八年级数学下册《正方形的判定 第2课时》教案版

21四边形正方形的判定主讲人：wtR·八年级数学下册1.掌握正方形的判定方法．2.巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握，

培养对知识的综合运用能力．学习目标平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等四条边都相等对边平行，四条边都相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角对称性不是轴对称图形轴对称轴对称轴对称复习回顾王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合.王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾.你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？【选自教材第78页练习第3题】探索新知活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.正方形猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直尝试证明已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO.又∵AC⊥DB，∴AB=BC.∴四边形ABCD是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形菱形一个角是直角对角线相等尝试证明已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，∴四边形ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.正方形判定的几条途径：先判定菱形正方形①有一个直角②对角线相等先判定矩形正方形①一组邻边相等②对角线垂直平行四边形正方形①一组邻边相等且有一个直角②对角线相等且垂直归纳总结▶1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的矩形；（3）对角线相等的菱形；（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.解：分别满足条件（1）（2）（3）（4）的四边形都是正方形.【选自教材第78页练习第1题】练习2.如图，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，CD

平分∠ACB，

DE

⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

求证：四边形CEDF是正方形.证明：∵DE

⊥BC，DF

⊥AC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∠ACB=90°，∴四边形CEDF

是矩形.∵CD

平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF=DE.∴矩形CEDF

是正方形.【选自教材第78页练习第2题】如图，E，F，G，H

分别是正方形ABCD

四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH

是正方形.例6ABDCFHEG123分析：要证明四边形EFGH

是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG

全等得出.证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴AB=BC=CD=DA.又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.ABDCFHEG123∴HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH

是菱形.∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.∴∠HEF=180°－(∠1+∠3)=90°.∴四边形EFGH

是正方形.1.

如图，在矩形

ABCD

中，∠ABC

的平分线交对角线

AC

于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形

EFBG

的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE=∠BGE=90°，∴四边形EFBG是矩形．∵BE为∠ABC的平分线，∴EF=EG，∴矩形EFBG是正方形．ADBCEFG2.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB，CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形AECF

是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，OE=OF．∵DE=BF，∴OE+DE=OF+BF，即DO=BO，∴四边形ABCD

是平行四边形．又AC⊥BD，∴四边形ABCD

是菱形．∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．∴四边形ABCD

是正方形．3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．（1）求证：BE=CM；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM．在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.求证：四边形AEFN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．∵AE=EF，∴EF=AN．∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，∴四边形AEFN是平行四边形．∵AE=EF，∴