原来的圆锥的母线长为.题型三：多面体展开图及最短距离问题典型例题例题1．（2023上·山东威海·高三校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为．

例题3．（2023下·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为．

精练核心考点1．（多选）（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（

）

A． B． C． D．2．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点，，则截面周长的最小值为．3．（2023下·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是.题型四：旋转体展开图及最短距离问题典型例题例题1．（2023下·河南南阳·高一统考期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（

）

A． B．3 C．4 D．例题2．（2023上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．例题3．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.精练核心考点1．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（

）

A． B． C． D．2．（2023上·山西大同·高三统考期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023上·上海·高二专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？题型五：截面及其相关计算典型例题例题1．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为.例题3．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围．精练核心考点1．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（

）A． B．8 C． D．102．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则．3．（2023上·上海浦东新·高二校考期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为.题型六：简单组合体表面两点间的最短路径典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（）A． B． C． D．例题2．（2023上·四川·高二四川省开江中学校联考期中）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为精练核心考点1．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知正方体的棱长为2，点E是棱的中点，点在平面内，若，，则的最小值为．2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为.3．（2023下·全国·高一专题练习）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．题型七：斜二测画法中有关量的计算问题典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（

）

A．6 B． C．12 D．24例题2．（2024·全国·高一假期作业）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．例题3．（2024上·全国·高三专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．

（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）

A． B． C． D．2．（2024·上海·高二专题练习）如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为.3．（2024上·上海徐汇·高二统考期末）用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为.题型八：多面体的表面积和体积典型例题例题1．（2024上·四川南充·高二统考期末）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（

）．A． B．3 C． D．6例题2．（2024上·山东德州·高三统考期末）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（

）A．6.08千克 B．10.16千克 C．12.16千克 D．11.16千克例题3．（2024上·天津和平·高三统考期末）如图，已知四棱锥的体积为是的平分线，，若棱上的点满足，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2024上·北京昌平·高二统考期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（

）A． B． C． D．2．（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（

）A．2 B．1 C． D．3．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（

）A．26 B．28 C．30 D．32题型九：旋转体的表面积和体积典型例题例题1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·陕西榆林·统考一模）某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A．2 B．4 C． D．例题3．（2024上·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是．精练核心考点1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西铜川·统考一模）A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为.题型十：球的表面积和体积典型例题例题1．（2024上·云南·高二统考期末）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·辽宁鞍山·高三校联考期末）已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为．例题3．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，此时点，，，在同一球面上，且，则该球的表面积为.精练核心考点1．（2024·陕西铜川·统考一模）A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为.2．（2024·全国·模拟预测）若体积为的正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小值为．3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为．第01讲8.1基本立体图形+8.2立体图形的直观图+8.3简单几何体表面积体积题型一：多面体结构特征典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．多面体至少有5个面D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D【分析】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.【详解】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.例题2．（2024·全国·高一假期作业）三棱柱各面所在平面将空间分为（

）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分【答案】C【分析】把一个三棱柱的俯视图，延长三边，可把平面分成7部分，还原为三棱柱，空间被两个底面分成上下3层，每层都有7部分，即可求解.【详解】想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块个区域，共个区域.故选：C【点睛】本题主要考查了空间想象力，转化的思想，属于容易题.例题3．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，长方体.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析；(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可；（2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可.【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱；（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形和是底面.精练核心考点1．（2024上·江苏南通·高三统考期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（

）A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形【答案】D【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可.【详解】如图，每个面都是等边三角形，A不选；每个面都是直角三角形，B不选；三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．故选：D.故选：D.2．（2024·全国·高一假期作业）下列几何体中，棱数最多的是（

）A．五棱锥 B．三棱台C．三棱柱 D．四棱锥【答案】A【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，故选：A3．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B题型二：旋转体结构特征典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据旋转体的形成过程即可得出选项.【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后圆台；C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；故选：B【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.例题2．（2024·全国·高一假期作业）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】A【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得，即原圆锥的母线长为.故选：A.例题3．（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中学校考期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为【答案】【分析】根据题意，作出圆台的图形，根据勾股定理求解圆台的高，即可得答案．【详解】根据题意，作出圆台的图形，如图所示：圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的高．故答案为：．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（

