2026年广东湛江博雅学校自主招生数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湛江市博雅学校2026年自主招生数学试题（本试卷四大题，共22小题，满分150，用时120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是(

)A． B． C． D．2．若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（

）A． B．1 C．2 D．33．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．abc B．bac C．acb D．cba4．已知a，b，c，d，e均为正整数，且满足，则（

）A．14 B．15 C．16 D．175．若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．6．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（

）A． B． C．8 D．107．如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（）A． B． C． D．8．正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形的对角线构成的图形如图所示，下列关系中正确的是（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．方程的根是（

）A． B． C． D．11．已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴右侧，下列结论正确的是（

）A．抛物线经过点B．方程有两个不相等的实数根；C．D．12．如图，已知、的半径分别为2、4，经过点，且两圆相交于点A、B两点，连接交于D点，连接AD并延长交于C点，连接、、，下列正确的结论是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初键步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：“有人要去某关口，路程378里，第一天键步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，”则此人第六天走的路程为________________14．已知关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是______．15．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________．16．如图，在四边形中，，，，，在边上存在点E，使得是以为底边的等腰三角形．设，，（x，y都是自然数），请写出满足条件的数对________．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：(1)该班总人数是多少？四次优秀人数的中位数是多少？(2)根据计算，请你补全两个统计图；(3)观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论．18．按要求完成下列各题：(1)计算：（其中n为自然数）．(2)先化简，再求值：，（其中x的取值是中的整数）．19．如图，在菱形中，，，分别交于点E，F，，连接．(1)求证：；(2)求点E到的距离和的值．20．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．21．如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”．(1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值；(2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点．①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”；②若，，求点与原点的距离的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以1单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在，，上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒）．当，中的一点到达点时，两点同时停止运动．(1)求所在直线的函数表达式；(2)在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的实数t的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】通过立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C，D，再根据三角形的位置，即可排除D选项．故选C．【点睛】考查了展开图与折叠成几何体的性质，从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形是解题关键．2．C【分析】设点的坐标为，则，不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为，则，，据此可得答案．【详解】解：设点的坐标为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∵点到两坐标轴的距离分别为，，∴不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为，∴，，∴．3．A【分析】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R，如图，由为圆内接正三角形，则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．如图，四边形为圆的内接正方形，四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，如图，六边形为圆的正内接六边形，正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．∵RRR，∴＜b＜，故选：．本题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．4．D【分析】根据，可逐步变形推出，据此可得答案．【详解】解：，∵均为正整数，∴，∴．5．D【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案．【详解】解：∵，∴，即∵方程组的解是，∴方程组的解满足，∴．6．B【分析】连接、，令交于点，由矩形的性质可得，，，证明，得出，结合线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果．【详解】解：如图，连接、，令交于点，∵四边形为矩形，∴，，，∴，，∴，∴，∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，∴，，∴，∴，，∴．7．A【详解】试题解析：在4×4的网格中共有25个格点，而使得三角形面积为1的格点有6个，故使得三角形面积为1的概率为．故选A．8．D【分析】利用正五边形的性质和等腰三角形的性质求出即可判断A选项；证明得到，设，则，解得（负值已舍去），得到，即可判断D选项；证明，作的角平分线交于点M，证明，则，设，则，，解得，则，即可判断B选项，求出，即可判断C选项．【详解】解：由正五边形的内角和得到，，，∴同理可得，∴，故选项A错误，∵，∴∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，∴∴解得（负值已舍去）∴

