微专题 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（解析版）-高一数学微专题

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设，则，①②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）AABCM【典型例题】题型一：定值问题【例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】C【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点，所以，，，，所以，，可得，，又因为，所以，故选：C．【变式1-1】（2024·贵州毕节·统考三模）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，则，，因此，故选：B.【变式1-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A． B． C． D．【答案】A【解析】取HF中点O，则,，因此，选A.题型二：范围与最值问题【例2】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（

）A．[0，1] B．C．[1，2] D．【答案】A【解析】如下图所示：考虑是线段上的任意一点，，，圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则，所以，.故选：A.【变式2-1】（2024·陕西榆林·统考三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，四边形为菱形，，可得，在中，由余弦定理得到，连接和交于点，则点为的中点，连接，，，则，，所以．故选：B.【变式2-2】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，所以的取值范围是，故选：C题型三：求参问题以及其它问题【例3】（2024·浙江杭州·高一校联考期中）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取的中点D，由极化恒等式可得：，同理，，由于，则，所以，因为，D是的中点，于是.故选：D.【变式3-1】（2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则．【答案】【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，依题意，，因的最小值为3，则的最小值为2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案为：【变式3-2】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则．【答案】【解析】取的中点，取，，，因为的最小值，所以．作，垂足为，如图，则，又，所以，因为，所以由正弦定理得：，，所以．故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】取的中点，则，可得，∵，当且仅当在线段上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，∴，故.故选：B.2．（2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（

）A．-2 B．-8 C．-1 D．0【答案】A【解析】如图为棱长为2的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任一点，则球心也就是正方体的中心，所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，的长为正方体的对角线长，为，我们将三角形单独抽取出来如下图所示：，所以的最小值为.故选：A.3．（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（

）．A． B． C． D．0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为，正方体的外接球的直径，则为的中点，所以，且，故，当与正方体的棱长平行时，此时最小，故，所以的最小值．故选：A4．（2024·贵州贵阳·统考一模）如图，在中，，则（

）A．9 B．18 C．6 D．12【答案】D【解析】由可得：，所以，所以，，因为，所以.故选：D.5．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在中，，则（

）A．18 B．9 C．12 D．6【答案】D【解析】，即，，.故选：D6．（2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】如图：连接因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以，，，.所以.故选：A7．（2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，为中点，，，，，.故选：A.8．（2023·贵州·校联考二模）如图，在平面四边形中，，，为的中点，，，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，为的中点，，，，∵,，，解得：.故选：B.9．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A10．（2024·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B.11．（2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试）已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上(不包含两个端点)，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴点在线段上，且，∴，∵，∴.故选：C.二、填空题12．（2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是.【答案】【解析】因为，，因此，故答案为：.13．（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上两个三等分点,则.【答案】-1【解析】∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，，，，又，，故答案为：-1．14．（2024·江苏盐城·统考一模）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点．，，则．【答案】/【解析】因为，又是的中点，且，所以，代入上式得，所以，因为，是上的两个三等分点，所以，则，故答案为：.15．（2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是.【答案】【解析】如下图所示：设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，，当为正方形的某边的中点时，，当与正方形的顶点重合时，，即，因此，.故答案为：.16．（2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为.

【答案】【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，即的取值范围为.故答案为：17．（2024·全国·高三专题练习）如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.

【答案】99148【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示：则,，，，即，，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，故答案为：99；148.18．（2024·浙江杭州·高二校联考期中）在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是【答案】【解析】根据向量关系可得，即判断的取值范围即可，由图可知的最大值为，最小值为.设外接圆的圆心为，半径为，可得，M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，则，的最大值为，最小值为，故的取值范围是.故答案为：.19．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为.【答案】【解析】先由正的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到，，再结合，可得到，再根据图像利用临界值法，求出的取值范围.如图所示，O为正内切圆圆心，OD为内切圆半径，在中，，，可求得内切圆半径.又PQ为圆O的直径,，利用向量的线性表示可得，，，，又M为边上的动点，由图可知，当M为边的中点时，最小为，即；当M为的顶点时，最大为，即.的取值范围为.故答案为：.20．（2024·全国·高一假期作业）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为.【答案】C为顶角的等腰三角形【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：，同理，，，设O为AB的中点，即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.故答案为：C为顶角的等腰三角形．21．（2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是．【答案】【解析】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是故答案为：22．（2024·河北保定·高一校联考期中）已知点在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为．【答案】/【解析】由题意，正方体外接球的直径，设点为正方体外接球的球心，则为的中点，所以且，则由，所以的最小值为．故答案为：23．（2024·天津和平·统考二模）在平行四边形中，，边的长分别为2与1，则在上的投影向量为（用表示）；若点分别是边上的点，且满足，则的取值范围