机电系统计算机控制-第2章

2.1采样信号变换原理计算机控制系统中信号形式如图2−1所示，与传统连续控制系统相比，计算机控制系统的特征是以数字计算机取代模拟调节器，组成闭环数字控制系统。计算机或微处理器直接作为控制器，负责接收给定指令、采集传感器的反馈信号、按一定控制规律计算得出数字形式的控制信号。数字信号经过D/A转换和伺服放大后，驱动执行机构跟踪给定指令运动。计算机输入/输出的都是离散时间的数字量，而实际机械系统大部分是连续系统，连续系统中的给定量、反馈量及被控对象都是连续变化的模拟量，如速度、压力、温度、流量、液位等。下一页返回2.1采样信号变换原理在设计与分析计算机控制系统中，把计算机引入连续系统，造成了信息表示形式与运算形式的不同，因此先要考虑这两种信息之间的变换。为了使计算机控制系统得以实现，经过采样、量化、编码成数字量后，输入计算机进行运算和处理，实现将连续时间信号离散化。这一过程通常由采样/保持电路和A/D转换器实现。图2−2所示为计算机内信号传送过程。①模拟信号：时间上连续，幅值上也是连续的信号，即通常所说的连续信号e(t)。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理②离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，即常说的采样信号e*(t)，*号表示离散化。③数字信号：时间上离散且幅值上也离散（已经量化）的信号，可用一个序列数字表示e(kT)。④采样：利用采样开关，将模拟信号e(t)按照一定的时间间隔T重复开闭得到采样信号e*(t)的过程。采样开关重复开闭的时间间隔T称为采样周期。若采样过程中，采样周期T保持不变，称其为等周期采样。若系统中存在多个采样开关，所有采样开关等周期同时开闭，则称为同步采样；若采样开关各自以不同的周期采样，则称为多速率采样。本书研究的数字控制系统，均为同步周期采样系统。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理⑤量化：用一组二进制代码来逼近采样信号的幅值并将其转换成数字信号，即把采样信号e*(t)转变成数字序列e(kT)的过程。这一转换过程是一近似过程，由A/D转换器来完成，转换的精度取决于A/D转换器的位数。⑥保持：它是离散信号u*(t)转换成模拟信号u(t)的过程，是采样过程的逆过程，又称信号重构。实现保持作用的电路称为保持器。计算机控制系统将模拟偏差信号e(t)，先经按一定周期闭合的采样开关进行采样，得到采样信号e*(t)；再经过A/D转换器量化为数字序列e(kT)，即数字信号；输入计算机，计算机根据一定的控制算法，将输入的数字信号进行运算与处理，输出新的数字序列u(kT)；上一页下一页返回2.1采样信号变换原理再送到D/A转换器和保持器转换为模拟信号u(t)作用于被控对象，控制被控对象实现控制目标。计算机在该系统中实现校正功能，为控制系统的核心。图2−3所示为由计算机作为控制器的计算机控制系统，在数学上可以等效为一个典型的离散控制系统，这样，分析和研究离散控制系统的方法可以被直接应用于计算机控制系统。把采样器和A/D转换器用周期为T的理想采样开关代替。该采样开关在不同采样时刻的输出脉冲强度，表示A/D转换在这一时刻的采样值。A/D转换器的作用是将时间上连续的误差信号e(t)转换成计算机能够处理的二进制数字信号e(kT)，其中，T在这里表示采样周期。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理假设A/D转换有足够的精度，因此由A/D转换器形成的量化误差在数学上是可以不计的，这样就可以实现采样器和A/D转换器用理想采样开关替代。计算机的输出通道D/A转换器的作用是将计算机输出的数字式控制量u(kT)转换为受控对象能够接受的模拟量。在精度足够高的情况下（通常也是满足的），D/A转换器在数学上可用零阶保持器来代替。2.1.1信号采样与采样定理1.采样过程时间上连续的模拟信号通过采样开关转变成时间上离散的脉冲序列的过程称为采样过程或离散化过程。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理采样过程如图2−4所示，采样开关每隔一定时间T（采样周期）闭合一次，每次闭合的时间τ称为采样宽度，则模拟信号f(t)经采样开关后变成离散时间信号f∗

