第01讲6.1计数原理+6.2排列组合(原卷版+解析)

第01讲6.1计数原理+6.2排列组合题型一：分类加法计数原理典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数.（1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？例题2．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有个，其中比516大的三位渐升数有个．例题3．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有种.精练核心考点1．（2024上·广西桂林·高二统考期末）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（

）A．4 B．5 C．9 D．202．（2020下·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（

）A． B． C． D．3．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（

）

A．26 B．24 C．20 D．19题型二：分类乘法计数原理典型例题例题1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（

）

A．8 B．12 C．16 D．24例题2．（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（

）

A． B．C． D．例题3．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种．精练核心考点1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（

）A．8 B．28 C．20 D．152．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为．（用数字作答）．3．（2024上·山东济南·高三统考期末）2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有种．（用数字作答）题型三：两个原理综合典型例题例题1．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．种 B．种C．种 D．种例题2．（2023下·河南许昌·高二统考期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（

）

A． B． C． D．例题3．（2022上·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序）精练核心考点1．（2023·全国·模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（

）A．36种 B．48种 C．24种 D．26种2．（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中学校联考期末）如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有种不同的涂色方案？3．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。题型四：排列组合问题的判断典型例题例题1．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法例题2．（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．精练核心考点1．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？2．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．题型五：排列数与组合数的计算典型例题例题1．（2021上·高二课时练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．例题2．（2021上·高二课时练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．例题3．（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9例题3．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的不等式．精练核心考点1．（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）（

）A．110 B．98 C．124 D．1482．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知，则可能取值为（

）A． B． C．或 D．或3．（2023上·高二课时练习）计算：(1)；(2)．题型六：相邻问题捆绑法典型例题例题1．（2024上·河南焦作·高三统考期末）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（

）A．48 B．32 C．24 D．16例题2．（2024·全国·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（

）A．48 B．24 C．12 D．6例题3．（2024上·江苏南通·高二统考期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，且C排在A后面，则共有（）种排法．A．36 B．54 C．72 D．962．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．14403．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．题型七：不相邻问题插空法典型例题例题1．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）第二十届东博会在广西南宁举办.本次东博会的某个区域要将4个不同的电子产品展区和3个不同的非电子产品展区排成一排，则3个不同的非电子产品展区均不相邻的不同排法共有（

）A．360种 B．720种 C．1440种 D．2880种例题2．（2024上·青海西宁·高三统考期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（

）A．216 B．228 C．384 D．486例题3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，共有种排法．精练核心考点1．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（

）个A．18 B．36 C．72 D．862．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有个．3．（2024上·河南南阳·高二校联考期末）某冬令营计划利用寒假开设甲､乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲､乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数有.题型八：特殊元素优先法典型例题例题1．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（

）A．18 B．21 C．23 D．72例题2．（2024上·山西太原·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（

）A．18 B．24 C．32 D．36例题3．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）精练核心考点1．（2024上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（

）A．18 B．27 C．36 D．452．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．3．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为.题型九：间接法典型例题例题1．（2024上·江苏·高三统考期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（

）A．140种 B．44种 C．70种 D．252种例题2．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为．例题3．（2024上·江西上饶·高二统考期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．(1)共有多少种选法；(2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．精练核心考点1．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种2．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种．3．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内有任意三点都不共线的四点，直线，在直线上，过以上八点中若干点可做多少几何图形？显然可以从构成直线、三角形、四面体等考虑．题型十：隔板法典型例题例题1．（2024上·江西吉安·高二统考期末）将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（

）A．15种 B．18种 C．21种 D．24种例题2．（2023上·全国·高三专题练习）将10个小球分别装入3个不同的盒子中且每个盒子非空（即每个盒子至少装1个小球）．问：有多少种不同的装法？例题3．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？精练核心考点1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（

）A．90种 B．120种 C．160种 D．190种2．（2023·河南新乡·统考一模）已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有个．3．（2023上·全国·高三专题练习）将20本相同的书分给4名学生，要求每名学生至少得3本书，有多少种不同的分法？题型十一：分组分配问题典型例题例题1．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（

）A．50 B．36 C．26 D．14例题2．（2024上·江西上饶·高二统考期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（

）A． B． C． D．例题3．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有种.精练核心考点1．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（

