2025-2026学年河北省NT20名校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省NT20名校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=2+1i，则z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.已知a=(2,−1)，b=(1,m)，若a⊥b，则A.−2 B.2 C.−12 3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若m⊥α，n⊥α，则m//n

C.若m//α，m//β，则α//β D.若β⊥α，m⊥β，则m//α4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，A=60°，则此三角形的解的情况是(

)A.无解 B.一解 C.两解 D.无法确定5.某校为了解高一学生的月阅读时间(单位：小时)，得到如下数据：已知阅读时间在[0,5)内的频率为0.1，在[5,10)内的频率为0.2，在[10,15)内的频率为0.4，在[15,20)内的频率为0.2，在[20,25]内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为(

)A.200 B.300 C.400 D.5006.一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是(

)A.14 B.12 C.347.在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=π3，若点P满足|PA|=1，则PBA.3−22 B.2−33 C.8.在边长为1的正方形ABCD中，点E为边CD的中点，点F为线段BE上的动点，点G为AF的中点，则线段DG长的最小值为(

)A.34 B.12 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=2+i，z2=1−2i，zA.z2为纯虚数

B.z3z−3=1

C.|z310.某同学进行了5次掷骰子(点数1～6)试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法：

①若平均数为3，则方差可能为2.4；

②若中位数为2，则众数可能为3；

③若平均数为4，则极差可能为2；

④若中位数为3，则方差可能为2.8．

其中正确的说法是(

)A.① B.② C.③ D.④11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在边CD上，且DE=94，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，使得平面AD′E⊥平面ABCE.设点D′在平面ABCE内的投影为H，连接D′B，D′C，则下列结论正确的是(

)A.点H在直线AE上

B.直线D′B与直线CE所成角的余弦值大于45

C.线段D′C的长度为17

D.三棱锥D′−ABC的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果(正面记作1，反面记作0)，每次抛掷三枚硬币得到一组三位数(如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面)，连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为

.(用最简分数表示)13.已知复数z满足|z−1|=|z−i|，且|z|=|z−2|，则复数z在复平面内对应的点的坐标为

．14.在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，点P在△ABC内部(含边界)一点，且满足PA⋅PB≤0，则CP⋅CB的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知两个不共线的向量e1，e2，设a=e1+2e2，b=2e1−e2，c=3e1+4e2．

(1)若c=xa+yb，求实数x，16.(本小题15分)

某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间(单位：小时)，学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”.统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标．

(1)求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差；

(2)用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生(假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致)，若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率．17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是以O为中心的矩形，AB=2，AD=1，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，点E为棱PD的中点，点F为棱CD的中点．

(1)求证：平面PBC//平面OEF；

(2)点M是线段PC上的动点(不与端点重合)，若二面角M−BD−A的大小为θ，若tanθ=5，求18.(本小题17分)

一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回.设第一次摸出的数字为x，第二次摸出的数字为y.定义事件：x是奇数为事件A，y是质数(注：1不是质数，2和3是质数)为事件B，x+y是偶数为事件C．

(1)求P(A)，P(B)，P(C)；

(2)判断事件A与B是否相互独立，并说明理由；

(3)求事件“A与B至少有一个发生，且C发生”的概率．19.(本小题17分)

在凸四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，BC=23，AD=4，∠ADC= π2，ACsin(∠ACB+π3)=3．

(1)证明：tan∠CAB=32sinB；

(2)求∠B；

(3)求AB；

(4)点M为1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】3813.【答案】(1,1)

14.【答案】6−215.【答案】x=115y=16.【答案】30人，20人，平均值2.3小时，方差1.1

0.2048

17.【答案】因为点E，F分别为PD，CD的中点，则EF/​/PC，

且EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF/​/平面PBC，

在矩形ABCD中，O为中心，则O为BD的中点，

因为F为CD的中点，则OF/​/BC，

且OF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以OF//平面PBC，

又因为EF∩OF=F，EF，OF⊂平面OEF，所以平面PBC/​/平面OEF

1318.【答案】P(A)=23，P(B)=23，P(C)=59

事件A与B相互独立．

理由如下：事件AB表示“第一次摸出奇数且第二次摸出质数”，则AB={(1,2)，(1,3)，(3,2)，(3,