）A．6 B． C．4 D．3【答案】B【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高．【详解】设圆锥的母线长为，圆锥的底面半径，侧面展开图的圆心角为，，可得母线长，圆锥的高．故选：B2．（2023上·上海·高二校考期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（

）①经线②北纬③西经④赤道A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据经线和纬线及大圆的定义判断.【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆，故①③④正确，②错误.故选：C3．（2024·全国·高一假期作业）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9cm，则原来的圆锥的母线长为.【答案】18cm【分析】根据比例即可求解.【详解】设轴截面如图所示，由已知得圆与圆的面积比为，所以半径比，进而得，所以是的中点，且，故,故答案为：18cm题型三：多面体展开图及最短距离问题典型例题例题1．（2023上·山东威海·高三校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，过点作，将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形，得到当时，取得最小值，结合，即可求解.【详解】如图所示，过点作，分别连接，将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形，连接，设交于点，当时，此时到的距离最短，即取得最小值，因为，且，可得，又由，可得，即，所以，即当最小时，.故选：D.例题2．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为．

【答案】【分析】补形，转化为三角形两边之和大于第三边即可求解【详解】在正方体的右侧补一个同样大小的正方体，得到如图所示的长方体，由对称性可知，故．故答案为：【点睛】此类线段长度之和的最值问题，一般通过展开或者补形，将它转化为三角形两边之和大于第三边来解决．例题3．（2023下·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为．

【答案】【分析】将翻折至一个平面，则的最小值为点A到边的距离，结合三角恒等变换运算求解.【详解】由题意可知：，则，所以，将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点，则的最小值为点A到边的距离，因为，所以，即的最小值为.故答案为：.

精练核心考点1．（多选）（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（

）

A． B． C． D．【答案】ABC【分析】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，以，、为轴展开，分别求出，可得答案．【详解】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，若以为轴展开，

则；以为轴展开，

则，以为轴展开，

．故选：ABC．2．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点，，则截面周长的最小值为．【答案】【分析】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，连接，分别交,于,，可得截面周长的最小值为线段的长.【详解】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，连接，分别交,于,，再将展开图围成三棱锥的侧面，得到，即为周长最小的截面三角形，由此可得截面周长的最小值等于线段的长.正三棱锥中，，所以，又，所以等腰中，，即截面周长的最小值为.故答案为：.

3．（2023下·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是.【答案】/【分析】将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求.【详解】如下图所示：

将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接,此时，线段的长即为周长的最小值，则，，由于，，，则，延展后，则四边形为矩形，因为，，则为等腰直角三角形，所以，，延展后，则，由余弦定理可得.故答案为：.题型四：旋转体展开图及最短距离问题典型例题例题1．（2023下·河南南阳·高一统考期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（

）

A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，连接，交AB于点，此时最小，求出即可．【详解】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，连接，交AB于点，此时最小，如图所示：

因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理得，解得，即的最小值为．故选：A．例题2．（2023上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．【答案】【分析】先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案.【详解】把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径.依题意：小虫爬行的最短路程为.因为母线长，所以在中．则由弧长公式得：．设圆锥底面圆的半径为r.则，解得故答案为：例题3．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.【答案】.【分析】沿母线剪开将圆台侧面展开，则A、C在圆台侧面上的最短距离即为展开图中线段的长求解.【详解】如图所示：沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长.设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角，，且B、C分别为所在弧的中点，所以在等腰三角形中，，则是等边三角形，因为，所以，而，C为的中点，所以，即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为.精练核心考点1．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合余弦定理可求得灯光带的最小长度.【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，

