2.1直线的倾斜角与斜率的关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程01直线的倾斜角与斜率的关系及应用易混易错1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫

做直线l的倾斜角.2.直线的倾斜角α的取值范围为[0,π).3.任何一条直线都存在倾斜角,但不一定存在斜率,当直线的倾斜角为

时,其斜率不存在;当直线的倾斜角不是

时,它的斜率k和倾斜角α满足k=tanα.1.直线l的斜率k与倾斜角α的关系图示

αα=00<α<

α=

<α<πkk=0k>0k不存在k<0k随α的变化规律当α∈

时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大;当α∈

时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大注意:不能说当α∈[0,π)时,倾斜角越大,斜率越大2.已知过点P的直线l与线段AB相交,求l的倾斜角与斜率时,如图1,当l的倾斜角能取到

时,其斜率的取值范围是两个范围的并集,为(-∞,kPB]∪[kPA,+∞),倾斜角的取值范围为[αPA,αPB];如图2,当l的倾斜角能取

到0时,其斜率的取值范围为[kPB,kPA],倾斜角的取值范围是两个范围的并集,为[0,αPA]∪[αPB,π).

勘破疑难直线的斜率与倾斜角的关系的理解难点在于对k=tanα

的图象的理解.已知斜率范围求倾斜角的范围和已知倾斜角范围求斜率的范围时都应结合k=tanα

0≤α<π,α≠

的图象来求解.大概有三类:

记忆口诀

斜率变化分两段,“

”是分界线;遇到斜率应谨记,存在与否要讨论.典例

已知直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-

)为端点的线段相交.(1)求l的倾斜角α的取值范围;(2)求l的斜率k的取值范围.解析

(1)如图,连接PA,PB.依题意得kPA=

=1,kPB=

=-

,所以直线PA的倾斜角为

,直线PB的倾斜角为

.结合图形可知l的倾斜角α的取值范围为

.(2)由(1)知,l的倾斜角α∈

,故l的斜率k的取值范围为(-∞,-

]∪[1,+∞).易错警示本题易误得l的斜率k的取值范围为[-

,1],注意到l的斜率k=tanα在α∈

上和α∈

上都单调递增,但在α∈

∪

上不单调,所以k≥1或k≤-

.02直线斜率的应用斜率的两点式:经过不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率k=

或k=

(x1≠x2).注意:(1)x1≠x2是前提条件,当x1=x2时,此公式不成立,直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与P1,P2两点的位置无关,即在直线上任取不同的两点,所求得的斜率均相同.1.求解三点共线问题:若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线

的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或直线AB与BC

或直线AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上.注意:若在点A,B,C确定的三条直线AB,AC,BC中,任意两条直线的倾斜角都为90°,且这两条直线有公共

点,则A,B,C三点共线.为了避免讨论直线的斜率是否存在,可考虑用向量的方法来解决.2.求解形如

的范围(最值)问题形如

的范围(最值)问题,可以利用

的几何意义,即过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率,借助图形,将问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程.勘破疑难直线斜率的本质是量化直线的倾斜状态,并由此连接几何图形与代数计算.1.斜率是“桥梁”:遇到几何问题时,要想“能否用斜率表示直线的倾斜程度”,遇到代数问题时,要想

“形如斜率表达式的式子的几何意义是什么”;2.特殊情况是“重点”:斜率不存在(垂直于x轴)的直线在应用中是易漏点,需单独分析.典例已知点M(x,y)在一次函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,3]时,求:(1)

的最大值与最小值;(2)

的取值范围.思路点拨设O(0,0),N(-1,-1),则

的几何意义是直线OM的斜率,

的几何意义是直线MN的斜率,结合图形求出斜率的最值或范围即可.解析当x=2时,y=-2×2+8=4;当x=3时,y=-2×3+8=2,记A(2,4),B(3,2),则由题意可知点M(x,y)在线段AB上移

动,设O(0,0),N(-1,-1),如图所示.

(1)

的几何意义是过O(0,0),M(x,y)两点的直线的斜率,且kOA=2,kOB=

,由图可知

的最大值为2,最小值为

.(2)

=

的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.易得kNA=

,kNB=

,由图可知

≤

≤

,∴

的取值范围为

.03直线方程的选择和求解直线方程的几种形式与适用范围名称已知条件方程适用范围点斜式过点P(x0,y0),斜率ky-y0=k(x-x0)不垂直于x轴的直线斜截式斜率k,在y轴上的截距by=kx+b不垂直于x轴的直线两点式过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)

=

(其中x1≠x2,y1≠y2)不垂直于坐标轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b

+

=1(其中ab≠0)不垂直于坐标轴且不过原点的直线一般式

Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)平面内所有的直线*点法式过点P(x0,y0),法向量n=

(A,B)A(x-x0)+B(y-y0)=0平面内所有的直线求直线方程的常用方法——先设后求,待定系数(1)已知某点坐标,求过该点的直线方程:①若能根据其他条件求出斜率,则利用点斜式直接写出直线方程;②若不能求出斜率,则用待定系数法设出点斜式方程(一般设斜率k为待定系数),再由其他条件确定k,注

