1.4.1空间中直线、平面的平行+第2课时+课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1第2课时空间中直线、平面的平行第一章空间向量与立体几何学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点用空间向量描述空间线面的平行关系设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则

u1∥u2λu2u⊥n

0n1∥n2λn2AI·思考辨析如果直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,此时是否能得到l∥α?提示

不能得到,直线l的方向向量与平面α的法向量垂直时,l∥α或l⊂α.若要证明l∥α,需说明直线l上有一点不在平面α内.体验新知1.已知直线l1的一个方向向量是v1=(3,-2,-1),直线l2的一个方向向量是v2=(-9,6,3),且两条直线不重合,则直线l1与l2的位置关系是(

)A.相交

B.平行C.垂直

D.不能确定B解析

由题可得v2=-3v1,∴v1∥v2.又直线l1与l2不重合,∴l1∥l2.故选B.2.(2026安徽高二期末)已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),若直线l∥平面α,则直线l的一个方向向量u可以是(

)A.(-2,4,-6) B.(0,0,1) C.(0,3,2) D.(1,1,1)C解析

因为已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),且直线l∥平面α,则满足u·n=0.对于A,若u=(-2,4,-6),则u·n=-2×1+4×(-2)+(-6)×3=-28≠0,故A不符合题意;对于B,若u=(0,0,1),则u·n=0×1+0×(-2)+1×3=3≠0,故B不符合题意;对于C,若u=(0,3,2),则u·n=-6+6=0,故C符合题意;对于D,若u=(1,1,1),则u·n=1×1+1×(-2)+1×3=2≠0,故D不符合题意.故选C.3.(人教B版教材习题)设n1,n2分别是空间中两个不重合的平面α,β的法向量,分别根据下列条件判断平面α,β的位置关系.(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).解

(1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).(2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).重难探究·能力素养速提升能力提升点一利用向量方法证明线线平行【例1】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为CC1的中点,M为CD的中点.证明:(1)BF∥D1E;(2)BE不与D1M平行.

能力提升点二利用向量方法证明线面平行【例2】

(人教B版教材例题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B与A1C1的中点,求证:MN∥平面ADD1A1.证明

(方法1)以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),

变式训练2

(2026北京高二期中)如图,在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°,A1B1∥AB,AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转到直角梯形AA1C1C的位置,且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,M为线段BC的中点,P为线段BB1上的动点.是否存在点P,使得直线A1C∥平面AMP?请说明理由.

能力提升点三利用向量方法证明面面平行【例3】

(北师大版教材习题)如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F,G,H,M,N分别是该正方体六个面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN.变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.在棱CC1上是否存在一点Q,使得平面D1BQ∥平面PAO?若存在,指出点Q的位置;若不存在,请说明理由.解

存在.当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:连接D1B,D1Q,BQ.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2,设Q(0,2,c)(0≤c≤2),

本节要点归纳1.知识清单:(1)向量法判断线线平行;(2)向量法判断线面平行;(3)向量法判断面面平行.2.方法归纳:待定系数法、坐标法、转化化归.3.常见误区:(1)不能正确理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略直线不在平面内的条件.学以致用·随堂检测促达标1.(多选题)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(

)A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)1234AD解析

若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.1234

D

3.若平面α∥β,则下面可能是这两个平面的法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)1234D解析

因为平面α∥β,所以两个平面