，故D正确；中，，，，∴，作的角平分线交于点M，则，∴又∴，∴，设，则，，∴，解得，∴，故B选项错误，在中，，,∴，∴∴，故C错误．9．BC【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：A、当时，由得，故A错误；B、∵，∴，故B正确；C、∵，∴，，∴，∴，故C正确；D、当时，，故D错误．10．CD【分析】根据二次根式有意义得出，再根据题意将方程转化为或，分别求解即可．【详解】解：要使方程有意义，需满足，解得，∵，∴或，当时，解得或，∵，∴舍去，符合条件；当时，，解得，满足，符合条件；∴方程的根为和．11．BCD【分析】根据抛物线的性质得到，即．求出．则，即可判断C选项；当时，，即可判断A选项；方程可化为，其判别式，证明，即可判断B选项；求出，证明，即可判断D选项．【详解】解：∵抛物线经过点，∴．∵抛物线经过点，∴，即．∵抛物线对称轴在轴右侧，∴．若，则，此时，不符合题意，∴．由，，得，即．∵，∴，∴，故C正确．当时，，∵，∴的值不恒为2，故A错误．方程可化为，其判别式，∵，即，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故B正确．，∵，∴，∴，即，故D正确．12．D【分析】利用对称性得到，结合圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定推导出即可．【详解】解：∵、两圆相交于A、B两点，∴A、B关于对称，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形内接于，∴，∵共线，∴，∴，∴，∵，∴，∴13．6里【详解】解：设第六天走了x里，依题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，解得x=6(里).故答案为6里.14．m≥5【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．【详解】解不等式2x-1＞3（x-2），得：x＜5，∵不等式组的解集为x＜5，∴m≥5，故答案为m≥5．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式．【详解】解：利用平方差公式分解得，因此原方程等价于两个一元二次方程，，分别计算两个方程的判别式，，∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根，，∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求，只能，此时，符合要求，整理得，假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件，故所求关系式为．16．或或【分析】先由勾股定理可得，，然后根据等腰三角形得到，即可得到，再因式分解，枚举求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，由题意得，，∴∴整理得，∵x，y都是自然数，∴∴，解得，符合题意；或，解得，符合题意；或，解得，符合题意；∴满足条件的数对为或或．17．(1)40人；30人(2)补全统计图如图所示：(3)四次训练的优秀人数与优秀率逐次上升，训练效果显著．【分析】（1）用第一次优秀人数除以优秀率求解总人数，再由总人数乘以第四次的优秀率求出第四次优秀人数，最后根据中位数的定义求解；（2）先求出第三次的优秀率，再结合（1）中求出的第四次优秀人数即可补全统计图；（3）根据统计图获取信息即可．【详解】（1）解：总人数为：（人）；第四次优秀人数为（人），四次优秀人数排列为：，故中位数为；（2）解：第三次优秀率为：，补全统计图见答案；（3）略18．(1)当为偶数时，结果为；当为奇数时，结果为(2)化简结果为，当时，原式【详解】（1）解：当n为偶数时，原式；当n为奇数时，原式；（2）解：，∵分式要有意义，∴，∴且，又∵，且x为整数，∴，∴原式．19．(1)证明：∵四边形是菱形，∴，∵∴；(2)点E到的距离为；【分析】（1）根据菱形的性质结合证明即可；（2）作于H，先由求出，然后解斜即可；过点作交延长线于点，解即可．【详解】（1）略（2）解：过点F作于H，∵四边形是菱形，，，，，，，∴，，，，，和是等边三角形，，，，∴，，，；过点作交延长线于点，∵∴∴，即点E到的距离为．20．(1)50千克(2)12.5【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案.【详解】（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．21．(1)2或(2)①证明：∵，∴均不为0，∴都不为0，∵直线与轴交于点，∴，解得，联立直线与抛物线解析式，消去可得，即，∵直线与抛物线交于两点，∴是方程的两根，，，∴构成“美丽三数组”；②且【分析】（1）把三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用和分别表示出，再由“美丽三数组”的定义可得到关于的方程，可求得的值；（2）①由直线解析式可求得，联立直线和抛物线解析式消去，利用一元二次方程根与系数的关系可求得，再利用“美丽三数组”的定义证明即可；②由条件可得到，可得，由可求得的取值范围，令，利用两点间距离公式可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得的取值范围，从而可求得的取值范围．【详解】（1）解：∵三点均在（为常数，）的图象上，将三点横坐标代入函数可得：，，，∵，，∵这三点的