意考虑斜率不存在的情况.(2)已知直线的斜率,求直线方程:①若能根据其他条件得到直线上一点的坐标(或直线在y轴上的截距),则利用点斜式(或斜截式)直接写

出直线方程;②若不能得到直线上的点的坐标,则用待定系数法设出斜截式方程(一般设在y轴上的截距b为待定系

数),再由其他条件确定b.(3)已知两点坐标(两点的纵坐标不同),求直线方程:①若两点为直线与两坐标轴的交点(非坐标原点),则利用截距式直接写出直线方程;②若至少有一点不是直线与两坐标轴的交点,则利用两点式直接写出直线方程或由两点坐标求出直线

斜率,再由点斜式写出直线方程.勘破疑难在设直线方程的点斜式、斜截式、截距式时,要注意分类讨论思想的应用,其中点斜式和斜截式要考虑

直线斜率不存在的情况,截距式要考虑截距是不是0.若没有特殊要求,最后结果通常要化为一般式,要

求:①x的系数为非负实数;②x,y的系数及常数项中一般不出现分数;③x,y的系数及常数项无公约数;④

一般按含x项、含y项、常数项的顺序书写.典例求满足下列条件的直线方程:(1)过点(5,-2),且与y轴平行;(2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;(3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数;(4)过点(2,-1)且法向量为(2,-1).思路点拨根据直线的特点选择对应方程形式求解.解析

(1)易知与y轴平行的直线的斜率不存在,∵直线过点(5,-2),∴直线上点的横坐标均为5,故直线方程为x=5.(2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为

=

,整理可得x+y-1=0.解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ=

=-1,∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0时,设直线方程为

+

=1,又直线过点(3,4),∴

+

=1,解得a=-1,∴所求直线方程为

+

=1,即x-y+1=0.②当直线在两坐标轴上的截距均为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx,又直线过点(3,4),∴4=k·3,解得k=

,∴所求直线方程为y=

x,即4x-3y=0.综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.(4)由直线方程的点法式可得所求直线方程为2(x-2)-(y+1)=0,即2x-y-5=0.易错警示若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”“满足在一坐标轴上的

截距是在另一坐标轴上的截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定要注意截距

为0的情况.04两条直线平行、垂直的问题1.两条直线平行、垂直的判定已知条件位置关系满足的关系式l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2l1∥l2k1=k2且b1≠b2l1⊥l2k1k2=-1l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为0且A2,B2不同时为0)l1∥l2①

或

②

=

≠

l1⊥l2A1A2+B1B2=0l1,l2的法向量分别为m=(A1,B1),n=(A2,B2)l1∥l2m∥n(A1B2-A2B1=0)l1⊥l2m·n=0(A1A2+B1B2=0)2.直线的平行、垂直在几何图形中的应用(1)作出示意图,确定图中的平行、垂直关系,利用斜率、法向量等条件列关系式求解.(2)充分分析图形特征,有多种情况的,要分类依次求解.(3)注意考虑斜率不存在的情况.勘破疑难1.判断两条直线是否平行或垂直,先分析两直线的斜率,若都存在,则利用表格判断;若都不存在,则两直

线平行或重合;若一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直.2.已知三点构成的两条直线垂直时,通常考虑利用向量求解,如果利用斜率求解,需要考虑斜率不存在的

情况.3.处理直线的平行问题时,很容易忽略斜率不存在的情况,通常利用直线方程的一般式中对应系数的比

来处理.典例

(1)已知▱ABCD的三个顶点分别为A

,B

,C

,求点D的坐标;(2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求m和n

的值.思路点拨

(1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程组求解;思路二:设出点D的坐标,根据

=

,利用坐标相等列方程组求解.(2)分析直角顶点的位置,利用两底边平行、直角腰与底边垂直求解.解析

(1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且直线AB,CD,AD,BC的斜率均存

在,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴

=

,

=

,化简,得n-3m=-13,m+n=16,解得m=

,n=

,∴点D的坐标为

.解法二:设点D的坐标为(m,n).由题意知,

=

.易得

=

,

=

,∴

解得

∴点D的坐标为

.(2)当AB∥CD,AB⊥AD时,由图a可知,A(2,-1),∴m=2,n=-1;

当AD∥BC,AD⊥AB时,由图b可知,

即

解得m=

,n=-

.综上,m=2,n=-1或m=

,n=-

.易错警示

(1)条件“▱ABCD的三个顶点分别为A,B,C”与“平行四边形的三个顶点分别为A,B,C”不

同,前一个条件只有一种情况:AB∥CD,AD∥BC,但是后面的条件有三种情况:AC是对角线或AB是对角

线或AD是对角线.(2)由几何图形的特征求顶点坐标时,注意判断图形是否唯一,防止遗漏.05直线系方程直线系表示满足某一条件的一类直线,如过定点、与已知直线平行(垂直)、过两直线的交点等,求直线

系方程的核心点是“跳过求具体直线方程的步骤,直接利用共性列方程”,一般思路如下:根据题目给

出的“共性”确定直线系类型→设出含参数的直线方程→代入“个性条件”求参数→确定直线方程.

