北京市2025年中考数学试题及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市2025年中考数学真题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A．a>−1 B．a+b=0 C．a−b>0 D．a3．若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（

）A．60 B．90 C．120 D．1504．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（

）A．16 B．13 C．125．若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数aA．−4 B．−1 C．1 D．46．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105kmA．1.8×105km B．1.8×106km7．如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（

）A．80° B．100° C．110° D．120°8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1xx>0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题9．若3x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：7m211．方程2x−6+112．某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2等级低体重正常超重肥胖BMI≤15.415.5~22.122.2~24.9≥25.0人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是．13．能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为a=14．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为°．15．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为．16．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：n=1n=2n=3n=4n=5n=6…A4060B30557590100105C204060708090…D14386286110134…（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为万元．三、解答题17．计算：−3+18．解不等式组：219．已知a+b−3=0，求代数式4a−b20．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，(1)求证：四边形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长．21．在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点1,3和2,5(1)求k，b的值；(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值既小于函数y=kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m22．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB23．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：12.4

12.4

12.5

12.7

12.8

12.8

12.8

12.8

12.9

12.9c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056(1)表中m的值为_______；(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．24．如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．(1)求证：∠ADB=∠AOP；(2)延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=1225．工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T=0和T=3时，部分数据如下：x0123456789T=0时y的值07810121620232526T=3时y的值0263743m4850515253T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对x,y所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT．当T=1和T=2时，曲线C1，(1)观察曲线C1，当整数x的值为_______时，y(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C3(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点Pt,0作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N①若a=1，t=4，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点B2a,0的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a27．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°−2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．(1)如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC；(2)如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图，⊙O的半径为1．①在点A112,0，A243,0，A3②点B1,m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m(2)已知点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页北京市2025年中考数学真题参考答案题号12345678答案DDCACCBB1．D【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，故选：D．2．D【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，−2<a<−1<0<b<1，且b<【详解】解：由数轴得，−2<a<−1<0<b<1，且b∴a+b<0，a−b<0，故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，故选：D．3．C【分析】本题考查了多边形内角和公式，即n−2×180°，其中n【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是x°，∴每个内角的度数为：x°=6−2故选：C．4．A【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，∴摸出的球是白球的概率是13+2+1故选：A．5．C【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到Δ=0【详解】解：由题意，得：Δ=解得：a=1；故选C．6．C【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为4×10【详解】解：月球远地点距离为4×1045×4×10故选：C7．B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．