(t)，即得到一个序列{ƒ(kT)}。如果采样开关闭合时间τ比采样周期T小得多，即τ《T时，且τ与被控对象的时间常数相比也非常小，那么可以认为τ=0，这时的采样开关称为理想采样开关。信号f(t)经理想采样开关变为离散时间信号f

∗(t)的过程即为理想采样过程。定义单位脉冲函数为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理则理想采样开关可以用单位理想脉冲序列表示，其表达式为从数学角度看，采样信号f∗(t)可以看作f(t)和δ

T(t)的乘积，即这就是理想脉冲采样过程的数学表达式。可见采样函数f

∗(t)为一脉冲序列。表达式中的f(kT)表示在kT采样时刻的函数值或离散信号值，f(kT)是δ(t−kT)在kT时刻的脉冲冲量值，或称为脉冲强度。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理式（2−3）描述的理想采样过程，从物理意义上可以理解为一个脉冲调制过程，输入信号f(t)作为调制信号，单位脉冲序列δT(t)作为载波，经过理想采样开关（相当于一个理想脉冲发生器），得到理想采样序列f∗(t)，如图2−5所示。2.采样定理在计算机控制系统中，一个连续信号f(t)经过采样开关得到的采样信号f∗(t)，能否反映出原连续信号的特性，能否精确地复现出原来的连续信号，这就是采样定理要解决的问题。设采样前模拟信号f(t)的傅里叶变换存在，即上一页下一页返回2.1采样信号变换原理且满足傅里叶逆变换公式则f(t)与F(jω)为一傅里叶变换对，记为称F(jω)为模拟信号f(t)的频谱，如图2−6（a）所示，ωm为模拟输入信号的上限频率。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理单位脉冲序列δT(t)的傅里叶变换形式为称

ΔT

(jω)为δT(t)的频谱，如图2−6（b）所示，式中的ωs为采样角频率。由式（2−3）可知，经过理想采样开关的输出f∗(t)为f(t)与δT

(t)之积，即上一页下一页返回2.1采样信号变换原理可根据频率卷积定理，求输出信号的频谱，即即两信号乘积的傅里叶变换等于两信号傅里叶变换的卷积。设f

∗(t)的傅里叶变换为F∗

(jω)，则由式（2−10）得理想低通滤波器的“门形”频率特性如图2-7所示，理想滤波器实际上无法精确实现，工程上通常采用低通滤波器(保持器或保持电路)来近似代替理想滤波器。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理香农（Shannon）采样定理：设对于一个具有限带宽的连续信号f(t)，其上限频率为ωm

，ωs

为采样频率，当采样频率满足时，则采样函数f∗

(t)能够不失真地恢复到原来的连续信号。采样频率和采样周期之间的关系为ωs=2π/T。所以，只要根据不同过程参量，选择恰当的采样周期T，就不会失去原信号的主要特征。在满足ωs≥2ωm条件时，连续信号f∗

