第01讲2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程+2.3直线的交点坐标与距离公式(原卷版+解析)

第01讲2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程+2.3直线的交点坐标与距离公式目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查直线的倾斜角 1题型二：重点考查直线的斜率 2题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 3题型四：重点考查斜率公式的应用 4题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 5题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 6题型七：重点考查直线的方程 8题型八：重点考查两直线的交点坐标 10题型九：重点考查两点间的距离公式 11题型十：重点考查点到直线的距离公式 12题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 13题型一：重点考查直线的倾斜角典型例题例题1．（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，则直线的倾斜角为．例题3．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是．题型二：重点考查直线的斜率典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为．例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求：(1)的取值范围；(2)的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）经过两点的直线的方向向量为，则.3．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过两点，问：当取何值时：(1)直线与轴平行?(2)直线的方向向量的坐标为．(3)直线的倾斜角为?4．（2023秋·高二课时练习）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值．题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为题型四：重点考查斜率公式的应用典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为．例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内两点，.(1)当为何值时，直线的倾斜角为锐角？(2)当为何值时，直线的倾斜角为钝角？(3)直线的倾斜角可能为直角吗？精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．122．（2023·全国·高二专题练习）点在函数的图象上，当，则的取值范围为.3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，点在线段上.(1)求直线的斜率；(2)求的最大值.题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·高二课时练习）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知两点A（1，﹣2），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）与线段AB有交点，则直线l斜率取值范围为．2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为.题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系典型例题例题1．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或例题2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则例题3．（2023·全国·高三专题练习）设不同直线，，则“”是“”的条件.例题4．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，当为何值时，与：(1)相交；(2)平行；(3)垂直．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋·高二课前预习）已知直线，，试讨论：(1)的条件是什么？(2)的条件是什么？3．（2023秋·高二单元测试）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)，；(2)，．4．（2023秋·高二课时练习）已知直线l1经过，直线l2经过点.(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.5．（2023秋·全国·高二期中）已知两直线.当为何值时，和.(1)平行；(2)垂直.题型七：重点考查直线的方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或例题2．（多选）（2023秋·高二课时练习）（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（

）A． B．C． D．例题3．（2023·江苏·高二假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程.例题4．（2023·全国·高二课堂例题）（1）已知三角形的三个顶点坐标分别是，，，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（2）求过点和点的直线方程.精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习）过定点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为y＝－2x＋3.(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．3．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中点，，试求：(1)直线AB的方程；(2)线段AB的垂直平分线l的方程.4．（2023·全国·高二专题练习）在中，已知点，，．(1)求BC边上中线的方程．(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．题型八：重点考查两直线的交点坐标典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个例题2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（

）A． B． C． D．6例题3．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．12．（2023秋·高二课时练习）经过点和两直线；交点的直线方程为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线.(1)当m取任何值时，直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；(2)当，且直线l与两坐标轴分别交于A､B，求的最小值.题型九：重点考查两点间的距离公式典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6例题2．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．32．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．3．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为．题型十：重点考查点到直线的距离公式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则的最小值为例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线，且与点的距离是的直线的方程．例题3．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知直线，．(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；(2)若坐标原点到直线的距离为1，求实数的值．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线经过直线与的交点P，若点到直线的距离为3，则直线的方程为，点到直线的距离的最大值是．2．（2023秋·高二课时练习）求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程．3．（2023春·上海·高二期中）已知的三个顶点、、．(1)求边所在直线的方程；(2)边上中线的方程为，且，求点的坐标．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）若动点分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4例题2．（2023秋·高二课时练习）求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线的方程．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为.精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线，且与点的距离是的直线的方程．

第01讲2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程+2.3直线的交点坐标与距离公式目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查直线的倾斜角 1题型二：重点考查直线的斜率 3题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 6题型四：重点考查斜率公式的应用 10题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 12题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 15题型七：重点考查直线的方程 19题型八：重点考查两直线的交点坐标 23题型九：重点考查两点间的距离公式 27题型十：重点考查点到直线的距离公式 31题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 34题型一：重点考查直线的倾斜角典型例题例题1．（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【详解】，即，设直线的倾斜角为，，则，，夹角为，故或.故选：C.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，则直线的倾斜角为．【答案】【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得，由此可得倾斜角；方法二：根据三角函数定义可知在圆上，根据图形关系可求得，由此可得倾斜角.【分析】方法一：设直线的倾斜角为，则.直线的倾斜角为；方法二：由三角函数的定义可知：点在圆上，如图所示，设为直线与轴的交点，则，，，又，，，直线的倾斜角为.故答案为：.例题3．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【详解】因为sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．答案：精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：直线l的斜率为k，且，∴，.∴.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【详解】解：直线，若，则，直线的斜率不存在，倾斜角为；若，则直线的斜率，由或，可得或，由（为不等于的倾斜角），可得或，综合，倾斜角的取值范围是．故答案为：．题型二：重点考查直线的斜率典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，即，解得.故选D.例题2．（2023·全国·高二专题练习）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为．【答案】【详解】由题意知，所以，即，化简得，解得或当时，重合，不符合题意舍去，当时，，符合题意，所以，故答案为：例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求：(1)的取值范围；(2)的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，．由题意可知点在线段AB上移动．记点，则可看作过点与点的直线的斜率，又因为，，由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在，所以的取值范围为．（2）因为，记点，则可看作过点与点的直线斜率，又因为，，所以的取值范围为．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.故选：A.2．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）经过两点的直线的方向向量为，则.【答案】/0.5【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，又直线经过两点，所以.故答案为：.3．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过两点，问：当取何值时：(1)直线与轴平行?(2)直线的方向向量的坐标为．(3)直线的倾斜角为?【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以．（2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得．（3）由题意可知，直线的斜率，即，解得．4．（2023秋·高二课时练习）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值．【答案】【详解】由题意知直线的斜率存在，即．所以，所以，整理得，即，解得或（舍去），所以．题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为;直线的斜率，此时倾斜角为；直线的斜率不存在，此时倾斜角为；所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.

