2026年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（含答案详解）

年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（一）加试一、求具有下述性质的最小实数λ：对任意99个非负实数a1,a2,…,a99，以及a二、如图，在锐角△ABC中，I是内心，AD是角平分线。两点E,F在过B,I,C三点的圆上，使得ADEF构成平行四边形且有对角线交点S。求证：过A,D,S三点的圆与直线EF三、称不超过2026的正整数k为希望数，是指：

对任意a1,a2,…,a2026∈±1四、希望训练营一共有99名身高互不相同的运动员，其中某些对运动员间彼此认识，且认识关系是相互的。对希望训练营的任意18名运动员，按如下规则将他们排成一列：•先取所有运动员中最矮的运动员，再取剩余运动员中最高的运动员，•先取剩余运动员中最矮的运动员，再取剩余运动员中最高的运动员，•⋯

•如此交替进行九轮直至这18名运动员依照被选取的顺序全部排好。对希望训练营中的任意18名运动员，依上述规则所得队列中总有两名相邻的运动员彼此不认识。

求这99名运动员当中彼此认识的运动员对数（不计次序）的最大可能值。2026年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）一、在凸五边形ABCDE中，AC=DC=EC，BE⊥DE，形内一点P满足

∠BAP=∠BPC=∠CBP=∠二、求所有的正整数t，使得无论怎样将每个正整数染为红蓝两种颜色之一，均有颜色相同的正整数a1<a2<⋯<a100，使得ai+1−ai(i=1,2,…,99)都是t三、希望星球的四位高手代数王A、组合王C、几何王G、数论王N经过比赛角逐“全能王”：•每一轮四位参赛者同时解一道数学题，按照用时长短列1,2,3,4名，分别获得3,2,1,0积分。•当某位参赛者的积分达到2026之后，当他下次于某一轮中解题用时最短时，他加冕为全能王。求最小的正整数k，使得组委会只要准备k道数学题就能确保决出全能王。

注：任何两位选手同时解一道题均不会出现用时相等的情形。四.对任意实数x，定义“四舍五入函数”⟨x⟩=⌊x+0.5⌋。给定正整数n以及整数ai,j(1≤i,j≤n)。求证：存在正整数k及实数b1,b2,…,2026年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）一.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E在对角线AC上，满足∠ABE=∠ADE。过点C作AD的平行线交BE于点F，过点E作AB的平行线交AF于点G。求证：AD平分∠二.给定整数n≥3。在n×n的方格表中，每个小方格内填有一个非负实数，同时满足：•该方格表的每行或每列中所填n个数之和均等于1，且•任何两个具有公共边的小方格内所填数之差均不小于p。求：正实数p的最大可能值。三.已知整数n>3。是否存在无穷多个2n元整数集合A，满足：

(1)A中所有数的最大公约数是1；

(2)A中所有数可以分成两组，每组n个数构成等比数列，且两组数之和相等？四.给定正实数u≥2026与正实数p≤23。设正实数a1,a2,…,a2026满足

a1a2⋯五.在锐角△ABC中，AB>AC，D在BC边上运动。设E,F分别在AB,AC边上，满足EF∥BC且∠BED=∠CFD。已知△AEF的外心为S，点K满足KS⊥AS,KA=KD。

求证：若六.求最大的正整数n，使得存在正整数m及平面上的m个圆，满足：任意两个圆均外切或相离，且每个圆恰与其余圆中的n个外切。2026