常见的直线系类型及方程形式如下:直线系类型方程形式过定点P(x0,y0)的直线系点斜式:y-y0=k(x-x0)(k为参数);一般式:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A,B为参数)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系Bx-Ay+m=0(m∈R)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的

直线系(其中A1,B1不同时为0且A2,B2不同时为0)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0过定点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为

0)平行的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0过定点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为

0)垂直的直线系B(x-x0)-A(y-y0)=0勘破疑难求直线系方程时的易错点:(1)遗漏直线:过两直线交点的直线系方程不能表示直线l2,若题目条件可能适合l2,需单独代入l2的方程进

行检验;(2)参数范围错误:设平行直线系方程时需排除m=C,否则可能出现“求平行直线却得到原直线”的错

误;(3)条件对应错误:平行于x轴的直线系方程满足“x的系数为0”,垂直于x轴的直线系方程满足“y的系

数为0”,注意区分.典例

已知直线l1:2x-y+4=0与直线l2:x-y+5=0的交点为M.(1)求点M的坐标;(2)求经过点M且与直线x-2y-1=0平行的直线l3的方程;(3)求经过点M且与直线x+3y+1=0垂直的直线l4的方程.解析

(1)由

解得

所以点M的坐标为(1,6).(2)由(1)知M(1,6).解法一:易知直线x-2y-1=0的斜率为

,因为l3与直线x-2y-1=0平行,所以l3的斜率为

,所以直线l3的方程为y-6=

(x-1),即x-2y+11=0.解法二:由题意可设l3的方程为x-2y+t=0(t≠-1),把(1,6)代入,得1-2×6+t=0,解得t=11,所以直线l3的方程为x-2y+11=0.解法三:由题意得l3的法向量为(1,-2),则其方程为x-1-2(y-6)=0,即x-2y+11=0.(3)由(1)知M(1,6).解法一:易知直线x+3y+1=0的斜率为-

,因为l4与此直线垂直,所以l4的斜率为3,所以直线l4的方程为y-6=3(x-1),即3x-y+3=0.解法二:由题意可设l4的方程为3x-y+s=0,把(1,6)代入,得3×1-6+s=0,解得s=3,所以直线l4的方程为3x-y+3=0.解法三:由题意可得l4的法向量为(3,-1),则其方程为3(x-1)-(y-6)=0,即3x-y+3=0.方法技巧求过定点、与已知直线平行(垂直)、过两直线交点等的直线方程时,可以用常规思路,先求

出直线的斜率,再根据点斜式求解,也可以直接设出对应的直线系方程求参,这种方法适用于小题.06与点、直线有关的对称问题1.点关于点对称:若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得

即N(2a-x1,2b-y1).2.点关于线对称:(1)设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则根据M,N连线垂直于直线l,以

及线段MN的中点在直线l上,可列方程组

求得点N的坐标.拓展结论:设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则

其中K=

.(2)几个常用结论①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).②点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).③点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).④点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b),关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m).3.线关于点对称:求直线l1关于点P(a,b)对称的直线l的方程的方法有以下三种:(1)方法一:在已知直线l1上任取一点M(x1,y1),先求它关于点P(a,b)的对称点N(x,y)的坐标,由上面讲解知

再将(x1,y1)代入直线l1的方程即可得到直线l的方程.(2)方法二:利用“关于某点对称的两直线平行且已知点到两直线的距离相等”来求解.(3)方法三:在已知直线l1上任取两点M,N,分别求其关于点P(a,b)的对称点M',N',再由两点式确定直线l的

方程.拓展结论:直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.4.线关于线对称:(1)求直线l1关于直线l对称的直线l2时,若l1与l无交点,则可以利用“l1,l2两直线平行且它们与直线l的距离

相等”来求解;若l1与l有交点,则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称点,那么该对

称点以及l1与l的交点都在直线l2上,由此可确定l2的方程,即将线关于线对称转化为点关于线对称.(2)几个常用结论①关于直线y=x+b或y=-x+b对称的两条直线的斜率互为倒数;②关于x轴、y轴对称的两条直线的斜率互为相反数.拓展结论:直线l:ax+by+c=0关于直线l1:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程满足

=2×

,化简整理可得l2的方程.勘破疑难1.点M关于点P的对称点为N,则P是线段MN的中点.

2.点M关于直线l的对称点为N,则①MN⊥l;②线段MN的中点A在l上.

3.直线l1关于点P的对称直线为l,则①l1∥l(斜率相等或斜率均不存在);②点P到两直线的距离相等.

或

4.直线l1关于l对称的直线为l2,分两类:①若l1∥l,则l到l1,l2的距离相等(如图1);②若l1∩l=A,则A∈l2(如图2).

