2026年山东省青岛市第二中学高一期末考试数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页青岛二中2025-2026学年第二学期期末考试高一试题（数学）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据8，6，2，4，10，9的中位数为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知向量，，且，则等于（

）A．2 B．1 C． D．3．小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（

）A．月跑步里程最小值出现在2月B．2月至6月的月跑步里程逐月增加C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大4．已知两个随机事件相互独立，，则（

）A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.905．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则6．从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（

）A． B． C． D．7．位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（

）（）A．69m B．72m C．79m D．82m8．已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则（

）A．的虚部为 B． C． D．10．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（

）A． B．C．可以等于 D．11．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，为上一点，且，则下列说法正确的是（

）A．正三棱台的体积为B．点的轨迹长度为C．存在点，使得D．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正边长为2，则__________.13．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球体积为________．14．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，．(1)若，，求的值．(2)在（1）的条件下，求的最小值．16．已知中，角，，的对边分别为，，，，为边的中点．(1)求；(2)若，；证明：．17．为了解师生对“世界杯”的认知程度，某高校针对不同年龄的师生举办了一次“世界杯”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄：(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本校的“世界杯”宣传使者．①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．18．已知平行六面体所有棱长均为2，．(1)求证：平面平面；(2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面；(3)求平面与平面夹角的余弦值．19．对于一个向量组（且），令，如果存在，使得，则称是该向量组的“向量”．(1)设，若是向量组的“2向量”，求实数的取值范围；(2)若，向量组是否存在“向量”若存在，求出正整数的值；若不存在，请说明理由；(3)已知均是向量组的“1向量”，若，，其中A是的内角，设的内角的对边分别为，若的平分线交于，，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数.【详解】将给定数据从小到大排序为，共有6个数，所以中位数为.2．A【详解】由题可知，，因为，所以存在实数，使得，故，解得，，，所以.3．D【详解】由折线图可知月跑步里程最小值出现在2月，故A正确，不符合题意；2月至6月的月跑步里程逐月增加，故B正确，不符合题意；9月至11月的月跑步里程最小值为20，则平均数大于20，故C正确，不符合题意；1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D错误，符合题意．4．A【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解.【详解】因为随机事件相互独立，，所以，，所以.5．B【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，对每个选项逐一进行分析判断即可.【详解】若，，则直线可能平行于平面，也可能在平面内，即或，故A错误；若，，则或，当，又因为，根据一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，可得，当，平面内必有一条直线与直线平行，又，所以，所以，故B正确；若，，则或，又因为，所以直线与平面可能相交、平行或，故C错误；若，，，则直线与直线可能平行，可能异面，故D错误.6．B【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2，6的号签，所以乘积12出现6次，由此即可求出答案.【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签，所以乘积12出现6次，频率为.故选：B.7．D【分析】过作，垂足为.过作，垂足为.在中求得，从而得到.中，由正弦定理求得，从而得.在中，利用等边对等角，可求得，即A，B两点到水平面的高度差.【详解】如图，过作，垂足为.过作，垂足为.则.又，所以中，.所以.中，，，所以..由正弦定理得，，所以.在中，，所以，所以.即A，B两点到水平面的高度差约为.8．A【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果.【详解】如图，分别作的中点，连接，由题，因为，所以，即，则，因为，所以，即；因为为锐角三角形，即，所以；所以，即，解得，所以；，即，解得，所以，所以，所以，所以面积，又，所以；所以由得.故选：A.9．BD【分析】使用复数的定义，共轭复数的定义，复数的运算求解.【详解】，则的虚部为，选项A错误；，选项B正确；因，，选项C错误；又因，，选项D正确.10．AC【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可．【详解】对于A，根据题意，，，则，故A正确；对于B，，，故与大小无法比较，故B错误；对于C，当时，，此时，故C正确；对于D，取，可得；取，可得，故D错误，故选：AC．11．ACD【分析】将正棱台还原为正棱锥，通过计算棱长可得正棱锥为正四面体，这是题眼，运用正四面体的性质解题即可【详解】如图，延长线段相交于点，因为，，，相似比为，又因为，所以，解得，所以，所以三棱锥为正四面体.对于A，过点作平面的垂线，与平面、平面分别交于点、，过点作的垂线，与、分别交于、，连接、，为中点，连接，因为三棱锥为正四面体，所以，所以，所以，又因为为等边三角形，所以，又因为，所以，又，所以，所以正三棱台的体积为，故A正确.对于B，令为中心，连接，因为三棱锥为正四面体，所以平面，因为，，所以，故点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，在四边形内的轨迹为弧和，如图所示，

故轨迹长度为，故B错误；对于C，当点在上时，因为，，若，则，又因为，所以存在点，使得，故C正确；

对于D，设正四面体的内切球半径为，由等体积法可得，解得，因为，所以该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，又因为，，，所以为中点，故过点，，的平面刚好过该内切球的球心，所以截面面积，故D正确.12．【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可.【详解】如图所示，因为与的夹角为，所以，故答案为：13．【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可．【详解】因为，显然有，，，因此两两互相垂直，补成长方体如图所示：该长方体的对角线长为，所以该三棱锥的外接球的半径为，因此该三棱锥的外接球的体积为．14．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，解出a1的结果．【详解】a3的结果有四种，每一个结果出现的概率都是，1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a1→12→+1218＝a3，4．a1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．故答案为：.【点睛】本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题能力，考查转化能力，是中档题15．(1)(2)【分析】（1）由平面向量基本定理可得；（2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得.【详解】（1）因为，所以，又因为是的中点，所以，又，所以，，所以；（2）因为，，由（1）知，，又，，三点共线，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为.16．(1)(2)，即，解得（负值舍），在中，由正弦定理得：①在中，由正弦定理得：②其中，，两式相除得，即．【分析】（1）由余弦定理与题意整理化简等式，求得角的正切值，进而得到角；（2）利用余弦定理求出，分别在、中，利用正弦定理进行求解．【详解】（1）由余弦定理可得，则，即，，又，故：（2）略17．(1)(2)①；②10【分析】（1）利用中点值乘以频率计算；（2）①利用古典概型求概率；②利用分层抽样的方差公式计算.【详解】（1）这人的平均年龄为，则；（2）①各组之比为，则第四组应抽取，记为（甲），，，，则第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为：，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，所以；②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．据此估计这人中岁所有人的年龄的方差为10．18．(1)如图，设与交于点，连接，在菱形中，，为中点，因为为公共边，，，所以，所以，所以为等腰三角形，则，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．(2)连接，易知，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面．(3)【分析】（1）通过证明，，可证出平面，即平面平面；（2）首先得出平面，由条件可证出直线平面；（3）通过找线面垂直可得出就是二面角的平面角，之后在中用余弦定理可求出余弦值.【详解】（1）略（2）略（3）由题意知，则，设，连接，由（1）可知，平面，所以，因为，所以，在中，，，故，则，所以为等腰直角三角形，且，取中点，连接，则过作交于，连接，所以就是二面角的平面角，在等腰中，，，同理，所以，即，所以，即为的中点，在中，，即，即，解得，所以在中，，因两平面夹角的余弦值为非负数，取绝对值可得，所以平面与平面夹角的余弦值为．19．(1)(2)存在，或5或6(3)【分析】（1）由题意得到，从而得到方程，求出答案；（2）只需使，计算出，故只需使，整理得，解得，求出答案；（3