(t)可以由采样值f(kT)（k=0，±1，±2，…）唯一确定，其插值公式为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理2.1.2采样信号复现与保持器1.信号的复现计算机控制系统的主要作用，是解决如何将计算机输出的、经D/A转换后的信号，变成能够作用于被控对象的模拟信号。大多数离散时间控制系统都是连续的执行机构，是通过接收连续的输入信号工作的。如果采样信号直接送到执行机构，必然使系统输出产生很大跳动。因此，采样信号作用到连续系统装置之前，希望能复现出相应的连续信号。信号复现即采样过程的逆过程，又称为信号重构。从频率特性角度来说，就是使采样信号通过低通滤波器，把采样信号的高频分量加以滤除后再送到执行机构。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理在采样控制中，将采样信号能够不失真地恢复为原来的连续信号的过程，称为采样信号的复现或保持。复现信号的滤波装置称为保持器。从数学角度看，保持器就是实现一种多项式外推作用的装置，它的任务是解决两个采样点之间的插值问题，即现在时刻的模拟信号f(t)是由过去时刻输入的采样时刻值［f(kT)，k≤t/T］外推求得的。因此，下面利用采样值外推的近似方法来构造保持器。根据泰勒级数展开公式，有上一页下一页返回2.1采样信号变换原理取等式右端第一项近似，得到称为零阶保持器。取等式右端两项之和近似，得到称为一阶保持器。其中，f(t)在t=kT时的各阶导数可由其近似值求出。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理将式（2−16）代入式（2−15）中，则一阶保持器又可表示为在采样频率足够高的情况下，零阶保持器与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小、易于工程实现等优点。更完善而又更接近理想滤波的高阶保持器比零阶保持器更复杂，产生更多时间延迟。闭环控制中的时间延迟减小了稳定裕量，甚至引起失稳，从改善性能考虑，高阶保持器很少采用，因此下面仅讨论零阶保持器和一阶保持器。2.零阶保持器上一页下一页返回2.1采样信号变换原理零阶保持器是把前一个采样时刻kT的采样值恒定不变地保持到下一个采样时刻(k+1)T，是一种最常用的保持器。图2−8（a）为零阶保持器的单位脉冲响应函数，是高度为1、宽度为T的方波信号。高度为1表示采样值通过零阶保持器后既没有被放大，也没有被衰减；宽度T表示采样值只能持续一个采样周期T。为了推导保持器的传递函数和频率特性，把图2−8（a）所示的单位脉冲响应函数用两个单位阶跃函数之和来表示，如图2−8（b）所示。它的数学表达式为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理对上式进行拉氏变换，求得零阶保持器的传递函数为把s=jω代入上式，得到零阶保持器的频率特性表达式为把代入上式得上一页下一页返回2.1采样信号变换原理其中，幅频特性为相频特性为由上式可得零阶保持器的幅频和相频特性，如图2-9所示。由图2-9看出，零阶保持器的幅值随田增加而减少，具有低通滤波特性。但是，零阶保持器只是一种近似的低通滤波器，它除了让主频分量通过外，还允许部分附加的高频分量通过。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理因此，由零阶保持器恢复的连续函数fh(t)与原函数f(t)是有差别的，如图2-10所示。可见，由零阶保持器恢复的函数fh(t)比原函数f(t)在相位上要平均滞后T/2。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素。和其他保持器相比，它具有最小的相位滞后，反应快，易实现，对稳定性影响相对减少，所以在实际系统中，经常采用零阶保持器。零阶保持器恢复信号的最大复现误差为em

和采样周期T成正比，与待恢复的连续信号f(t)的最大速度成正比。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理当连续信号f(t)为阶跃信号时，因阶跃信号的变化速度为零，所以离散信号f

