第2课时13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)

八年级数学·上新课标[人]第十三章轴对称

学习新知检测反馈13.1线段的垂直平分线的性质（1）学习新知观察思考

为方便居民的出行,准备在小河上修建一座桥.为了让A和B两个社区的居民到桥的距离都相等,建桥的位置应该选在哪?

1.线段垂直平分线的性质小结

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?

如图所示,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB.性质的证明证明思路图中有两个直角三角形,△APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.证明你能写出已知、求证,并证明吗？已知:MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证:PA=PB.

因为点P是线段的垂直平分线上一点,于是就有:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.证明:在△APC和△BPC中,∵PC=PC(公共边),∠PCB=∠PCA(垂直定义),AC=BC(已知),∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).2.线段的垂直平分线的判定1.你能写出上面这个命题的逆命题吗?2.它是真命题吗?

这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出.

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.如何证明？已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证明方法证法1:过点P作已知线段AB的垂线PC,∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB,∴P点在AB的垂直平分线上.证法2:取AB

的中点C,过P,C

作直线.∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).证法3

:过P点作∠APB的平分线,∵PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,∴P点在AB的垂直平分线上.

从的推理证明过程可知

线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定.

能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?

要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线。KCABDEF尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C(如图所示).求作:AB的垂线,使它经过点C.(3)分别以点D和点E为圆心,大于

DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.知识小结1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思.(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.1．如图所示,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为 (

)

A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm检测反馈解析:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8(cm),∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.B2．如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(

)A.AB=AD

B.CA平分∠BCDC.AB=BD

D.△BEC≌△DEC

C3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是(

)A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故A正确;△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正确;∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故C正确;∵BD>CD,∴AD>CD,∴点D不是线段AC的中点,故D错误.故选D.4.如图所示,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.解析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进