，，在中，，，，解得：，即灯光带的最小长度为.故选：C.2．（2023上·山西大同·高三统考期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得.【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，显然弧的长为，弧的长为，设，则，，则，即，得，于是是的中点，，因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.故选：B3．（2023上·上海·高二专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？【答案】详见解析.【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得.【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形，其中，分别为，的中点，在矩形中，，，连接，则；可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为.题型五：截面及其相关计算典型例题例题1．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，根据相似三角形即可求解.【详解】沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，由题知为等腰直角三角形，，，设正方体的棱长，则，，则由与相似可得，即，，所以正方体棱长为.故选：C.例题2．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为.【答案】/【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可.【详解】如图：过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，因为，且平面，平面，所以平面，所以平面即为平面，又平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，又，，所以，所以四边形为菱形，因为，，所以四边形的面积为.故答案为：.例题3．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围．【答案】【分析】根据题意，设上顶面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，由于为定值，则的大小随着的长短变化而变化，由图可知当点与点重合时以及当点与点重合，分别求解的最大值和最小值，即可得到的面积的范围．【详解】解：如图1，设上底面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，则，根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.精练核心考点1．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（

）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】设圆台内能放置的最大球的球心为，求得球的半径，根据题意转化为正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球，进而求得正方体的最大棱长.【详解】如图所示，由题意知，母线与底面所成的角，可得，设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线分别切于两点，可知球的半径，此时球的直径为，即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为；若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球，设正方体的最大棱长为，满足，解得.故选：B.

2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则．【答案】2【分析】延长和交于点，根据，得到，连接交于点，得到过点的截面，取的中点，连接，根据，求得，进而得到，即可求解.【详解】如图所示，延长和交于点，由，且为的中点，所以，即，连接交于点，连接，则过点的截面即为截面，取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，所以，可得，即，所以，因为，所以.故答案为：.

3．（2023上·上海浦东新·高二校考期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为.【答案】【分析】计算出圆锥的底面半径，设圆锥轴截面的顶角为，结合余弦定理可知为钝角，则两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，结合三角形的面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得，由余弦定理可得，则为钝角，故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为.故答案为：.题型六：简单组合体表面两点间的最短路径典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将正三棱锥沿剪开，要使△的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知△是等边三角形，即可知周长的最小值.【详解】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，∵，即，又△的周长为，∴要使△的周长的最小，则共线，即，又正三棱锥侧棱长为，△CAC'是等边三角形，∴.故选：D例题2．（2023上·四川·高二四川省开江中学校联考期中）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为.

【答案】【分析】将几何体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），利用两点之间线段最短求的最小值.【详解】由题设，该半正多面体的展开图如下图示，

根据已知及几何体结构知：，，且，故，所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立.故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为【答案】【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG中，由勾股定理得．③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得．综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．答案：点睛：（1）研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．（2）在本题中由于展开的方式不同，故在解题中采用了分类讨论的方法，按照三种不同的方式将几何体的侧面展开，然后对所得的结果进行比较以得到最短距离．精练核心考点1．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知正方体的棱长为2，点E是棱的中点，点在平面内，若，，则的最小值为．【答案】．【解析】由已知求得F的轨迹，再由CE⊥BG分析得到，G的轨迹，然后数形结合即可求得|FG|的最小值．【详解】如图，取A1D1的中点O，连接EO，FO，则EO⊥平面A1B1C1D1，连接OE，由，OE＝2，可得OF＝1，则F在以O为圆心，以1为半径的圆上，取CD中点K，连接BK，在正方形ABCD中，由E为AD的中点，K为CD的中点，可得CE⊥BK，取C1D1的中点H，连接KH，B1H，由BB1∥KH，BB1＝KH，得四边形BB1HK为平行四边形，则BK∥B1H，得G在线段B1H上．过O作OG⊥B1H，交半圆弧于F，则|FG|为要求的最小值．由已知可得，设|OG|＝h，由等面积法可得，，可得h，∴|FG|的最小值为．故答案为:．【点睛】关键点点睛：求得F，G的轨迹，转化成问题平面化是关键2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为.【答案】【分析】先计算DF的长度，将底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时DE+EF取得最小值，利用余弦定理求解即可【详解】由正三棱柱ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴⊥AB，⊥AC．在Rt△ADF中，DF=．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADF中，∠DAF=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DF=．∴△DEF周长的最小值为故答案为：【点睛】本题考查棱柱的折叠与展开问题，考查余弦定理解三角形，空间问题平面化是解此类问题的关键3．（2023下·全国·高一专题练习）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积.（2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，∴几何体表面积为．（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则．∴、两点间在侧面上的最短路径长为．题型七：斜二测画法中有关量的计算问题典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（

