第一章总结提升课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·能力提升点目录索引体验高考·素养培优知识网络·整合构建专题突破·能力提升点专题一空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,概念方面如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等;运算方面如向量加法的三角形法则和平行四边形法则,减法的几何意义,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等,而向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.2.向量运算的训练,提升了数学运算素养.

专题二利用空间向量证明位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养逻辑思维能力和数学运算能力.【例2】

在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定点N的位置;若不存在,说明理由.(1)证明

以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),又BM不属于平面PAD,∴BM∥平面PAD.

(1)证明

∵DE⊥AB,∴BE⊥DE.又BE⊥A1D,DE∩A1D=D,DE⊂平面A1DE,A1D⊂平面A1DE,∴BE⊥平面A1DE.∵A1E⊂平面A1DE,∴A1E⊥BE.又A1E⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE.

专题三利用空间向量计算距离

【例3】

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段AB,B1C1的中点.(1)求点F到直线A1C的距离;(2)求点F到平面A1CE的距离.

变式训练3

(2026上海高三开学考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为4,D是AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1DC;(2)求直线BC1与平面A1DC的距离.(1)证明

连接AC1与A1C交于点E,易得E为A1C,AC1的中点,连接DE.在△C1AB中,D,E分别为AB,AC1的中点,∴DE∥BC1.又DE⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1DC,∴BC1∥平面A1DC.

专题四利用空间向量求空间角空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角θ满足cosθ=|cos<m1,m2>|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ=|cos<m,n>|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β的夹角θ满足cosθ=|cos<n1,n2>|.(1)设PB的中点为N,求证:ON∥平面PAM.(2)是否存在点M,使得二面角A-PM-B为直角?若存在,求M的位置;若不存在,请说明理由.

体验高考·素养培优

BD

常考点2

用空间向量研究距离、夹角2.(2026全国1,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC,D,E分别为AB,AC1的中点.(1)证明:DE∥平面BCC1B1;(2)设CC1=2,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°,求直线DE到平面BCC1B1的距离.(1)证明

由题意证明如下:如图,作出符合题意的图形,连接BC1,∵在△ABC1中,D,E分别为AB,AC1的中点,∴DE∥BC1.∵DE⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴DE∥平面BCC1B1.

∴A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,1,0),E(1,0,1).∵DE∥平面BCC1B1,∴由几何知识得,DE到平面BCC1B1的距离为xD=1.(方法2)由题意及(1)得,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC,∵四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是矩形,∴AC⊥BC,AC⊥CC1,BC⊥CC1.∵AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1A1,CC1⊂平面ACC1A1,BC⊄平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1,∠BCC1=90°,∴由几何知识得,∠BC1C即为直线BC1与平面ACC1A1所成的角,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°,在△ABC1中,D,E分别为AB,AC1的中点,DE∥BC1,∴直线BC1与平面ACC1A1所成的角为45°,即∠BC1C=45°,在Rt△BCC1中,∠BC1C=45°,∠BCC1=90°,CC1=2,∴AC=BC=CC1=2,

3.(2025全国2)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.(1)证明

由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.

(方法2)取FC中点G,连接D'G,则D'G⊥FC.过点G作GH∥EF