特别提醒

对称问题分为四类:点关于点,点关于直线,直线关于点,直线关于直线.任何类型都可以转化为点关于点

的对称.对称问题有两个核心条件:1.中点条件:若关于点对称,则该点是对称的两点所连线段的中点;若关于直线对称,则对称的两点所连

线段的中点在该直线上;2.垂直条件:若关于直线对称,则对称的两点连线与该直线垂直(斜率乘积为-1,或一个斜率为0、另一个

斜率不存在).解题时要先明确“对称类型”,再套用对应的“中点+垂直”条件列方程(组)求解,避免盲目计算.典例已知直线l:x+2y-2=0,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程;(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解析

(1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),则线段PP'的中点在直线l上,且PP'⊥l,所以

解得

故P'点的坐标为

.(2)易知直线l与l1相交,设交点为N,由

解得

所以N(2,0),不妨在l1上取点B(0,-2),设点B关于直线l的对称点为B'(x1,y1),则

解得

所以B'

,

,所以直线l2的斜率为kNB'=

=7,所以直线l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.(3)解法一:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2)一

定在直线l上,则

得

将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.解法二:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l':x+2y+m=0(m≠-2),所以点A(1,1)到直线l与l'的距离相等,即

=

,解得m=-2(舍去)或m=-4,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.解后反思本题在求得结果后,可以利用拓展结论进行检验:(1)K=

=

=-

,∴

故所求对称点的坐标为

.(2)l2的方程满足

=2×

=-

,即为7x-y-14=0.(3)由直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0,得所

求直线方程为2-x+2(2-y)-2=0,即x+2y-4=0.07与对称有关的最值问题——“将军饮马”1.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小(异侧和最小)(1)当两定点A,B在直线l的异侧时,由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于第三边”

可知,当P为直线AB与l的交点时,点P到两定点A,B的距离之和最小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取

一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点P到两定点

A,B的距离之和最小,最小值为|A'B|.如图②,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|=|P'A'|+|P'B|≥|A'B|=|PA|+|

PB|.

2.在直线l上求一点P,使点P到两定点的距离之差的绝对值最大(同侧差最大)(1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B连线不与l平行),直线AB交直线l于点P,此时点P到两定点的距离之

差的绝对值最大,最大值为|AB|.如图③,在直线l上任取一点P',由“三角形中任意两边之差小于第三

边”可知,||P'B|-|P'A||≤|AB|=||PB|-|PA||.(2)当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'并延长,交直线l于点P,此时点P到

两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为|A'B|.如图④,在直线l上任取一点P',则有||P'B|-|P'A||=||P'B|-|P'

A'||≤|A'B|=||PB|-|PA||.勘破疑难将军饮马问题的核心是利用“轴对称”将折线路径转化为直线路径(基于“两点之间线段最短”及

“三角形中两边之和大于第三边”),基本思路是“作对称点→化折线为直线→确定关键点”.解决线

段长度和的最小值问题,通常利用对称将直线同侧两点转化为异侧两点;解决线段长度差的绝对值的最

大值问题,通常利用对称将直线异侧两点转化为同侧两点.特别提醒

光线反射问题也是与对称有关的最值问题的一种典型,主要研究的是一条光线从某点射出,经某直线反

射后经过另一点,求光线经过的最短路径.解题思路与“将军饮马”问题类似,都是通过作对称化曲为

直.典例

已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.(1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为_______;(2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为_______.(-2,3)(12,10)思路点拨易知A,B两点在直线l的同侧.(1)利用对称将同侧两点转化为异侧两点,再利用两点之间线段最短求解.(2)根据三角形任意两边之差小于第三边求解.解析

(1)易知A,B两点在直线l的同侧.设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则

解得

故A'(-2,8).因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|(两点之间线段最短),当且仅当B,P,A'三点共线时,|

PA|+|PB|取得最小值,此时点P为直线A'B与直线l的交点.又直线A'B的方程为x=-2,所以由

得

故点P的坐标为(-2,3).(2)易知A,B两点在直线l的同侧,因为P是直线l上一点,所以||PB|-|PA||≤|AB|(三角形两边之差小于第三边),当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,此

时点P为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,所以由

得

故点P的坐标为(12,10).方法技巧求直线上一点与两定点所连线段的长的和(差)的最值时,先判断直线与两个定点的位置关

系,然后根据口诀“异侧和最小,同侧差最大”,结合对称知识求解.08与距离有关的最值问题1.两点间的距离公式:点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离|AB|=

.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)之间的距离|OP|=

.2.点到直线的距离公式:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=

.3.两条平行直线间的距离公式:两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=

.1.定点P与定直线l上的动点Q之间的最小距离:当PQ⊥l时,点P与动点Q之间的距离取得最小值,如图1,

显然|PQ|<|PQ1|.2.定点P到过定点Q的动直线l的最大距离:连接PQ,当PQ⊥l时,点P到动直线l的距离最大,如图2,若直线l

绕点Q旋转至l1,显然|PQ|>|PQ1|.3.两条分别过定点P,Q的平行直线l1,l2间的最大距离:当两条平行直线l1,l2与直线PQ垂直时,两条平行直

线l1,l2间的距离最大,如图3,若两条平行直线分别绕P,Q旋转至l'1,l'2,显然|PQ|>|P1Q1|.

