2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1．直线的倾斜角为．2．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为．3．函数的图像在处的切线方程为．4．已知随机变量的分布为，且，则．5．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则x＝．6．已知，则的最小值是．7．设集合，，，（其中，为虚数单位）．若，则实数的取值范围是．8．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为．9．已知．则．10．已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是．11．已知椭圆，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为．12．将集合，2，，划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有种．二、选择题13．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（）A． B． C． D．14．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等15．我国“天宫勘探计划”中，自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（）A．（A）（B） B． C． D．（A）（B）（C）16．若不恒为零的函数满足，在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题：命题：若是“1级导同函数”，则．命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图象经过三个象限．则（）A．命题真命题，命题真命题 B．命题真命题，命题假命题 C．命题假命题，命题真命题 D．命题假命题，命题假命题三、解答题17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．18．为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下：年份（年201420152016201720182019202020212022颗粒物浓度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.864.614.464.053.082.462.181.611.531.35记年份为，颗粒物浓度，，，9．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中，，，是常数，是自然常数，假设．（1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由．（2）在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到19．已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点．（1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标；（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标；（3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值．20．对于函数图像上不同的三点，、，、，（其中，，记点处的切线为，若，则称为函数在区间，上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间，上的“和谐点”．（1）设，，是函数在区间上的“点”，若求实数的值；（2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合；（3）设试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐点”的区间，，若存在，求出该区间，；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题1．．2．．3．．4．0.6．5．5．6．．7．，．8．．9．2410．．11．．12．36．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题18．解：（1）年份递增时，颗粒物浓度递减，因此与负相关，；，递减时同步递减，因此与负相关，．令，那么，1，2，，8，，计算得，，，，，，因为，说明与的线性相关性更强，因此模型②的拟合效果更好．（2）对于，得：，所以，回归直线过样本中心点，将，代入得：，解得，因此，那么，2026年对应，代入方程得：．19．解：（1）设，，由题，，故，将代入抛物线，得，因此，点的坐标为或；（2）证明：由题，设直线方程：，，，，，由，得，即，即，得，联立方程，得，△，，故，直线方程：．由此证明，直线过定点，定点坐标为．（3）由题意，设直线，，，，，，，由，得，，得直线，联立方程，得，得，同理可得，，即，因此，，，故（等号当且仅当成立）．综上，的最小值为．年份（年20142015