）A．240 B．360 C．480 D．7202．（2024上·广东潮州·高三统考期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）3．（2024上·山东聊城·高三统考期末）每年月第三个星期六是我国法定的全民国防教育日，同学们积极参与到国防教育之中为实现中国梦、强军梦凝聚强大力量.某校国防教育活动中拟将本不同的国防知识书分给甲、乙、丙三个班，其中一个班得本，另外两个班每班得本.则共有种不同的分配方式.（请用数字作答）题型十二：涂色问题典型例题例题1．（2024上·河北·高三校联考期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（

）种

A．144 B．264 C．288 D．432例题2．（2023下·吉林四平·高一四平市实验中学校考期中）在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（）种植方式．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种例题3．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）（1）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的不超过2024的正整数？精练核心考点1．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（

）种不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．4802．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为．（用数字作答）3．（2023下·广东·高二校联考期中）用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有.

第01讲6.1计数原理+6.2排列组合题型一：分类加法计数原理典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数.（1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？【答案】（1）（3）【分析】利用分类计数原理，即可得出结论．【详解】分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法…，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．（1）完成从书架上任取一本书，每取一本，都能完成这件事，故运用分类计数原理计数；（2）从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，完成这件事需要3步，故运用分步计数原理计数；（3）完成地到乙地，有3类办法，每一类中办法都能完成这件事，故运用分类计数原理计数，故答案为：（1）（3）．例题2．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有个，其中比516大的三位渐升数有个．【答案】8410【分析】根据定义结合加法原理计算即可.【详解】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解.当百位上的数字为1，十位上的数字为2时，个位上的数字有7种选法；当百位上的数字为1，十位上的数字为3时，个位上的数字有6种选法；…；当百位上的数字为1，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法.由加法原理得百位上的数字为1的三位“渐升数”有（个）.同理，百位上的数字为2的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为3的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为4的“渐升数”有（个），百位上的数字为5的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为6的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为7的三位“渐升数”有1个.根据加法原理得共有（个）“渐升数”.百位上的数字为5，6，7的三位“渐升数”均比516大，故比516大的三位“渐升数”有（个）.故答案为：84；10例题3．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有种.【答案】14【分析】根据加法分类计数原理求解即可.【详解】不妨设圆周上的点依次为，要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：

符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；共计种.故答案为：.精练核心考点1．（2024上·广西桂林·高二统考期末）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（

）A．4 B．5 C．9 D．20【答案】C【分析】根据分类加法计数原理求解.【详解】第一类从女同学中选1名，有4种不同的选法；第二类从男同学中选1名，有5种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.故选：C2．（2020下·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由分类加法计数原理即可得解.【详解】选人主持本班的某次专题班会可从名女同学任选一名，也可以从名男同学中任选名,由分类加法计数原理可知不同的选法种数为种.故选：C.3．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（

）

A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案．【详解】解：根据题意，结合图形知，从A到B传播路径有4条，如图所示；

途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4；途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6；所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为，故选：D．题型二：分类乘法计数原理典型例题例题1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（

）

A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法，第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有种方法.故总的方法有24种，故选：D.例题2．（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（

）

A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用分类计数原理即可得解.【详解】当时，分四步：第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；当时，分四步：第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；当时，分四步：第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；当时，分四步：第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.故选：AD.例题3．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种．【答案】990【分析】将添加的3个与“抗冰救灾”有关的节目按照要求依次插空即可求解【详解】原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经拍好的10个节目顺序不变，第一个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，共有9种方法；当第一个赈灾节目插入后，11个节目会产生10个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有10种方法；当第二个赈灾节目插入后，12个节目会产生11个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有11种方法；根据分步乘法计数原理，不同的节目表可排出种，故答案为：990精练核心考点1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（