4.代数式转化为距离的模型类别结构特征对应距离模型转化步骤含根号的二次式根号内为二次多项式,可

配方为

的形式两点间的距离:动点P(x,

y)与定点Q(x0,y0)间的距

离①对根号内的多项式配

方,补全常数项;②确定

动点和定点;③写出两点

间距离的模型无根号的二次式多项式可配方为(x-x0)2+

(y-y0)2的形式两点间距离的平方:动点

P(x,y)与定点Q(x0,y0)间

的距离的平方①对多项式分组配方;②写出两点间距离的平方的模型含绝对值的线性式表达式含|Ax+By+C|点到直线的距离:动点P

(x,y)到直线Ax+By+C=0

的距离的

倍①识别绝对值中的A,B,

C,确定直线方程;②对表

达式进行补全分母

的操作;③结合约束条件确定点到直线

的距离模型勘破疑难将代数式转化为距离模型的本质是将代数角度的“最值计算”转化为几何角度的“距离最短(最

长)”问题,然后通过距离公式建立“目标表达式”与“几何距离”的对应关系,最后利用几何性质求

解,求解关键如下:1.先明确“距离类型”:是两点间的距离(或距离的平方)还是点到直线的距离;2.再锁定“动点与定点(定直线)”:最值问题中必然存在“固定元素”(定点、定直线)和“运动元素”

(动点、动直线),核心是分析运动元素的约束条件;3.最后用“几何性质定方向”:两点间距离(或距离的平方)的最值用“两点之间线段最短”确定,点到

直线的距离最值用“垂线段最短或平行线间的距离固定”来确定,避免盲目代数求值.典例1已知点A(2,-1),原点为O.(1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程;(2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离;(3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解析

(1)解法一:当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得

=2,解得k=

,此时直线方程为3x-4y-10=0.综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0.解法二:设直线方程为C(x-2)+B(y+1)=0(避免讨论斜率不存在的情况),即Cx+By-2C+B=0.由已知得

=2,即3B2+4CB=0,解得B=0或B=-

C.当B=0时,直线方程为x=2;当B=-

C时,直线方程为C(x-2)-

C(y+1)=0,即3x-4y-10=0.综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0.(2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线.易知kOA=-

,所以所求直线的斜率为2,所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.最大距离为点O到直线2x-y-5=0的距离,即

=

.(3)不存在,理由如下:由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为

,因为

<3,所以不存在过点A且与原点的距离为3的直线.易错警示解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后选择合适的公式求参数.

设斜率时,要注意考虑斜率不存在的特殊情况是否适合题意,防止遗漏.典例2

∀x,y∈R,函数f(x,y)=

+

|3x+4y-5|的最小值为()A.2

B.

C.

D.

C

思路点拨

可看作点(x,y)(记为A)与(1,4)(记为B)间的距离,|3x+4y-5|可看作点A(x,y)到直线3x+4y-5=0(记为l)的距离d的5倍,所以f(x,y)的最小值即|AB|+d的最小值,通过作BM⊥l得到结果.解析设点A(x,y),B(1,4),直线l:3x+4y-5=0,点A到l的距离为d,易知f(x,y)=|AB|+d,作BM⊥l于M,则|AB|+d≥|MB|=

=

,当且仅当点A在线段MB上时取等号.故f(x,y)的最小值为

.

易错警示结合代数式的几何意义来求得结果,需要注意代数式表示的是距离还是距离的平方,避免出

现计算错误.09求圆的方程1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为r.2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),其圆心为

,半径为

.拓展说明:若方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则满足B=0,A=C≠0,且

+

-

>0.3.几类特殊位置的圆的方程的设法条件标准方程的设法一般方程的设法圆心为原点x2+y2=r2x2+y2-r2=0圆过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+

D2=0圆与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+

E2=0特别提醒

当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点

.拓展延伸

1.圆的直径式方程若A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圆的参数方程(1)圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程为

(θ为参数,θ∈[0,2π));(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为

(θ为参数,θ∈[0,2π)).1.求圆的方程的方法(1)标准方程:只需确定圆心C(a,b)和半径r,其求解方法有①待定系数法,由三个独立的条件建立关于a,b,

r的方程组,求出a,b,r后即得圆的标准方程;②几何法,确定圆心及半径,通常用中点坐标公式和两点间距

离公式,有时还用到与圆有关的平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必

为圆心”等.(2)一般方程:只需确定x2+y2+Dx+Ey+F=0中D,E,F的值,可以利用待定系数法列出方程组求解.2.求与圆有关的轨迹方程的常用方法(1)直接法①设动点坐标:设轨迹上任意一动点为P(x,y),明确研究对象.②翻译条件:将题目中的几何条件(如“过定点”“与直线垂直”“距离为定值”等)进行翻译,转化为

代数表达式.③列方程:根据翻译后的代数表达式列出关于x,y的等式(原始方程).④化简:通过移项、平方、配方等,将原始方程化为标准方程或一般方程.⑤验证筛选:验证方程是否满足表示圆的条件(如一般方程需满足D2+E2-4F>0),然后根据约束条件,如斜

