湖南省长沙市2025-2026学年高二数学下学期开学试题（一）【含答案】

时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集的概念即可求解.【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为.故选：B.2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】若复数满足，则，故复数的虚部为.3.已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线过定点，易求的斜率，的斜率，直线的斜率，所以或，即或故选：C.4.设函数在定义域内可导,图象如下图所示,则导函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数和原函数图象之间关系即可判断.【详解】由图像可知，函数在上是减函数，此时,故排除A、C；当时，函数的图象是先增，再减，最后再增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D.5.设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（）A.49 B.50 C.51 D.52【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以，所以，所以.故答案为：C.6.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A7.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为，因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，其方法数为.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为．故选:C．8.已知，，（e为自然对数的底数），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边取对数，构造函数利用其在上的单调性可得．法一令，求导利用在上的单调性可得可得答案；法二利用不等式放缩可比较的大小，对两边取对数得出再做差可得答案.【详解】对两边取对数，，而在上单调递增，∴．令，，∴在单调递减，∴，即，∴；；又，∴，∴．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对ACD选项可用基本不等式可得，对B选项根据指数函数性质可得.【详解】因为，，且，对于A，所以，当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B，由已知得，，所以，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D,，则，当且仅当时，等号成立，故D正确，10.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（）A.若，则直线与直线的夹角为B.三棱锥体积的最大值为C.存在，使得平面D.若，则三棱锥外接球的表面积为8π【答案】ABC【解析】【分析】当时，分别为的中点，所以也是的中点.利用中位线定理及异面直线所成的角的定义求出直线与直线的夹角，判断A；将三棱锥体积表示成的函数，根据二次函数的最值求法求得三棱锥体积的最大值，判断B；当时，易得平面，可判断C正确；当时，求得三棱锥的外接球表面积，判断D.【详解】对A，因为，所以当时，分别为的中点，所以也是的中点.过M作于Q，连接，则，所以.因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即.又因为，所以，故A正确.对B，过M作于Q，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥体积，当时，，故B正确.对C，当时，是的中点，所以也是的中点.因为是的中点，所以.又平面，平面，所以平面，故C正确.对D，当时，，故Q为的中点，又N为的中点，所以，，所以Q到A，B，M，N的距离都为1，即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误.11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（）A.直线的斜率B.若，则C.若，则D.存在使得平分【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1.【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得：.由题：，又由韦达定理知：.A选项，由题可得或，则，故A正确；B选项，由抛物线定义可知：，则，得.故B错误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足，因，则，又，则.故C正确.选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M.则，又所以.注意到：，则.则，即存在满足题意，故D正确；方法2：设关于轴的对称点为，则.注意到：，则三点共线，所以，其余同方法1；方法3：若平分，则由角平分线定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，则，解得或3（舍去），后同方法1.故选：ACD【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______.【答案】##【解析】【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得，再求出，最后根据面积公式可求.【详解】由及正弦定理可得，又，所以，由知，故，所以，即，所以，，所以.13.若函数在上无极值点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得在内单调，而当时，，所以在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可.【详解】由，得，因为在上无极值点，所以在内单调，因为当时，，所以在恒成立，即，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，即的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题，解题的关键是根据题意将问题转化为在恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题.14.像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数.【答案】510【解析】【详解】方法一：由题设在凹数谷底，且左右两侧的数均比零大，先选择0左侧元素，余下元素放在右侧，故共有个数；方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能，去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况，共个数.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知定义在上的函数（1）若，，求出曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.【答案】（1）（2）极小值为，没有极大值【解析】【分析】（1）通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解；（2）通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解.【小问1详解】，时，，所以，，，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】因为为增函数，令，解得，在上符号为负，在上符号为正增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值为,没有极大值.16.平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．（1）求证：；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，，，又，平面，平面，又平面，【小问2详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，故，故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，，则，，，若存在使得平面平面，且，，则，解得，，则，，设为平面的一个法向量，则，令，即，设是平面的一个法向量，则，令，则，，可得．存在使得平面平面，此时17.已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足，证明：数列为等比数列．记，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】【分析】直接利用已知条件和等比数列定义的应用求出结果．利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．【详解】数列的前n项和为，，当时，解得．当时，得，整理得常数，所以数列是以1为首项2为公比的等比数列．由得，解得．公差d不为0等差数列满足，，解得，解得或舍去，所以，则，所以，得，所以，整理得，故．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件.（1）求概率、；（2）设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望；（3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.【答案】（1），（2）期望为，的概率分布为：01（3）.【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率公式和对立事件的概率关系可求、；（2）的可能取值为，根据独立事件和对立事件的概率关系可求取相应值时对应概率，从而可求分布列和期望.（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D，根据独立事件的概率公式可求，再根据条件概率的概率公式可求题设中的条件概率.【小问1详解】记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，.，【小问2详解】经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为.，，.X的概率分布为：01所以的数学期望.【小问3详解】记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，，，所以，所以.所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.19.双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P.（1）求双曲线C的方程；（2）证明：点P在定直线h上；（3）连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据实轴长求出，根据所过的点求出，故可求双曲线的方程；（2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程后化简后可求，