）A．8 B．28 C．20 D．15【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可知不同选法有（种）.故选:D.2．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为．（用数字作答）．【答案】4【分析】由乘法原理可得答案.【详解】将安排分为3步，第一步先安排第一节有2种方法，第二步排第二节有2种方法，第三步排第三节只有1种方法，故不同的排课方法种数为：.故答案为：43．（2024上·山东济南·高三统考期末）2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有种．（用数字作答）【答案】6【分析】设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,可得其组合形式为,把它分配给三人即可得结果.【详解】根据题意，设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,则可得其组合形式为,故第一个好友具有种，第二个好友具有种，第三个好友只有种，即每个好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案为：种.故答案为：题型三：两个原理综合典型例题例题1．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．种 B．种C．种 D．种【答案】B【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，故不同的涂色方案有种．故选：B．例题2．（2023下·河南许昌·高二统考期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】依次对区域正方形、、、、涂色，讨论区域与区域同色或异色讨论，确定每个区域所涂颜色的种数，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.【详解】先对正方形涂色，共有种颜色可供选择，然后涂区域，有种颜色可供选择，接下来涂区域，有种颜色可供选择，若区域与区域同色，则区域有种颜色可供选择；若区域与区域不同色，则区域有种颜色可供选择，区域有种颜色可供选择.由计数原理可知，不同的涂色方法种数为.故选：C.例题3．（2022上·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序）【答案】【分析】利用加法和乘法计数原理和题给限制条件即可求得不同的播放方式的方法数.【详解】完成这件事有三类方法.第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6，分6步完成这件事，共有（种）不同的播放方式；第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6，分6步完成这件事，共有（种）不同的播放方式；第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6，同样分6步完成这件事，共有（种）不同的播放方式.由分类加法计数原理知，6个广告不同的播放方式有（种）.精练核心考点1．（2023·全国·模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（

）A．36种 B．48种 C．24种 D．26种【答案】D【分析】按顶点处标注的数字分类讨论，利用分类加法和乘法计数原理即可求解.【详解】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况：若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）；若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）；若处都标注的是2，则处的标注方法有1种；若处标注的是4和3两个数字，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）；若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）；若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）.由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）.故选:D.2．（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中学校联考期末）如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有种不同的涂色方案？【答案】18【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算即得.【详解】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色，当同色时，有种，同理、分别同色时各有6种，由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案.故答案为：183．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。【答案】8【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可.【详解】两种颜色类型的，有种；类型的，有种（两个面相邻、相对）类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）因此共有8种.故答案为：8.题型四：排列组合问题的判断典型例题例题1．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【分析】根据组合的性质逐一判断即可.【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，故选：D例题2．（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)组合问题(4)排列问题【分析】利用排列组合的定义判断即可.【详解】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，所以这是组合问题.（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，故这是排列问题.（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，所以这是组合问题.（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，所以这四本书需要排序，故这是排列问题.精练核心考点1．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)排列问题(4)组合问题【分析】（1）（2）（3）（4）根据排列和组合的特征：是否有顺序即可求解.【详解】（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题．（3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．（4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．2．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．【答案】(1)排列问题(2)排列问题(3)组合问题【分析】（1）（2）（3）根据有顺序还是无顺序，即可求解.【详解】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．（3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．题型五：排列数与组合数的计算典型例题例题1．（2021上·高二课时练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】由，得，解得，所以不等式的解集是.故选：D.例题2．（2021上·高二课时练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】由，得，解得，所以不等式的解集是.故选：D.例题3．（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【分析】根据组合数的性质得到方程，求出答案.【详解】因为，所以或，解得或8.故选：BC例题3．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的不等式．【答案】【分析】根据排列数的公式计算求解.【详解】由，可得，所以，整理得，解得，又因为，所以.精练核心考点1．（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）（

）A．110 B．98 C．124 D．148【答案】A【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.【详解】.故选：A.2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知，则可能取值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为，则或，解得或.故选：D.3．（2023上·高二课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)348；(2)64.【分析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答.【详解】（1）.（2）.题型六：相邻问题捆绑法典型例题例题1．（2024上·河南焦作·高三统考期末）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（

）A．48 B．32 C．24 D．16【答案】C【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C例题2．（2024·全国·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（