）

A．6 B． C．12 D．24【答案】C【分析】根据斜二测画法画出原图，从而计算出原图的面积.【详解】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，

则原的面积为.故选：C.例题2．（2024·全国·高一假期作业）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.【详解】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.

故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.

故选：C例题3．（2024上·全国·高三专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．

（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4）【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果；（2）由直观图可知，即为直角三角形；（3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果；（4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果.【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得．（2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形．（3）由已知可得在中，，，故．（4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高），画直观图后，，，．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜二测画法确定的形状及各边的长，即可求四边形周长.【详解】由斜二测画法知：对应原图中，且，所以，且为平行四边形，如下图示，

所以原图形的周长为.故选：B2．（2024·上海·高二专题练习）如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为.【答案】14【分析】根据题意，将直观图还原，分析原图的形状以及边长，进而计算可得答案.【详解】根据题意，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC为矩形，如图：其中OA＝3，OC＝4，故原四边形OABC的周长.故答案为：14.3．（2024上·上海徐汇·高二统考期末）用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为.【答案】【分析】斜二测画法画平面图形的直观图的面积是原图面积的倍.【详解】边长为12的正三角形的面积为，斜二测画法画的直观图面积.故答案为：.题型八：多面体的表面积和体积典型例题例题1．（2024上·四川南充·高二统考期末）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（

）．A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用棱柱和棱锥公式结合整体减部分的方法即可.【详解】因为正三棱柱，所以，则，故选：A.例题2．（2024上·山东德州·高三统考期末）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（

）A．6.08千克 B．10.16千克 C．12.16千克 D．11.16千克【答案】C【分析】取棱台的对角面，得到为等腰梯形，过点作，根据等腰梯形的几何性质，求得棱台的高为，结合棱台体积公式，求得棱台的体积，进而求得米斗所盛大米的质量.【详解】设该正棱台为，其中上底面为，取对角面，如图所示，可得四边形为等腰梯形，因为上、下底面边长分别为，侧棱长为，且，，分别过点作，垂足分别为，可得，由等腰梯形的几何性质，可得,又因为，所以，所以，所以，所以，即棱台的高为，所以该米斗的体积为，所以该米斗所盛大米的质量为千克.故选：C.例题3．（2024上·天津和平·高三统考期末）如图，已知四棱锥的体积为是的平分线，，若棱上的点满足，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形面积公式求出，进而求出与的关系，根据相似可确定三棱锥的高，由可化简得到三棱锥的体积.【详解】因为CE是的平分线，所以，所以，所以，设点A到平面BEDC的距离为h，因为，则，所以点P到平面BEDC的距离为，.故选：B精练核心考点1．（2024上·北京昌平·高二统考期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，过点作于点，如图所示，因为，所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，又因为，所以，所以，所以，所以方亭的侧面积为.故选：B.2．（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为面所以.故选：D.3．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（

）A．26 B．28 C．30 D．32【答案】B【分析】割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.【详解】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.故选：B.题型九：旋转体的表面积和体积典型例题例题1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为，高为；圆柱的底面半径为，高为，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则，．圆柱侧面积．当时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为．故选：B.例题2．（2024·陕西榆林·统考一模）某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解.【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.所以圆锥的侧面积为，解得.故选：D例题3．（2024上·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是．【答案】/【分析】根据圆锥的侧面积公式求得底面半径以及圆锥的高，进而可求体积.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意可得：，解得，可得圆锥的高为，所以该圆锥的体积是.故答案为：.精练核心考点1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【