连接AB,AC,BC，则由作图可得OA=OB,AC=BC=AB，那么△ABC为等边三角形，可证明△OAC≌△OBCSSS，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解∠OAC【详解】解：如图，连接AB,AC,BC，由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∵OC=OC，∴△OAC≌△OBCSSS∴∠1=∠2=12∠ACB=∴∠OAC=180°−∠1−∠3=180°−30°−50°=100°，故选：B．8．B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形OACB是矩形，∴S又∵M,N是反比例函数y=1xx>0图象上的动点，BN⊥y∴S∴S△OBC−S△OBN=由①可得S当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接AB，BM∴S∴N在直线BM上，则M,N重合，∴△MON与△MCN的面积不可能相等，故②不正确，∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且对称轴都为直线y=x，△MON可能是等边三角形，故④正确,如图当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误综上，①④正确、②③错误.故选：B．9．x≥1【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．【详解】解：∵3x−3在实数范围内有意义，∴3x−3≥0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．10．7【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：7=7=7m+2故答案为：7m+211．x=2【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．【详解】解：2去分母得：2x+x−6=0，移项，合并同类项得：3x=6，系数化为1得：x=2，检验，当x=2时，xx−6∴x=2是原方程的解，故答案为：x=2．12．1500【分析】本题考查了由样本估计总体，用2000乘以样本中BMI等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是2000×75故答案为：1500．13．−3（答案不唯一）1（答案不唯一）【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．根据举反例的方法找到a，b满足a2>4b【详解】解：当a=−3，b=1时，a2>4b故答案为：−3，1（答案不唯一）．14．43【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设FI与OG交于点K，先由三角形内角和定理求出∠OKF=43°，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，设FI与OG交于点K，∵∠DOB=∠FOB=23.5°，∴∠KOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，在△OFK中，∠FOK+∠OFK+∠OKF=180°，∠OFK=90°，∴∠OKF=43°，∵FH∥OG，∴∠IFH=∠OKF=43°，故答案为：43．15．38【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN=BM，继而得出S△ABF=S【详解】解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABC=∠FMC，∴AB∥∴FN=BM，∵S△ABF∴S△ABF∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°，∴∠BFC=90°,∠BCF=60°,CF=1∴∠CFM=90°−∠BCF=30°，∴CM=1∴BM=BC−CM=3∴S△ABF故答案为：3816．B157【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．【详解】解：（1）当n=2时，A经销商的利润为60，比n=1时增加60−40=20（万元），B经销商的利润为55，比n=1时增加55−30=25（万元），C经销商的利润为40，比n=1时增加40−20=20（万元），D经销商的利润为38，比n=1时增加38−14=24（万元），∵25>24>20，∴应向经销商B分配2台设备．（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元，当分配给多家销售时：当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），当分配给三家时，最大利润为40+55+62=157（万元），当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元．故答案为：B，15717．4+3【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．【详解】解：−3=3+3=4+3318．−3<x<1【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2解不等式①得：x>−3，解不等式②得：x<1，∴原不等式组的解集为−3<x<1．19．4【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将a+b−3=0变形，进行整体代入求值．【详解】解：原式===4∵a+b−3=0，∴a+b=3，∴原式=420．(1)见解析(2)BC=8【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC，即可证明平行四边形DFCG是矩形；（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD=62；过点A作AH⊥BC于H，解Rt△ABH得到【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥CF，即DG∥CF，∵DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5，∴CF=DG=5；∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°，在Rt△BDF中，∠B=45°，DF=3∴BD=DF∴BC=BF+CF=8；∵点D为AB的中点，∴AB=2BD=62如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，AH=AB⋅∴CH=BC−BH=2，在Rt△AHC中，由勾股定理得A21．(1)k=2(2)2≤m≤3【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得函数y=kx+bk≠0的解析式为y=2x+1，函数y=x+k的解析式为y=x+2，当mx<2x+1时，则m−2x<1，当mx<x+2时，则m−1x<2，根据当x<1时，两个不等式都成立可得m≥2；当m=2，x<1时，2x<2x+1和x<2恒成立；当m>2时，则x<1m−2且x<2m−1，再分当1【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点1,3和2,5∴k+b=32k+b=5解得k=2b=1（2）解：由（1）可得函数y=kx+bk≠0的解析式为y=2x+1，函数y=x+k的解析式为y=x+2当mx<2x+1时，则m−2x<1当mx<x+2时，则m−1x<2∵当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值既小于函数y=kx+b的值，也小于函数y=x+k∴m−2≥0，且m−1≥0，∴m≥2，当m=2，x<1时，2x<2x+1和x<2恒成立，故m=2符合题意；当m>2时，则x<1m−2且当1m−2≥2解不等式1m−2≥2m−1得∴2<m≤3；当1m−2<2解不等式1m−2<2m−1得m>3，解不等式综上所述，2≤m≤3．22．