2025-2026学年北京市昌平区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

第第页2026北京昌平高二（下）期末数学（第二组）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（

）A． B． C． D．4．已知，且，则（

）A． B． C． D．5．已知函数，则（

）A． B． C． D．6．已知函数，则是（

）A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为7．某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（

）（参考数据：）A．2031年 B．2032年 C．2033年 D．2034年8．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知数列满足．给出下列四个结论：①，有；②若，，则；③当时，数列为递减数列；④当时，数列是等比数列．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题11．函数的定义域为__________.12．若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大．13．将函数的图象上的所有点向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则________；若在区间上有且仅有一个零点，则的一个取值为________．14．设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________．15．已知函数，给出下列四个结论：①是非奇非偶函数；②当时，至多有两个不同零点；③若是曲线上任意一点，，则；④设为曲线上一点，为曲线上一点，若，则．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题16．已知函数．(1)求的值及的最小正周期；(2)求的单调递减区间．17．已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．已知函数．(1)若，求的值；(2)已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求，的值．条件①：在区间上单调递增；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最小值．20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线的斜率；(2)设，当时，求的零点个数；(3)若，且，求证：．21．已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质．(1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）．①；②；③．(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件；(3)已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．

参考答案题号12345678910答案ACBDBCCBAB1．A【详解】因为，所以.又，所以.2．C【详解】设公比为，因为，所以..3．B【详解】选项A，因为，所以是奇函数，但其在整个定义域上不单调递增，所以A错误；选项B，若，，单调递增，且时，，若，，单调递增，且时，，又时，所以在上是单调递增，因为，所以为奇函数，所以B正确；选项C，因为，所以是奇函数，但不单调递增，所以C错误；选项D，因为，所以是奇函数，在，上单调递增，但在整个定义域上不单调递增，所以D错误.4．D【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可.【详解】选项A：若，则，错误.选项B：若，，，，错误.选项C：若，，，错误.选项D：因为，所以，故成立，正确.5．B【详解】，所以，所以.6．C【详解】因为，将替换为时，，因为，所以，为偶函数.设最小正周期为，即，，因为，故为一个周期.证明为最小正周期，若，取，，，解得，若，即，，矛盾.若，假设，代入可知，，，矛盾.故为最小正周期.7．C【分析】构建等比数列模型，取对数解不等式，向上取整推算年份.【详解】设从2025年起，第年的光伏发电量为（单位：万千瓦时），已知（2025年），年增长率为25%，即公比，则第年的发电量公式为：

，则，所以，因为是整数，所以，从2025年开始算，第8年是：2025+8=2033年.8．B【详解】若，，满足，但.若，因为，所以成立.所以是必要不充分条件.9．A【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案【详解】因为的解集为P，设，设，由于，故为偶函数，所以的解集必为对称区间，即，又，故，因为，，作出函数的图象如下图：由图可知，要使，只需满足，解得.10．B【分析】①配方后利用平方非负性，直接得下界；②常数列需满足递推方程，解不唯一；③作差后根据a_n与2的大小关系判断增减性，并非始终递减；④换元后取对数，可证新数列是公比为2的等比数列.【详解】①由递推式：