率必定存在、可围成三角形等剔除不符合几何条件的点.(2)定义法①定位条件:找出题目中的定点(如定圆圆心、已知定点)、定长(如定圆半径、固定距离)或几何关系(相切、垂直等).②转化定义:判断动点满足的几何条件是否符合圆的定义.③列等式:根据定义或几何性质,列出关于动点与定点间的距离的等式(或距离与半径的关系等式).④化简验证:将等式通过平方、配方等化为标准方程,并根据原始条件限定x,y的范围.(3)相关点法一般情况下,当所求点的运动依赖于另一个或多个点的运动时,可以通过寻找所求动点坐标与相关动点

坐标之间的关系求解,一般步骤如下:①设出双点坐标:设所求动点为P(x,y),与之相关的动点为Q(x0,y0).②找关系:根据题目条件,列出P与Q的坐标满足的关系式,用P的坐标表示Q的坐标,即用x,y表示x0,y0.③代入化简:将x0,y0代入Q的轨迹方程,化简得到关于x,y的方程.④检验:根据原始条件限定x,y的范围(如根据相关点Q的轨迹的范围限定所求点P的轨迹的范围).技巧点拨

求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标、半径列方程(组),那么

一般选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般选用圆的一般方程.勘破疑难三种方法的比较方法核心思想适用场景

直接将几何条件翻译成关于坐

标的等式已知条件简单、直接,如已知圆

心和半径

结合定义,利用圆的几何性质求

出圆心和半径已知条件涉及几何元素较多,如

已知弦、切线、直径等

找到动点与已知曲线上的点的

坐标间的关系,用未知表示已知,

然后代入已知曲线的方程要求的动点依赖于已知曲线上

的一点典例1已知点A(1,-2),B(-1,4).(1)求过点A,B且周长最小的圆的方程;(2)求过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程;(3)若C(-7,2),求△ABC外接圆的方程.思路点拨

(1)将周长最小转化为半径最小来分析.(2)利用“弦的中垂线必过圆心”找圆心.(3)设出一

般方程,利用待定系数法求解.解析

(1)连接AB,则当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小.易得线段AB的中点坐标为(0,1),即圆心坐标为(0,1),又圆的半径为

|AB|=

,∴所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.(2)连接AB.易得直线AB的斜率k=-3,线段AB的中点坐标为(0,1),∴线段AB的垂直平分线的方程是y-1=

x,即x-3y+3=0.又圆心在直线2x-y-4=0上,∴直线2x-y-4=0与直线x-3y+3=0的交点即为圆心,联立

解得

∴圆心坐标为(3,2),半径为

=2

,∴所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(3)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A(1,-2),B(-1,4),C(-7,2)在△ABC的外接圆上,所以

解得

所以△ABC外接圆的方程为x2+y2+6x-11=0.名师点睛利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆

的标准方程.常用的几何性质如下:(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线;(2)圆心到切线的距离等于圆

的半径;(3)圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;(4)圆的弦的垂直平分线过圆心.典例2已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.思路点拨

(1)利用直接法求轨迹方程,先设出动点C的坐标,然后根据已知条件找动点满足的几何条件:

直角三角形ABC中,C为直角顶点,则AC⊥BC,即kAC·kBC=-1或|AC|2+|BC|2=|AB|2或AB的中点(记为D)满足|

CD|=

|AB|,再列方程求解,解完后要注意检验,去掉不适合题意的点.(2)由(1)得动点C的轨迹方程,所以BC的中点M的轨迹方程可应用相关点法求解.解析

(1)解法一:设顶点C的坐标为(x,y),由题意知AC⊥BC,AC,BC所在直线的斜率存在且不为0,所以kAC·kBC=-1,x≠3且x≠-1.又kAC=

,kBC=

,所以

·

=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).解法二:设顶点C的坐标为(x,y).由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).解法三:设线段AB的中点为D,则D(1,0).由直角三角形的性质知,|CD|=

|AB|=2.由圆的定义知,动点C在以D(1,0)为圆心,2为半径的圆上,因为A,B,C三点不共线,所以应除去此圆与x轴的交点.所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).(2)设点M(a,b),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是边BC的中点,所以a=

,b=

,于是有x0=2a-3,y0=2b.由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1),所以

+

-2x0-3=0(x0≠3且x0≠-1),即(x0-1)2+

=4(x0≠3且x0≠-1),可得(2a-4)2+(2b)2=4(a≠3且a≠1),即(a-2)2+b2=1(a≠3且a≠1).因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).解后反思解题时注意轨迹的完备性(“多”或“少”).(1)勿忽略限制条件:如“构成三角形”隐含三点不共线,“斜率存在且不为0”时应排除垂直于坐标轴

的直线.(2)勿忽略特殊点:如分母不为零、开方非负等限制可能使某些点不满足.(3)方程变形时要注意等价转换:平方、去分母等操作可能使方程产生增根.10直线与圆的位置关系的判断及应用1.直线与圆的位置关系的判断方法位置关系相离相切相交公共点个数012图形