80【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为5x−10cm，BC=595x−10cm，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x【详解】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为5x−10cm，BC=595x−10cm，AB=CD=x由AD=AB+BC+CD，可得：5x−10=x+595x−10所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm答：这只风筝的骨架的总高80cm23．(1)12.5(2)<(3)乙、丁、甲、丙【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）根据中位数定义即可求解m；（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：12.1,12.1,12.5,12.5,12.5,12.5,12.5,12.7,12.7,12.9，∴中位数m=12.5+12.5故答案为：12.5；（2）解：乙的10次测试成绩平均数为：12.6+12.6+12.3+12.5+12.5+12.7+12.5+12.7+12.4+12.210∴方差为：n=∴n<0.056，故答案为：<；（3）解：丙的平均数p=12.4+12.4+12.5+12.7+12.8+12.8+12.8+12.8+12.9+12.9∴丙的平均数最大，则实力最弱，∵方差0.024<0.034<0.056，∴乙实力最强，∵丁的测试成绩中位数为12.45，∴第5,6次成绩和为24.9，∴前5次测试成绩小于平均数，∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，∴丁比甲强，∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，故答案为：乙、丁、甲、丙．24．(1)见解析；(2)DE长为44．【分析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠ADB=1（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE长．【详解】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=1又∵AB=∴∠ADB=1∴∠ADB=∠AOP．（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF=90°，∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴PA⊥OA∵C为OP的中点，∴PC=OC，∴AC=OC=1又∵AP=10，tan∠AOP=∴AO=APOP=AAC=OC=12OP=5∵AC=OC，∴∠CAO=∠AOC，又∵∠PAO=∠ADF=90°，∴PO∴DA=20105∵∠AOP=∠ADB，∠ACO=∠ECD，∴△ACO∽△ECD，∴AO∴DE=11【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．25．(1)6(2)m=46；画图见解析(3)①7；②1【分析】（1）找C1图象上y（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，C3：T=3x=4时y=46，得T+x=7；C2：T=2，当x=6时y=45，得T+x=8，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习T=0日，T=1日，【详解】（1）解：由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y故答案为：6（2）解：∵T=3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个∴相差48−43=5（个），把5分成两个接近的数，5=3+2，∴第4日增加3个，第5日增加2个，∴m=43+3=46，画出T=3时的曲线C3（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有C2与CC3：T=3日的模拟练习，然后试制阶段第x=4日制成的合格品达到y=46∴T+x=7；C2：T=2日的模拟练习，然后试制阶段第x=6日制成的合格品达到y=45∴T+x=8，∵7<8，故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；故答案为：7；②当模拟练习T=0日时，4日内的试制时间x=4−0=4日，4日的合格产品分别是7，8，10，12，∴合格产品共有7+8+10+12=37；当模拟练习T=1日时，4日内的试制时间x=4−1=3日，3日的合格产品分别是12，19，26，∴合格产品共有12+19+26=57；当模拟练习T=2日时，4日内的试制时间x=4−2=2日，2日的合格产品分别是20，30，∴合格产品共有20+30=50；当模拟练习T=3日时，4日内的试制时间x=4−3=1日，1日的合格产品是26；∵26<37<50<57，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．故答案为：1．【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．26．(1)0，b=−2a(2)①4；②a≤34【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．（1）分别将O0,0，O（2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案；②首先确定MN=at2−3at，再分【详解】（1）解：将点O0,0代入，抛物线y=a可得c=0，∴该抛物线解析式为y=ax将点A3,3a代入，抛物线y=a可得3a=9a+3b，解得b=−2a；（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为y=x2−2x当t=4时，可有点P4,0如下图，∵PM⊥x轴，∴xM将x=4代入y=x2−2x，可得y=将x=4代入y=x，可得y=4，即N4,4∴MN=8−4=4；②当点P从点O运动到点B2a,0∵PM⊥x轴，Pt,0∴xM将x=t代入y=ax2−2ax，可得y=a将x=t代入y=ax，可得y=at，即Nt,at∴MN=a令MN=0，即at2−3at=0，解得t=0若a>0，可有2a>0，即点B在y轴右侧，如下图，当0<t≤3时，可有MN=−at2+3at若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则2a≤32，解得当t>3时，可有MN=at2−3at若a<0，可有2a<0，即点B在y轴左侧，如下图，当t<0时，可有MN=−at2+3at若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则2a≤32，解得∴a<0．综上所述，a的取值范围为a≤34且27．(1)见解析(2)DF=2BC【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；（1）根据α=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据旋转可得AE=AD=AC，∠EAB=90°−∠BAC=45°，进而证明四边形ABFE是平行四边形，得出BF=AE，BF=AC；即可得证；（2）在DB上取一点G，使得AG=AB，证明△DAG≌△EABSAS得出DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°−∠AGC=180°−α，进而根据三角形内角和定理得出∠FBE=180°−2α，根据平行线的性质得出∠BFE=∠ABF=α，进而得出∠BEF=α，根据等角对等边可得BE=BF，则DG=BF，根据三线合一可得GC=BC，进而根据DF=BD−BF=BD−DG=BG=2BC【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴∠BAC=∠ABC=45°∵线段AD绕点A逆时针旋转180°−2×45°=90°得到线段AE，点D与点C重合∴AE=AD=AC，∠EAB=90°−∠BA