2026上海二模数学压轴题新定义17或18题分类汇编1

2026上海二模数学压轴题新定义17或18题分类汇编1引言上海高考数学的二模考试，历来被视作高考前最重要的实战演练之一。其中，填空题的第17、18题（通常被称为“压轴填空题”），因其新颖的情境设置、灵活的命题角度和较高的思维要求，往往成为区分学生数学能力的关键。近年来，“新定义”型问题在这一位置出现的频率颇高。这类问题通常给出一个全新的数学概念、符号或运算规则，要求学生在短时间内理解并运用这些“新信息”解决问题，能有效考察学生的阅读理解能力、抽象概括能力、知识迁移能力和创新意识。本汇编旨在对2026年上海各区二模数学试卷中，第17或18题出现的“新定义”型压轴题进行初步的分类与解析。我们期望通过对这些典型问题的梳理，帮助同学们把握此类问题的常见类型、解题策略和思维方法，从而在面对新的挑战时能够更加从容不迫。由于篇幅所限，本次为第一辑，后续将根据实际情况推出更多分类解析。一、基于“新运算/新符号”的定义问题此类问题通常会定义一种全新的运算符号或某种特定的操作规则，要求学生理解其含义，并能根据定义进行计算、推理或解决相关问题。核心在于准确把握新运算的本质，有时它可能与我们已学的四则运算、集合运算、函数运算等存在某种联系或类比，但也可能是完全独立的新规则。典型例题1：（模拟题）定义符号“⊗”为一种关于正整数a、b的二元运算，满足以下运算性质：1.a⊗1=a；2.a⊗b=(a⊗(b-1))+2a(b>1)。若存在正整数n，使得n⊗n=120，则n的值为_________。分析与解：本题定义了一个递归的新运算“⊗”。我们需要先根据给定的性质，尝试写出前几项，观察其规律，进而找到一般表达式。由性质1：a⊗1=a。由性质2，当b=2时：a⊗2=(a⊗1)+2a=a+2a=3a。当b=3时：a⊗3=(a⊗2)+2a=3a+2a=5a。当b=4时：a⊗4=(a⊗3)+2a=5a+2a=7a。...不难发现，当b为正整数时，a⊗b=(2b-1)a。（可通过数学归纳法严格证明，此处从略）因此，n⊗n=(2n-1)n=120。即2n²-n-120=0。解此一元二次方程：n=[1±√(1+960)]/4=[1±√961]/4=[1±31]/4。取正整数解，n=(1+31)/4=32/4=8。解题关键：对于递归定义的新运算，耐心计算前几项，发现规律并归纳出一般表达式是常用策略。本题也可直接将n⊗n按递归式展开，得到一个关于n的等差数列求和问题。典型例题2：（模拟题）对于任意两个非空集合M、N，定义集合M与N的“差集”为M-N={x|x∈M且x∉N}。若集合A={1,2,3,4}，B={2,3,5}，则集合(A-B)∪(B-A)的元素个数为_________。分析与解：本题定义了集合间的一种新运算“差集”。根据定义：A-B={x|x∈A且x∉B}={1,4}。B-A={x|x∈B且x∉A}={5}。则(A-B)∪(B-A)={1,4,5}，其元素个数为3。解题关键：准确理解新定义的集合运算规则，并与已学的集合运算（交集、并集、补集）进行区分和联系。本题的“差集”并非对称差集，但最终求的是两个差集的并，这实际上就是集合A与B的对称差集。二、基于“新数/新数列”的定义问题此类问题会引入一种新的数的概念（如某种特殊的整数、复数的新表示等）或定义一种新的数列生成规则，要求学生研究其性质、进行计算或推理。典型例题3：（模拟题）若一个正整数n满足：n的所有正因数（包括1和n本身）之和恰好等于n的某个正整数倍，则称n为“倍因数数”。例如，6的正因数之和为1+2+3+6=12，12是6的2倍，所以6是“倍因数数”。则在正整数1至20中，“倍因数数”的个数为_________。分析与解：本题定义了“倍因数数”。核心在于计算每个数的正因数之和，并判断其是否为该数的整数倍。我们逐一分析1至20的数：1：因数和1，1是1的1倍→是。2：1+2=3，3不是2的倍数→否。