几何法(圆心到直线的距离d与半

径r比较大小)d>rd=rd<r代数法(直线方

程与圆的方程

联立)方程组解的情况无解有一组解有两组解判别式ΔΔ<0Δ=0Δ>0直线系法若直线恒过定点,则可通过点与圆的位置关系及其

他条件来判断直线与圆的位置关系2.圆上到直线的距离为定值的点的个数问题已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C到直线l的距离为d,圆C上的动点P到直线l的距离为d1,则有以下结论:分类条件点P的个数d=0,即直线l过圆心Cd1>r0d1=0(或d1=r)20<d1<r40<d<r,即直线l与圆C相交且不过圆心d1>d+r0d1=d+r1r-d<d1<r+d2d1=r-d30<d1<r-d4d≥r,即直线l与圆C相切或相离d1<d-r(或d1>d+r)0d1=d-r(或d1=d+r)1d-r<d1<d+r2关键点拨

直线与圆位置关系的判断方法的比较1.几何法:优先选用,计算量小.适用场景:圆的标准方程、直线方程均明确已知,无需求交点.2.代数法:通用,计算量大.适用场景:需要求直线与圆的交点坐标,或直线、圆的方程复杂,不便用几何法

求解.3.直线系法:也叫定点法,若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交;若定点在圆上或在圆外,则需

利用代数法或者几何法进行讨论.适用场景:直线方程以含参形式给出.勘破疑难圆上到某条直线的距离为定值的点的个数可能为0,1,2,3,4,由圆心到直线的距离d与圆的半径r及定值d1

共同决定:1.若r<|d-d1|,则圆上有0个点到直线的距离为d1;2.若r=|d-d1|,则圆上有1个点到直线的距离为d1;3.若|d-d1|<r<d+d1或

或

则圆上有2个点到直线的距离为d1;4.若r=d+d1,则圆上有3个点到直线的距离为d1;5.若r>d+d1,则圆上有4个点到直线的距离为d1.典例

(1)直线l:mx-y+2-m=0与圆C:x2+(y-2)2=5的位置关系是

()A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定(2)已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=36和不过第三象限的直线l:4x+3y-a=0,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,

则实数a=

()A.-9

B.1

C.21

D.31

D

A

思路点拨

(1)直线方程含参,因此【核心精讲】中的三种判断方法均可使用;(2)已知圆的半径r和圆上

点到直线l的距离及符合该距离的点的个数,根据结论进行转化来得出圆心到直线的距离,进而利用点

到直线的距离公式求a.解析

(1)解法一(直线系法):将方程mx-y+2-m=0化为y-2=m(x-1),则直线l过定点(1,2),因为12+(2-2)2=1<5,

所以点(1,2)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部,所以直线l与圆C相交.解法二(代数法):由

消去y并整理,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=(-2m2)2-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,所以直线l与圆C相交.解法三(几何法):由题意知,圆心C(0,2)到直线l:mx-y+2-m=0的距离d=

<1<

,所以直线l与圆C相交.(2)圆C:(x-2)2+(y-1)2=36的圆心为(2,1),半径r=6.若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则圆心到直线的距离为r-2=4=

,解得a=-9或a=31,因为直线l:4x+3y-a=0不经过第三象限,且其斜率为-

<0,所以直线与y轴的交点

>0,故a=31.技巧点拨针对圆上到直线的距离为定值的点的个数问题,可通过画出直线和圆的相对位置进行分析,

做题时应灵活选择合适的思路,不必死记硬背结论.11与圆有关的切线问题1.圆的切线方程的求法:过定点P(x0,y0)作已知圆的切线,当点P在圆内时,无切线;当点P在圆上时,有且只

有一条切线;当点P在圆外时,有两条切线.(1)当点P在圆上时,圆心与点P的连线和切线垂直,若点P与圆心连线的斜率k存在且不为0,则切线斜率

为-

,由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=-

(x-x0);若点P与圆心连线的斜率为0,则切线斜率不存在,切线的方程为x=x0;若点P与圆心连线的斜率不存在,则切线斜率为0,切线方程为y=y0.圆上一点P(x0,y0)处的切线方程的常用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程

为x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y+D·

+E·

+F=0.(2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,由直线的点斜式方程写出切线方程,然后利用圆心到切线的距离等

于半径解出k即可.注意:①若只求出一个k值,则一定还有一条斜率不存在的切线.②求切线方程时也可应用(1)中的常用结论②,设切点为P1(x1,y1),则可得

解方程组得到切点P1的坐标,从而可根据结论写出切线方程.切点弦的常用结论:过圆外一点可以作圆的两条切线,连接两个切点的线段称为切点弦.①若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的

方程为x0x+y0y=r2;②若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在

直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切

点弦AB所在直线的方程为x0x+y0y+D·

+E·

+F=0.2.切线长的求法:设点M(x0,y0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点M作圆C的一条切线,切点为P,则切

线长|MP|=

=

.勘破疑难与圆有关的切线问题,本质是围绕切线的两个核心性质展开的:(1)距离性质:圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r)——这是代数计算的核心依据;(2)垂直性质:切线与切点和圆心的连线垂直——这是几何分析的关键.关键点拨

1.先明确“切线场景”:是过圆上一点的切线,还是过圆外一点的切线,或是已知切线斜率求切线方程,

不同场景解法不同;2.再选择“解题方法”:几何法(利用垂直性质求斜率)或代数法(利用距离公式列方程),优先用几何法简

化计算;3.最后“验证完整性”:过圆外一点求切线方程时,需兼顾斜率存在与不存在两种情况,避免漏解.拓展结论

若点M(x0,y0)为圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点,过点M作圆C的一条切线,切点为P,则|PM|=

.