∗(t)通过零阶保持器恢复的连续信号f(t)无复现误差。当连续信号为斜坡信号f(t)=at（a为常数）时，离散信号f

∗(t)通过零阶保持器恢复的连续信号f(t)存在复现误差，其最大值为aT。零阶保持器实现的方法很多，可采用放大器和RC网络或有源网络来实现，如图2−11所示。3.一阶保持器一阶保持器的方程为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理式（2−25）表示了一阶保持器在给定区间的外推函数是线性的，它的频率与前一个区间采样值的变化率有关。为了确定一阶保持器的传递函数，图2−12给出了输入为单位脉冲的输出响应函数，它的输出脉冲响应函数可表示为两端取拉氏变换有上一页下一页返回2.1采样信号变换原理合并整理可得一阶保持器的频率特性为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理其幅频、相频特性如图2−13实线部分所示，虚线部分是零阶保持器的幅频、相频特性。可见，一阶保持器与零阶保持器的截止频率相同，不同的是一阶保持器的幅频特性比零阶保持器的幅频特性要高，这样更利于离散频谱中高频变量通过。相频特性图中，在整个频率范围内，一阶保持器的相移要大得多，对系统稳定不利。另外，一阶保持器结构复杂，虽然一阶保持器对输入信号有较好的恢复能力，但是实际上较少采用。对于一个具有光滑二阶导数的输入信号，一阶保持器的最大复现误差为上一页下一页返回2.1采样信号变换原理em和采样周期T成正比，与待恢复的连续信号f(t)的最大变化加速度成正比。阶跃和斜坡型离散信号通过一阶保持器恢复连续信号，除在第一个周期T外，其余时间均无复现误差，这是因为它们变化的加速度均为零。2.1.3采样周期的选择采样周期是计算机控制系统设计的一个非常重要的参数。采样周期取得越大，在计算工作量一定的情况下，对计算机运行速度、A/D及D/A的转换速度的要求就可以低些，从而降低了系统的成本，也可以有较充裕的时间允许系统采用更复杂的算法。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理但采样周期过大又会使系统的性能降低，导致系统动态品质恶化，甚至导致系统不稳定。采样周期T取得越小，即采样频率ωs越高，采样信号与原连续信号的近似程度就越好，越能反映出原连续信号的特性。但是如果采样频率太高，使执行机构不能及时响应而加快其磨损，则不能满足计算机实时控制的要求，因此，采样频率既不能过高，也不能太低。采样周期的选择与很多因素有关，比较明显的因素有控制系统的动态品质指标、被控对象的动态特性、扰动信号的频谱、控制算法、执行机构动作快慢与计算机性能等。采样周期的选择至今没有一个统一公式，而采样定理只给出了有限带宽的模拟信号选择采样频率的下限原则。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理在工程实践中，一般根据被控对象的性质，如惯性大小和加在该对象上的预期干扰程度，来选择采样周期T。一些快速系统，如交直流可逆调速系统、随动系统，要求动态响应速度快、抗干扰能力强，采样周期T要短些。表2−1列出了不同被控对象参数物理量的采样周期T选择的参考数值。对于伺服系统，不同的设计方法，也有不同的选择采样周期的依据。如图2−14所示，在模拟化设计方法中，考虑到闭环系统的频率特性具有低通滤波特性，当输入信号的频率高于闭环谐振频率ωr时，信号通过系统后会很快衰减。上一页下一页返回2.1采样信号变换原理而一般情况下，ωr又与开环剪切频率很接近，即可按下式选择采样角频率，即快速系统中，还可以从时域角度考虑，在单位阶跃响应的闭环系统上升时间tr内，采样次数N为N=tr/T=2～4次，则可得总之，目前采样周期T的选择是以采样定理作为理论指导原则，根据设计者的实践与经验公式，结合实际对象进行初步选择，再由系统实际运行实验后确定。上一页返回2.2z变换与z反变换z变换是用来分析和综合离散控制系统的一种数学工具。z变换在离散系统中的作用与拉氏变换在连续系统中的作用是相似的，它可以从拉普拉斯变换直接引出，是拉普拉斯变换的特殊形式。2.2.1z变换定义设连续函数f(t)是可以进行拉普拉斯变换的，它的拉普拉斯变换被定义为f(t)被采样后的脉冲采样函数f*(t)为下一页返回2.2z变换与z反变换它的拉普拉斯变换为根据广义脉冲函数δ(t)的性质,得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换将式（2−36）代入式（2−35）中，可以得到以z为变量的函数，即应特别指出：z变换具有非一一对应性。如图2−15所示，任何采样时刻为零值的函数ϕ(t)与f(t)相加，得曲线f(t)+ϕ(t)，将不改变f∗(t)的采样值，因而它们的z变换相同。上一页下一页返回2.2z变换与z反变换2.2.2z变换方法1.级数求和法它是利用z变换的定义式（2−38）直接展开得到的。2.部分分式法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为有理函数，具体形式为通常无重极点的F(s)能够分解成如下的部分分式形式上一页下一页返回2.2z变换与z反变换可知，f(t)为各指数函数之和，这样利用已知的典型函数z变换或查表（表2−2），便可求出各个环节的z变换，进而求出整个函数F(s)的z变换F(z)，即F(z)=Z[F(s)]。3.留数计算法若已知连续时间函数f(t)的拉普拉斯变换式F(s)及全部极点si