例题2．（2023·全国·高二专题练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，，，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．【答案】(1)．(2)．【详解】（1）因为，，所以因为直线与线段有公共点，所以由图可知直线的斜率满足或，所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，所以的取值范围是．精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，当直线在的位置时，；当直线在的位置时，，故直线的斜率的取值范围是．

故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.3．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为【答案】【详解】如图，，，，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，，所以有.故答案为：.题型四：重点考查斜率公式的应用典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为点在线段上，所以，且，即，所以，设，所以当时，.故选：D.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为．【答案】【详解】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在，设直线AB，BC的斜率分别为，．由斜率公式可得，．因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即，整理得，解得或．故答案为：.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内两点，.(1)当为何值时，直线的倾斜角为锐角？(2)当为何值时，直线的倾斜角为钝角？(3)直线的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.

(2)m<－2.

(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k＝＝>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k＝＝<0，解得m<－2.(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】D【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．故答案为：D.2．（2023·全国·高二专题练习）点在函数的图象上，当，则的取值范围为.【答案】【详解】由表示与点所成直线的斜率，又由是在部分图象上的动点，如图所示：可得，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.

3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，点在线段上.(1)求直线的斜率；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，直线的斜率.（2）当点在两点之间时，由点在线段上，易知，即，即，当P与重合时也满足，因此，亦即，且，所以，，当且仅当，即时，等号成立.故的最大值为.题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，如图所示：∴与点连线斜率为，与点连线斜率为，∴可得斜率取值范围为．故选:A．例题2．（2023秋·高二课时练习）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围．【答案】【详解】解：设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：

当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大，此时，；当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知两点A（1，﹣2），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）与线段AB有交点，则直线l斜率取值范围为．【答案】【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．故答案为：.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为.【答案】【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示：由题知点M在直线上，且，当时，；当时，.设，.又，结合图象可得，的取值范围是.故答案为：题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系典型例题例题1．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线与直线平行，所以的值为.故选：C例题2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设不同直线，，则“”是“”的条件.【答案】充要【详解】当时，两直线方程为，，有，因此，当直线时，显然，于是，解得，所以“”是“”的充要条件.故答案为：充要例题4．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以．（2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则，设直线的斜率为，则，所以轴．故．（3）方法一：直线的斜率，直线的斜率，因为，所以；方法二：直线的方向向量，直线的方向向量，因为，所以，所以．例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，当为何值时，与：(1)相交；(2)平行；(3)垂直．【答案】(1)且；(2)；(3).【详解】（1）直线相交，则，即，所以且.（2）直线相交，则，即，所以或.当时，，，符合题设；当时，，，两线重合，不合题设；综上，.（3）直线垂直，则，可得.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由直线与轴垂直，得直线的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直线与轴垂直”的充要条件.故选：C.2．（2023秋·高二课前预习）已知直线，，试讨论：(1)的条件是什么？(2)的条件是什么？【答案】(1)且(2)【详解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即；的条件为：且.（2）若，则；反之，若，则；的条件为：.3．（2023秋·高二单元测试）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)，；(2)，．【答案】(1)垂直，理由见解析(2)平行，理由见解析【详解】（1）设直线的斜率分别为，．因为，，所以从而与垂直;（2）因为，从而与平行．4．（2023秋·高二课时练习）已知直线l1经过，直线l2经过点.(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.【答案】(1)＝1或＝6(2)＝3或＝－4【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且，若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，即，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.5．（2023秋·全国·高二期中）已知两直线.当为何值时，和.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为，所以，解得或，当时，直线两条直线重合，故时，；（2）因为，所以，解得或.题型七：重点考查直线的方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为把点代入求出，即直线方程为（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，把点代入求出，即直线方程为综上，直线方程为或故选：A例题2．（多选）（2023秋·高二课时练习）（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为，当时，得横截距，当时，得纵截距，因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABC.例题3．（2023·江苏·高二假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【详解】(1)证明：解法一：令，则直线方程为