）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】A【分析】根据相邻元素采用捆绑法可得结果.【详解】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有种排法，相邻元素内部再排共有种排法，故共有种排法，故选：A．例题3．（2024上·江苏南通·高二统考期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.【答案】【分析】先考虑代表甲与代表乙相邻，利用捆绑法求出排法种数；然后考虑记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，求出此时的排法种数.再利用间接法可求得结果.【详解】只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余人进行排序，共有种不同的排法，若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有种站法，然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余人进行排序，此时不同的站法种数为种，因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.故答案为：.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，且C排在A后面，则共有（）种排法．A．36 B．54 C．72 D．96【答案】A【分析】利用间接法，结合定序插空法与捆绑法，可得答案.【详解】利用间接法，仅考虑C排在A后面的情况，采用先排AC，然后BDE插空，共有种，其中AB相邻的有种（将AB捆绑，有种，然后ABC排好后DE插空），故C排在A后面且AB不相邻的有种．故选：A．2．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【答案】B【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有种排法，再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B.3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．【答案】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种.故答案为：题型七：不相邻问题插空法典型例题例题1．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）第二十届东博会在广西南宁举办.本次东博会的某个区域要将4个不同的电子产品展区和3个不同的非电子产品展区排成一排，则3个不同的非电子产品展区均不相邻的不同排法共有（

）A．360种 B．720种 C．1440种 D．2880种【答案】C【分析】不相邻问题用插空法计算即可.【详解】第一步：将4个不同的电子产品展区排成一排共有种排法；第二步：4个不同的电子产品展区排成一排会产生5个空，将3个不同的非电子产品展区插入进去共有种排法；故共有种排法.故选：C.例题2．（2024上·青海西宁·高三统考期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（

）A．216 B．228 C．384 D．486【答案】A【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有种不同的挂法.故选：A例题3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，共有种排法．【答案】288【分析】利用分步乘法计数原理，结合相邻问题、不相邻问题及特殊元素站位列式计算即得.【详解】先把乙丙捆绑在一起与除甲丁戊外的另两人作全排列，并把乙丙排列，有种，再把丁戊插入前面排列形成的4个空隙（除乙丙间的外）中，有种，最后让甲站首末两位之一有种，由分步乘法计数原理得不同排法种数是.故答案为：288精练核心考点1．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（

）个A．18 B．36 C．72 D．86【答案】C【分析】可先对计数进行全排列，再在连续前三个空隙或后相邻的三个空隙中放入偶数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，可先对计数进行全排列，共有种排法；再对构成的4个空隙中，连续前三个空隙或后相邻的三个空隙，放入偶数，共有种放法，根据分步计数原理，可得共有种不同的排法.故选：C.2．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有个．【答案】72【分析】利用分步计数原理与插空法即可得解.【详解】根据题意，完成这个事情可分为三步：第一步骤：选数字，有种；第二个步骤：将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种，第三个步骤：安排这三个数字在四个位置上，且相邻数位上的数字不相同，即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字去插空，则有种排序方法，根据分步计数原理可得这样的四位数共有：个.故答案：3．（2024上·河南南阳·高二校联考期末）某冬令营计划利用寒假开设甲､乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲､乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数有.【答案】480【分析】利用插空法先排其它四门，然后再排甲､乙两门，利用分布乘法公式从而求解.【详解】先排甲､乙以外的四门体验课程，此时有种再用插空法排甲､乙两门体验课程，此时有种则不同的排法共有种.故答案为：.题型八：特殊元素优先法典型例题例题1．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（

）A．18 B．21 C．23 D．72【答案】A【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可.【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成：①让甲在三个项目中任选一个，有种方法；②让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.故选：A.例题2．（2024上·山西太原·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（

）A．18 B．24 C．32 D．36【答案】B【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可.【详解】先安排游泳场地的志愿者，在除去甲的另三人中选择，再安排射击和体操场地的志愿者.当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，由分类加法原理可知共有种.故选：B.例题3．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【答案】【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，可分为三种情况：当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，所以不同的分配方法有种不同的安排方法.故答案为：.精练核心考点1．（2024上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（

）A．18 B．27 C．36 D．45【答案】C【分析】先从3人中选出2人参加第三场双打；这2人参与除双打外的另外四场中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两场单打即可求解．【详解】先从3人中选出2人参加第三场双打，有种选法；这2人参与除双打外的另外四场中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两场单打，有种出场安排方法，所以由分步计数原理知：共有种不同的出场安排．故选：B.2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．【答案】84【分析】分去生物且生物只去一人、去生物且生物只去两人、去影视且生物只去一人、去影视且生物只去两人四种情况讨论求出，注意特殊的先讨论.【详解】去生物且生物只去一人：种，去生物且生物只去两人：种，去影视且生物只去一人：种，去影视且生物只去两人：种，一共种，故答案为：843．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为.【答案】24【分析】从不含数字和含数字两类出发，运用排列、组合数公式计算即可；【详解】分两类：第一类不含数字，有以下几种组合和，结果为；第二类含数字，有以下几种组合、和，结果为；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是.故答案是：.题型九：间接法典型例题例题1．（2024上·江苏·高三统考期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（