典例1

(1)过点(4,0)的直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,则直线l的方程为______________________;(2)已知圆O:x2+y2=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为______.

3x+4y-12=0或x=4

思路点拨

(1)先判断点在圆上还是在圆外,确定切线的条数,然后设出切线方程,根据圆心到切线的距

离等于半径求解即可.(2)由切线长的相关结论知|PA|=

,则问题转化为求|PO|的最小值,即求原点与直线上的点间距离的最小值.解析

(1)圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4,得圆心为(2,4),半径为2.因为(4-2)2+(0-4)2>4,所以点(4,0)在圆外.解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l:x=4,此时直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,则圆心(2,4)到直线l的距离d=

=

=2,解得k=-

,所以直线l的方程为3x+4y-12=0.综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4.解法二(直线系法):设直线l的方程为A(x-4)+By=0,整理成一般式得Ax+By-4A=0,则圆心(2,4)到直线l的距离d=

=2,即3B2-4AB=0,解得B=0或B=

A,当B=0时,直线l:x=4;当B=

A时,直线l:3x+4y-12=0.综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4.(2)连接PO,AO(图略),则|PA|2=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1,当|PO|最小时,|PA|最小,易知|PO|的最小值为点O到直线3x+4y-10=0的距离,即|PO|min=

=2,故|PA|的最小值为

=

.知识拓展对于本题(2),还有如下结论:若点P为与圆O相离的一条直线上的动点,则当|PO|最小时,S△OAP

最小,∠AOP最小,∠APO最大;若点P为圆O内一点(点P与点O不重合),l为过点P的动直线,则当OP⊥l时,

弦心距最大,弦长最小,弦所对的圆心角最小.典例2

如图,已知圆M:(x-2)2+y2=1,点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点,过动点P作圆M的两条切线,切点分别

为A,B,则直线AB的方程为_________________,直线AB所经过的定点的坐标为_________.

3x-ty-5=0

思路点拨思路一:直接利用公式,即过圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的两条切线PA,PB,则切

点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;思路二:易知A,B,M,P四点共圆,求出该圆的方程,则弦AB为两圆的公共弦,两圆方程作差可得方程;思路三:弦AB为圆M与以P为圆心,PA为半径的圆的公共弦,求出此圆方程后与圆M的方程作差即可得结

果.解析

解法一(考场秒杀):直线AB的方程为(x-2)(-1-2)+ty=1,即3x-ty-5=0,令y=0,得x=

,所以直线AB过定点

.解法二:如图,连接AM,PM,BM,

因为直线PA,PB都是圆M的切线,所以PA⊥AM,PB⊥BM,所以A,B,M,P四点共圆,且PM为该圆的直径,所以切点弦AB实际上是以PM为直径的圆与圆M的公共弦,易知以PM为直径的圆的圆心为

,半径为

=

,故该圆的方程为

+

=

,两圆方程相减,得直线AB的方程为3x-ty-5=0,令y=0,得x=

,所以直线AB过定点

.解法三:弦AB是以P为圆心,PA为半径的圆与圆M的公共弦.由M(2,0),P(-1,t),可得|PM|=

=

,在Rt△PAM中,|PA|=

=

=

,所以以P为圆心,PA为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8,两圆方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1,即3x-ty-5=0,令y=0,得x=

,所以直线AB过定点

.解后反思本题可以从圆的切点弦方程,四点共圆以及两圆公共弦所在的直线方程的角度求解,这是解

决此类问题的常用解题思路,平时应注意积累.12直线与圆相交的弦长及中点弦问题1.直线与圆相交的弦长的求法几何法设直线被圆截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则|AB|=2

.在解决圆的弦长问题时,多用几何法代数法若直线与圆的交点坐标易求出,则直接用两点间的距离公式求弦长公式法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,将直线与圆的方程联立,消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程,然后利用根与系数的关系得弦长|AB|=

|xA-xB|=

|yA-yB|(其中k≠0).特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|2.解决与中点弦有关问题的方法(1)联立直线与圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系求出中点坐标;(2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率,此法即为

点差法;(3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦所在直线垂直解决问题.勘破疑难利用几何法求弦长的根本依据是垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,连接圆心与弦的中点,则所连

直线垂直于弦所在的直线,这样就出现了直角.实际上,弦心距d,弦长的一半

l,圆的半径r是此直角三角形的三边长,它们满足勾股定理:

+d2=r2.典例

(1)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦的长为4

,求l的方程;(2)已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的