多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题

多边形的内角和与外角和：从原理到应用在平面几何的世界里，多边形是由直线段首尾相连构成的封闭图形，它们广泛存在于我们的日常生活与工程设计之中。理解多边形的内角和与外角和的规律，不仅是解决几何问题的基础，更是培养逻辑推理能力的有效途径。本文将系统梳理这一知识点，并通过例题与习题帮助读者深化理解，掌握应用技巧。一、核心知识点梳理1.多边形的基本概念由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫做多边形。组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。多边形的边数、顶点数、内角数是相等的。我们通常研究的是凸多边形，即多边形的每个内角都小于180°，且整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧。2.多边形的内角和定理定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。*推导思路：我们可以通过从n边形的一个顶点出发引对角线，将n边形分割成若干个三角形来证明。从一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，这些对角线将n边形分成了(n-2)个三角形。因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和就是(n-2)×180°。例如，三角形（n=3）的内角和为(3-2)×180°=180°；四边形（n=4）的内角和为(4-2)×180°=360°，这与我们已知的结论完全一致。3.多边形的外角和定理定理：任意多边形的外角和都等于360°。*推导思路：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。在多边形的每个顶点处，取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。因为多边形的每一个内角与它相邻的外角互为邻补角（它们的和为180°），所以n边形的所有内角和与所有外角和之和为n×180°。设n边形的内角和为S内，外角和为S外，则有：S内+S外=n×180°又因为S内=(n-2)×180°，代入上式可得：(n-2)×180°+S外=n×180°解得S外=n×180°-(n-2)×180°=360°。这表明，多边形的外角和与它的边数无关，恒为360°。这是一个非常奇妙且重要的性质。二、典型例题解析例题1：基础内角和计算题目：求七边形的内角和度数。分析：直接应用n边形内角和公式(n-2)×180°，其中n=7。解答：七边形的内角和=(7-2)×180°=5×180°=900°。答：七边形的内角和是900°。例题2：已知内角和求边数题目：一个多边形的内角和是1440°，问它是几边形？分析：设该多边形的边数为n，根据内角和公式列出方程求解。解答：设这个多边形的边数为n。由题意得：(n-2)×180°=1440°解方程：n-2=1440°÷180°n-2=8n=10答：这个多边形是十边形。例题3：正多边形的内角与外角题目：一个正多边形的每个内角都等于135°，求它的边数。分析：方法一（利用内角和）：正多边形的每个内角都相等，因此内角和也可表示为“边数×每个内角度数”。方法二（利用外角和）：先求出每个外角的度数，再用外角和360°除以每个外角度数得到边数。解答：方法一：设这个正多边形的边数为n。则有：(n-2)×180°=n×135°180°n-360°=135°n180°n-135°n=360°45°n=360°n=8方法二：因为正多边形的每个内角是135°，所以每个外角是180°-135°=45°。又因为多边形外角和为360°，所以边数n=360°÷45°=8。答：这个正多边形是八边形。点评：方法二利用外角和恒为360°的特性，计算往往更为简便，是解决此类问题的优选思路。例题4：综合应用题目：在一个多边形中，除去一个内角外，其余内角之和为2570°，求这个被除去的内角的度数及多边形的边数。分析：多边形的内角和一定是180°的整数倍。2570°加上这个被除去的内角后，其总和应为(n-2)×180°，且这个内角的度数一定大于0°且小于180°。解答：设这个多边形的边数为n，被除去的内角的度数为x（0°<x<180°）。则有：(n-2)×180°=2570°+x所以，n-2=(2570°+x)÷180°=2570°÷180°+x÷180°计算2570÷180：180×14=2520，2570-2520=50，即2570°=180°×14+50°所以n-2=14+50°/180°+x/180°=14+(50°+x)/180°因为n-2必须是整数，且0°<x<180°，所以(50°+x)必须等于180°，才能使(50°+x)/180°为整数1。即50°+x=180°→x=130°则n-2=14+1=15→n=17答：被除去的内角是130°，这个多边形是十七边形。三、习题演练基础巩固1.填空题：（1）五边形的内角和是________度。（2）一个多边形的内角和是1800°，它是________边形。（3）正六边形的每个内角等于________度，每个外角等于________度。2.选择题：（1）下列多边形中，内角和最大的是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形（2）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形能力提升3.解答题：一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。4.解答题：已知一个多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数。5.思考题：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的2倍？若存在，请求出它的边数；若不存在，请说明理由。---习题参考答案与提示：基础巩固1.（1）540（2）十二（3）120，602.（1）D（2）C*提示：（2）360°÷60°=6*能力提升3.解：设这个多边形的边数为n。因为多边形外角和为360°，依题意得内角和为3×360°=1080°。则(n-2)×180°=1080°n-2=6n=8答：这个多边形是八边形。4.解：设这个多边形的每个外角为x°，则与其相邻的内角为(3x+20)°。因为内角与外角互补，所以x+(3x+20)=1804x+20=1804x=160x=40则多边形的边数n=