（i=1，2，3，…，m），则f(t)的z变换可由下面留数计算公式求得极点上的留数分以下两种情况求取。上一页下一页返回2.2z变换与z反变换（1）单极点情况（2）n阶重极点情况用留数计算法求取z变换，由于要用到柯西留数定理，故称留数法。这种方法对有理函数与无理函数都是有效的。留数计算法的优点是给出了F(s)的z变换公式，不必查常用z变换表，按照规定的步骤求解即可。上一页下一页返回2.2z变换与z反变换留数计算法适用于普遍的情况，单极点和多重极点的情形都能够直接计算。2.2.3z变换的基本性质和定理1.线性性质线性函数满足齐次性和叠加性，若a，b为任意常数，，则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：根据z变换定义，得证毕。可见，脉冲采样函数线性组合的象函数，等于它们象函数的线性组合。2.滞后定理如果f(t)=0，对于t＜0，并且有Z[f(t)]=F(z)，则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：根据z变换定义，得令k−n=m，则因为t<0时，f(t)=0（物理的可实现性），上式变为证毕。上一页下一页返回2.2z变换与z反变换可见，右位移nT用函数f(t−nT)表示，f(k−n)相对时间起点延迟了n个采样周期。该定理还表明F(z)经过一个z−n的纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动n步。3.超前定理如果则证明：根据z变换定义，得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换令k+n=r，则当f(0T)=f(T)=……=f[(n−1)T]=0（零初始条件）时，上式变为上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证毕。可见，左位移nT用函数f(t+nT)表示，f(k+n)相对时间起点超前n个采样周期出现。该定理还表明F(z)经过一个zn的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动n步。从滞后和超前定理可知，z−n代表时间滞后作用，zn代表时间超前作用。滞后定理和超前定理统称为移位定理。4.初值定理如果Z[f(t)]=F(z)，而存在，则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：根据z变换定义，得当z→+∞时，上式两端取极限，得5.终值定理如果Z[f(t)]=F(z)，而在z平面以原点为圆心的单位圆上或圆外，没有极点，则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：根据z变换定义，得因此，上两式相减，有当z→1时，上式两端取极限，得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换由于t<0时，所有的f(t)=0，上式左侧变为因此，有6.求和定理（叠值定理）在离散控制系统中，与连续控制系统积分相类似的概念叫作叠分，用来表示。上一页下一页返回2.2z变换与z反变换在差分方程中，计算积分（用积分的和式表示）调节规律时要求来表示。在差分方程中，计算积分（用积分的和式表示）调节规律时要用到求和定理。如果则证明：根据已知条件，易得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换当k<0时，有g(k)=0，对式（2−54）进行z变换为即7.复域位移定理如果Z[f(t)]=F(z)，a是常数，则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：根据z变换定义，得令，可得代入

，得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换8.复域微分定理如果Z[f(t)]=F(z)，则证明：由z变换定义，得对上式两端进行求导，得上一页下一页返回2.2z变换与z反变换对上式进行整理，得9.复域积分定理如果Z[f(t)]=F(z)，则证明：由z变换定义，令上一页下一页返回2.2z变换与z反变换利用微分性质，得对上式两边同时积分，有根据初值定理，得所以上一页下一页返回2.2z变换与z反变换10.卷积定理两个时间序列（或采样信号）f(k)和g(k)，相应的z变换为F(z)和G(z)，当t<0时，f(k)=g(k)=0，t≥0的卷积记为f(k)*g(k)，其定义为或则上一页下一页返回2.2z变换与z反变换证明：令m=k−i，则k=m+i，因而因为m<0时，f(m)=0，所以上一页下一页返回2.2z变换与z反变换2.2.4z反变换由z变换F(z)求出相应的采样函数f*(t)，称为z反变换，表示为1.幂级数展开法（长除法）由z变换的定义式在实际应用中，控制系统中多数信号经z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭合形式，其表达式是z的有理分式上一页下一页返回2.2z变换与z反变换或z−1的有理分式用F(z)表达式的分子除以分母，得到z−k升幂排列的级数展开式，即因为z−k代表时序变量，所以，由式（2−61）直接求得f*(t)为上一页下一页返回2.2