①再令时，直线方程为

②①和②联立方程组，得，将点代入动直线中，即故动直线恒过定点.解法二：将动直线方程按降幂排列整理，得①不论为何实数，①式恒为零，∴有，解得，故动直线恒过点．(2)解法一：联立方程，解得，直线的斜率为，由，则直线的斜率为，故直线的方程为.解法二：设所求直线方程为，将解法一中求得的交点代入上式可得，故所求直线方程为.解法三：设直线的方程为，即，又，∴

，解得，故直线的方程为.例题4．（2023·全国·高二课堂例题）（1）已知三角形的三个顶点坐标分别是，，，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（2）求过点和点的直线方程.【答案】（1）；（2）【详解】（1）过点，的直线的两点式方程为，整理得，即边所在直线的方程为.设边的中点为，则，所以点D的坐标为，边上的中线所在直线为，由两点式得直线的方程为，整理得，即边上的中线所在直线方程为.（2）①当时，A，B两点的横坐标均为2，直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为，即.②当时，由直线方程的两点式可得，整理得（*）.又当时，（*）式可化为，所以综合①②可知，所求直线方程为.精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习）过定点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为，当时，得横截距，当时，得纵截距，因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABC.2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为y＝－2x＋3.(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，将代入，得，即得，所以直线的方程为（2）由直线与垂直，可设的方程为，令，得，令，得，故三角形面积，所以，解得，所以直线的方程是或3．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中点，，试求：(1)直线AB的方程；(2)线段AB的垂直平分线l的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）由直线的两点式方程得，∴直线AB的方程为；（2）线段AB的中点坐标为，由（1）得直线AB的斜率为，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即.4．（2023·全国·高二专题练习）在中，已知点，，．(1)求BC边上中线的方程．(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．【答案】(1)；(2)或【详解】（1）BC中点，即，故BC边上中线的方程为，即；（2）直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，i.若直线过原点，则直线方程为，即；ii.若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，代入B点解得，故直线方程为，即；故该直线的一般式方程为或.题型八：重点考查两直线的交点坐标典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个【答案】C【详解】三条直线不能构成三角形至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若∥，则；若∥，则；若∥，则的值不存在；若三条直线相交于同一点，直线和联立：，直线和交点为;直线和联立：，直线和交点为;三条直线相交于同一点两点重合或.故实数的取值最多有个.故选:C例题2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（

）A． B． C． D．6【答案】ACD【详解】由于三条直线，，不能构成三角形，则直线存在以下三种情况；①当与平行时，则，解得；②当与平行时，则，解得；③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得．故选：ACD例题3．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)重合(3)平行【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，且交点坐标为．（2）联立直线与的方程得方程组，因为整理得，即方程②可以化为方程①，所以方程组有无数组解，所以与重合．（3）联立直线与的方程得方程组由得（不成立），可知该方程组无解．所以与无公共点，即．精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【详解】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，若直线与直线平行，可得，此时满足题意；若直线与直线平行，可得，此时满足题意，（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，由，解得，即两直线的交点为，将代入直线，可得，综上可得，实数的值为或或.故选：ABC.2．（2023秋·高二课时练习）经过点和两直线；交点的直线方程为.【答案】【详解】设所求直线方程为，点在直线上，，解得，所求直线方程为，即．故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线.(1)当m取任何值时，直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；(2)当，且直线l与两坐标轴分别交于A､B，求的最小值.【答案】(1)过定点，定点为(2)12【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∴过定点.（2）令，，∴，令，，∴，∴，令，则，，∴，∴当且仅当，即时，最小值为12.题型九：重点考查两点间的距离公式典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是4，故选：B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【详解】，则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，则，此时直线的直线方程为令，则，故当时，.故选：A.例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为.【答案】【详解】，上式表示轴上一点分别到点距离的和，如图所示，设为点关于轴的对称点，则当点为直线与轴的交点时，点到两点距离的和最小，最小值为两点间的距离.，所以函数的最小值为.故答案为：精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【详解】如图，设，，，，表示点与之间的距离；表示点与之间的距离；表示点与之间的距离；表示点与之间的距离；所以，其中是以1为边长的正方形内任意一点，，；故，当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为.故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．【答案】【详解】，，如图，设点，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，当A，B，C三点共线时，等号成立，且，故的最小值为．

故答案为：.3．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为．【答案】【详解】，根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，如图所示，作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，可得，又由，当且仅当点与重合时，等号成立，所以，即函数的最小值为故答案为：题型十：重点考查点到直线的距离公式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则的最小值为【答案】/0.8【详解】由满足知，点是直线上的任意点，而表示点到定点的距离的平方，因此的最小值即为点到直线距离的平方，即有，所以的最小值为.故答案为：

例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线，且与点的