）A．140种 B．44种 C．70种 D．252种【答案】C【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可.【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.故选：C.例题2．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为．【答案】150【分析】利用间接法，先将学生安排出去，再排除不符合题意的情况即可.【详解】先将学生安排出去，共有种排法，若5名学生都去同一个社区，共有种排法；若5名学生去2个社区（每个社区至少安排1名志愿者），共有种排法；所以符合题意的所有排法的总数为.故答案为：150.例题3．（2024上·江西上饶·高二统考期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．(1)共有多少种选法；(2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．【答案】(1)210(2)140【分析】（1）

由组合的定义即可求解；（2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解.【详解】（1）解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法．（2）法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长．若选中1名队长，则有种选派方法；若选中2名队长，则有种选派方法；∴队长中至少有1人参加，有种方法．法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人，若没有队长，则有种选派方法，若随机选择，则有种选派方法，∴队长中至少有1人参加，有种方法．精练核心考点1．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种【答案】A【分析】根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，故选：A2．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种．【答案】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有种，若三人选择的书完全相同，则有种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种.故答案为：.3．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内有任意三点都不共线的四点，直线，在直线上，过以上八点中若干点可做多少几何图形？显然可以从构成直线、三角形、四面体等考虑．【答案】答案见解析【分析】根据给定条件，利用组合应用问题，结合共线、共面情况，借助排除法求解即得.【详解】（1）过八个点中任何两点都可作一条直线，去掉重复情况有条直线．（2）过八个点中的三个点可作一个三角形，最多能作个三角形．（3）过八个点中的三个点可作一个平面，最多能作个平面．（4）过八个点中四个点可作一个四面体，最多能作个四面体．题型十：隔板法典型例题例题1．（2024上·江西吉安·高二统考期末）将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（

）A．15种 B．18种 C．21种 D．24种【答案】C【分析】利用隔板法求解即可.【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法．故选：C.例题2．（2023上·全国·高三专题练习）将10个小球分别装入3个不同的盒子中且每个盒子非空（即每个盒子至少装1个小球）．问：有多少种不同的装法？【答案】36【分析】利用隔板法进行求解.【详解】将10个小球排成一排，在两两之间的9个间隙中任取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组，如图所示．将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数就等于题中所求的装法数，共有种装法．例题3．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？【答案】(1)945(2)84【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案；（2）结合题意，利用隔板法即可求得答案.【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，则分成7组，故分配方案共有种.精练核心考点1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（

）A．90种 B．120种 C．160种 D．190种【答案】B【分析】应用“隔板法”求解即可.【详解】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中，不同的放法共有（种）.故选：B.2．（2023·河南新乡·统考一模）已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有个．【答案】66【分析】根据题意，分的值有1种，2种以及3种讨论，结合隔板法代入计算，即可得到结果.【详解】若的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个，若的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个，若的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个，故共有66个符合条件的不同数列．故答案为：663．（2023上·全国·高三专题练习）将20本相同的书分给4名学生，要求每名学生至少得3本书，有多少种不同的分法？【答案】165【分析】先给每人分2本书，剩下的书再利用隔板法，即可求解.【详解】先给每人分2本书，然后将剩下的12本书按隔板法，分给4名学生，则满足每名学生至少3本书，12本书之间有11个位置，隔3块板，共有种分法．所以每名学生至少得3本书，有种分法.题型十一：分组分配问题典型例题例题1．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分组讨论安排.【详解】（1）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，（2）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，故共有种，故选：A.例题2．（2024上·江西上饶·高二统考期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数.【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生则不同的分配方法种数为种.故选：B.例题3．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有种.【答案】【分析】按照先分组再分配的方法，结合排列组合公式，即可列式求解.【详解】由题意可知，5位教师的分组情况为2，1,1,1的分组，再分配到4所学校，所以分配方案有.故答案为：240精练核心考点1．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】B【分析】先按