，所以，有，①正确；②若数列是常数列，则，代入递推式，解得或，并非只有，②错误；③由，当，，可知，此时，数列递增；当，，此时，数列递减，③错误；④令，则，代入递推式，化简得，则，因为，所以，即是以为首项，2为公比的等比数列，④正确.11．【分析】解不等式即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.12．9【详解】设，则，解得.又，所以，由此可知.所以，时，，时，，所以时，数列的前项和最大.13．（答案不唯一）【详解】向左平移个单位得到的函数为，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的函数.因为在上有且只有一个零点，即，，所以即可，解得，任取其一即可.14．【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围.【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为；第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求；当时，函数右段最小值，则，综上所述，.15．①③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令，即有，即，函数定义域不关于原点对称，故函数不是奇函数，故①正确；对②：令，则，因为，当时，有，故0是该方程的一个根；当，有，，方程有两根，有或，因为，故必有一个大于2的正根，即必有一个大于2的正根；因为，令，即，则，即，故在内亦必有一负根，综上所述，，且，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，故②错误；对③：令，则有，，令，，，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故恒成立，即，故，故③正确；对④：当时，由，，故，此时，，则，当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或，当时，由，有，故成立；当时，，则设，由③知，点与点在圆上或圆外，设点与点在圆上且位于x轴两侧，则圆上点纵坐标：，，所以，实际上，，两点竖直距离，水平距离相等，故；综上所述，恒成立，故④正确.【点睛】结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况.16．(1)1；最小正周期为(2)．【详解】（1）由题意，所以．该函数的最小正周期为（2）由(1)知．由，得．所以的单调递减区间为．17．(1)(2)【分析】(1)利用等比中项建立方程求出公差，写出等差数列通项；(2)分组求和，分别计算等差数列与等比数列的前项和再相加.【详解】（1）设等差数列的公差为，．由，，，成等比数列，得，即．解得或（舍去）．所以．（2）由（1）知，所以．从而数列的前项和.18．(1)(2)选择条件①：，；选择条件②：，；选择条件③：，；【分析】(1)代入求解即可.(2)①通过余弦函数取得最值时定义域相差一个周期的性质求解.②通过单调递减区间长度与函数值相等求解.③通过与求出周期的多种可能，并判断周期范围来确定唯一周期，进而代入求解.【详解】（1）由题设，，又，得．因为，所以．（2）选择条件①：在区间上单调递增．因为，且，所以在取得最小值．因为在上单调递增，上单调递减，所以在取得最大值．所以，即．因为，所以．所以，．由，得．又因为，所以．选择条件②：．因为，所以的最小值为，最大值为1．因为在区间上单调递减，且，，所以由三角函数的性质得．因为，所以．所以，．由，得．又因为，所以．选择条件③：，因为，所以，，所以.若，解得.或，解得，舍去故周期为，，解得..因为，所以，.解得，因为，所以.19．(1)(2)当时，当时，当时，【分析】(1)通过函数求导并代入求出该点切线斜率，并进一步求得切线方程.(2)通过对范围的分类讨论求得函数的单调区间，并以此求得函数在的最小值.【详解】（1）当时，，．所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，，所以．当时，，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，此时．当时，令，则，（舍）．所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增．①当，即时，在区间上单调递增，此时.②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时.③当，即时，在区间上单调递减，此时．综上，当时，.当时，.当时，．20．(1)0(2)2个(3)由题设，．①当时，，，所以，即．所以在区间上单调递减；②当时，，，所以，即．所以在区间上单调递增．因为，且，所以．令，．因为，当且仅当时等号成立．所以当时，．所以．所以，即．因为，所以．因为，所以．因为在区间上单调递减，，，所以，即【分析】(1)通过复合函数求导并代入求解切线斜率进而求出切线方程.(2)表示出后构造新函数，通过单调性求解零点个数.(3)通过原函数单调性求出范围后，构造新函数求解.【详解】（1）因为，所以．所以曲线在点处的切线的斜率为0．（2）由题设，．因为，所以是的一个零点．当时，等价于．设函数，，则．令，解得．当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增．因为，所以当时，．又，，当时，．又根据零点存在定理，存在唯一，使得．综上，当时，有2个零点．（3）略21．(1)①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质．(2)先证“充分性”：当数列具有性质时，则，所以．又因为，所以，所以，．因为，，所以，即“数列为常数列”．再证“必要性”：当“数列为常数列”时，则，即“数列具有性质”．综上，“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件.(3)【分析】（1）严格对照定义代入检验，特值法否定不满足的数列；（2）利用递增条件双向夹逼完成充分性证明，常数列直接验证必要性；（3）先锁定底数，放缩结合反证法夹逼得到公比，严谨推导通项.【详解】（1）①，左边：，​右边：，左边=右边，具有性质P(2)；②取验证，左边：，右边：，不满足对任意成立，不具有性质P(2)；③左边：，右边：，若，则4n-1=2n⟹n=12，不是正整数，对任意不成立，所以不具有性质P(2).