微专题 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（原卷版）-高一数学微专题

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设，则，①②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）AABCM【典型例题】题型一：定值问题【例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（

）A．4 B．8 C． D．【变式1-1】（2024·贵州毕节·统考三模）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（

）A． B． C．1 D．2【变式1-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A． B． C． D．题型二：范围与最值问题【例2】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（

）A．[0，1] B．C．[1，2] D．【变式2-1】（2024·陕西榆林·统考三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型三：求参问题以及其它问题【例3】（2024·浙江杭州·高一校联考期中）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则．【变式3-2】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则．【过关测试】一、单选题1．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（

）A．-2 B．-8 C．-1 D．03．（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（

）．A． B． C． D．04．（2024·贵州贵阳·统考一模）如图，在中，，则（

）A．9 B．18 C．6 D．125．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在中，，则（

）A．18 B．9 C．12 D．66．（2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（

）A．14 B．12 C．10 D．87．（2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（

）A． B． C． D．8．（2023·贵州·校联考二模）如图，在平面四边形中，，，为的中点，，，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．9．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（

）A． B． C． D．110．（2024·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．11．（2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试）已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上(不包含两个端点)，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题12．（2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是.13．（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上两个三等分点,则.14．（2024·江苏盐城·统考一模）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点．，，则．15．（2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是.16．（2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为.

17．（2024·全国·高三专题练习）如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.

18．（2024·浙江杭州·高二校联考期中）在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是19．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为.20．（2024·全国·高一假期作业）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为.21．（2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是．22．（2024·河北保定·高一校联考期中）已知点在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为．23．（20