2027届新高考数学热点精准复习 导数与函数的单调性

2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的单调性[考试要求]

1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．理法先行·题练固本知识点1

函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导f'(x)>0f(x)在(a，b)内________

f'(x)<0f(x)在(a，b)内________

f'(x)＝0f(x)在(a，b)内是________

单调递增单调递减常数函数知识点2

利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的______；第2步，求出导数f'(x)的____；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域零点[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0

恒成立；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)<0有解．3．f'(x)>0在(a，b)内恒成立是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f'(0)＝0．1．(人教B版选择性必修第三册P95练习AT1)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，且y＝f'(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是______________，单调递减区间是______________．

(0，1)

(1，2)(0，1)

(1，2)

[由题图知，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，2)时，f'(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，2)．]2．(人教A版选择性必修第二册P97

习题5.3T2(4))函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为__________________________．

3．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f'(x)是f(x)的导函数，若f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)√A

B

C

DC

[由题图知，当x∈(－∞，0)时，f'(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增；当x∈(0，x1)时，f'(x)<0，∴f(x)在(0，x1)内单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(x1，＋∞)上单调递增．故选C．]考点深研·题型突破考点一

利用导函数的图象研究函数的单调性[典例1]

(1)(2025·天津西青区期末)设函数y＝f(x)可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f'(x)的图象可能为(

)√(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f'(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(

)A．在区间(0，a)内，f(x)为定值B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减√√(1)D

(2)BD

[(1)由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D．(2)由题图知，当0<x<a时，f'(x)>0且为定值；当a<x<c时，f'(x)单调递减，且在x∈(a，b)内，f'(x)>0，在x∈(b，c)内，f'(x)<0；当c<x<e时，f'(x)单调递增，且在x∈(c，d)内，f'(x)<0，在x∈(d，e)内，f'(x)>0，所以当0<x<a时，f(x)单调递增且图象为斜率大于0的直线，当a<x<b时，f(x)单调递增，当b<x<c时，f(x)单调递减，当c<x<d时，f(x)单调递减，当d<x<e时，f(x)单调递增，其大致图象如图．故选BD．]通性通法：(1)由原函数图象识别导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)＝0．(2)由导函数图象识别原函数图象的依据：若f'(x)>0，则f(x)单调递增，若f'(x)<0，则f(x)单调递减．

√√√

易错提醒：确定不含参数的函数的单调性应注意两点，一是不能漏掉函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．

[多维变迁]1．(2023·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x，讨论f(x)的单调性．[解]

函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝aex－1，当a≤0时，f'(x)≤－1<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f'(x)>0，得x>－ln

a，令f'(x)<0，得x<－ln

a，所以函数f(x)在(－∞，－ln

a)上单调递减，在(－ln

a，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln

a)上单调递减，在(－ln

a，＋∞)上单调递增．2．

(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．

1．(链接考点二)(2025·松原期中)函数f(x)＝xe-x的单调递增区间是(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，1)C．(－∞，－1)

D．(－1，＋∞)√B

[f

(x)＝xe-x的定义域为R，导函数f'(x)＝(1－x)e-x，由f'(x)>0，得x<1，因此f(x)＝xe-x的单调递增区间是(－∞，1)．故选B．]2．(链接考点一)(2025·合肥期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf'(x)的图象可能是(

)√C

[根据题意，由f(x)的图象，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，得当x∈(－∞，－1)时，f'(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)>0．对于函数y＝xf'(x)，在(－∞，－1)上，必有xf'(x)>0，在(－1，0)上，必有xf'(x)<0，在(0，＋∞)上，必有xf'(x)>0，分析可知选项C符合．故选C．]3．(链接考点三)(2025·北京期末节选)已知函数f(x)＝ex－ax，讨论f(x)的单调性．[解]

函数f(x)＝ex－ax的定义域为R，f'(x)＝ex－a，当a≤0时，f'(x)＝ex－a>0恒成立，f(x)在R上单调递增；当a>0时，由f'(x)>0，解得x>ln

a；由f'(x)<0，解得x<ln

a，∴f(x)在(－∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，＋∞)上单调递增，综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，＋∞)上单调递增．题、单项选择题

1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cos

x－x在(0，π)内的单调性是(

)A．先增后减

B．先减后增C．单调递增

D．单调递减√课时作业(二十二)导数与函数的单调性题

[因为f'(x)＝－sin

x－1<0在(0，π)内恒成立，所以f(x)在(0，π)内单调递减，故选D．]√题/p>

题/p>

题号135246879103．(2025·深圳期末)下列在同一坐标系中的图象，有可能是三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数图象的是(

)√题

[根据题意，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则其导数f'(x)＝3ax2＋2bx＋c，则f'(x)为二次函数，其图象为抛物线，设f'(x)与x轴的两个交点为x1，x2，x1<x2．依次分析选项：对于A，如图所示：题x<x1或x>x2时，f'(x)<0，则函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，与f(x)的图象不符合，A错误；对于B，由选项图可知，∀x∈R，f'(x)>0，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与f(x)的图象不符合，B错误；对于C，由选项图可知，∀x∈R，f'(x)>0，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与f(x)的图象符合，C正确；题于D，如图所示：当x<x1或x>x2时，f'(x)<0，则函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减，与f(x)的图象不符合，D错误．故选C．]√题/p>

题/p>

x(－∞，0)0f'(x)－0＋0－f(x)单调递减

单调递增

单调递减

√题、多项选择题

5．(2025·新余期末)下列函数在(－∞，＋∞)上是单调函数的是(

)A．y＝x3＋x－1

B．y＝sin

x－xC．y＝xex＋1

D．y＝ex－x√题B

[对于选项A，导函数y'＝3x2＋1>0，y＝x3＋x－1在(－∞，＋∞)上单调递增，因此选项A正确；对于选项B，导函数y'＝cos

x－1≤0，y＝sin

x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，因此选项B正确；对于选项C，导函数y'＝(x＋1)ex，令y'<0⇒x<－1，令y'>0⇒x>－1，因此函数y＝xex＋1在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，因此选项C错误；对于选项D，导函数y'＝ex－1，令y'<0⇒x<0，令y'>0⇒x>0，y＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．故选AB．]题/p>

√√√题/p>

题/p>

题、填空题7．(2025·天津西青区期末改编)已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋a．则函数f(x)的单调递增区间是____________________________；单调递减区间是______________．

(－∞，－1)，(3，＋∞)

(－1，3)题－∞，－1)，(3，＋∞)

(－