3：1+3=4，4不是3的倍数→否。4：1+2+4=7，7不是4的倍数→否。5：1+5=6，6不是5的倍数→否。6：1+2+3+6=12，12是6的2倍→是。7：1+7=8，8不是7的倍数→否。8：1+2+4+8=15，15不是8的倍数→否。9：1+3+9=13，13不是9的倍数→否。10：1+2+5+10=18，18是10的1.8倍→否。11：1+11=12→否。12：1+2+3+4+6+12=28，28÷12=7/3→否。13：1+13=14→否。14：1+2+7+14=24，24÷14=12/7→否。15：1+3+5+15=24，24÷15=1.6→否。16：1+2+4+8+16=31→否。17：1+17=18→否。18：1+2+3+6+9+18=39，39÷18=13/6→否。19：1+19=20→否。20：1+2+4+5+10+20=42，42÷20=2.1→否。综上，1至20中“倍因数数”有1和6，共2个。解题关键：仔细理解“倍因数数”的定义，准确计算每个数的因数和，并进行整除性判断。注意1这个特殊情况。典型例题4：（模拟题）在数列{aₙ}中，若对任意的n∈N*，都有aₙ₊₂=|aₙ₊₁|-aₙ，且a₁=1，a₂=2，则a₂₀₂₆的值为_________。分析与解：本题定义了一个由递推关系给出的新数列。对于这类问题，通常的做法是先写出数列的前几项，观察其是否具有周期性，若有周期性，则可利用周期来求指定项。依题意：a₁=1a₂=2a₃=|a₂|-a₁=2-1=1a₄=|a₃|-a₂=1-2=-1a₅=|a₄|-a₃=1-1=0a₆=|a₅|-a₄=0-(-1)=1a₇=|a₆|-a₅=1-0=1a₈=|a₇|-a₆=1-1=0a₉=|a₈|-a₇=0-1=-1a₁₀=|a₉|-a₈=1-0=1a₁₁=|a₁₀|-a₉=1-(-1)=2a₁₂=|a₁₁|-a₁₀=2-1=1...观察可得，从a₁开始，数列呈现出：1,2,1,-1,0,1,1,0,-1,1,2,1,...的规律。对比a₁-a₅和a₁₁-a₁₅，可以发现周期似乎从a₁开始，周期长度为10？验证a₁₁=2=a₂，a₁₂=1=a₃，那么后续应该会重复a₂,a₃,...的序列，因此周期为10-1=9？或者说，从a₂开始周期为9？更准确地，从a₁到a₁₀：1,2,1,-1,0,1,1,0,-1,1a₁₁=2=a₂,a₁₂=1=a₃,a₁₃=-1=a₄,...所以周期T=9（从a₂开始）。因此，数列从第二项起，周期为9。求a₂₀₂₆：先计算(2026-1)=2025，2025÷9=225，余数为0。这意味着a₂₀₂₆=a₁+9×225=a₁₀=1。解题关键：对于由复杂递推关系（尤其是含绝对值、取整等）定义的数列，计算前若干项，发现并证明其周期性是解决问题的核心。三、解题策略与反思通过以上几类典型例题的分析，我们可以总结出解决“新定义”型压轴题的一些通用策略：1.耐心阅读，准确理解定义：这是解决问题的前提。务必逐字逐句阅读新定义，明确其内涵、外延、限制条件（如定义域、适用范围等）。可以尝试用自己的语言复述定义，或将其“翻译”成数学符号语言。2.寻找联系，搭建桥梁：新定义往往不是空中楼阁，它可能与我们已学的数学概念、方法存在联系。尝试将新定义与熟悉的知识进行类比、联想，寻找共通之处或相似结构。3.特殊化探路，归纳猜想：对于抽象的新定义，可以先取一些特殊值、特殊情况进行尝试，观察结果，从中发现规律，提出猜想，再进行验证或证明。这在处理新运算、新数列问题时尤为有效。4.紧扣定义，严格推理：在解决问题的过程中，每一步推理都必须严格依据新定义的规定，不能想当然地套用旧知识。5.注意细节，避免疏漏：新定义中常常会有一些关键的限制词（如“正整数”、“非空集合”、“任意”等），忽略这些细节往往会导致解题错误。“新定义”问题的难点在于“新”，但也正因其“新”，提供了公平竞争的平台，更能考察学生的学习潜能和数学素养。同学们在平时练习中，应主动接触各类新定义