初中八年级数学《分式》单元整体教学设计与导学案

初中八年级数学《分式》单元整体教学设计与导学案

  一、单元教学整体分析

  （一）课标要求与核心素养对接

  根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域第三学段（7-9年级）的要求，学生需要理解分式和最简分式的概念，掌握分式的基本性质，能进行简单的分式加、减、乘、除运算。本单元的学习是继整式、方程（一元一次方程、二元一次方程组）之后，代数知识体系的又一次重要扩展，是从“整数”到“分数”、从“整式”到“分式”的数学认知结构上的飞跃。在核心素养层面，本单元教学旨在重点发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。通过从具体情境中抽象出分式概念，学生经历从特殊到一般的归纳过程，锻炼数学抽象能力。在探究分式基本性质及运算法则时，通过类比分数，进行合情推理与演绎证明，强化逻辑推理能力。在复杂的分式运算中，通过确定最简公分母、因式分解、约分等步骤，培养严谨、有序、高效的数学运算能力。此外，在解决与分式相关的实际问题时，渗透数学建模思想，提升应用意识。

  （二）单元内容结构及逻辑关系

  本单元以“分式”为核心概念，构建了“概念-性质-运算-应用”四位一体的知识逻辑链。起点是“分式的概念”，明确研究对象，这是整个单元的认知基础。紧接着是“分式的基本性质”，它是沟通分式变形的桥梁，是后续约分、通分乃至所有分式运算的理论根基，其地位犹如等式的性质之于方程。在基本性质的基础上，衍生出“分式的约分与最简分式”、“分式的乘除法”以及“分式的加减法”（包括同分母与异分母）三大运算模块。其中，约分是乘除法运算的预备与简化步骤，通分是加减法运算（尤其是异分母加减）的关键前提。分式的乘除与加减共同构成了分式四则运算的完整体系。最后，“分式方程”作为分式知识的综合应用，将分式置于方程的背景中，通过化分式方程为整式方程（转化思想），解决更为复杂的实际问题，同时引出“增根”这一重要概念，深化对分式有意义的理解。整个知识结构环环相扣，层层递进，体现了从定义到性质，再到应用（运算与方程）的数学知识构建典型路径。

  （三）学情分析与教学挑战预测

  学习本单元的学生（八年级）已具备较为扎实的整式运算、因式分解以及分数运算的知识基础，并初步掌握了代数思维和类比学习方法。心理认知上，该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于快速发展期，能够接受并理解更具一般性的代数符号体系。然而，从“数”到“式”的抽象程度提高，以及分式自身定义中“分母不为零”的隐含条件，是学生认知上的第一个难点，容易在后续运算中忽略字母的取值范围。其次，类比分数学习分式是高效的学习策略，但学生可能产生“负迁移”，例如，忽视分式中分子、分母可能是多项式这一复杂性，在约分、通分时处理不当。第三，分式运算步骤繁多，综合性强，需要灵活、连贯地运用因式分解、符号法则、找最简公分母等多种技能，这对学生的运算习惯和耐心是巨大考验，容易出现符号错误、分解不彻底、运算不简约等问题。最后，分式方程的应用题涉及寻找等量关系、设未知数、解方程及验根多个环节，且情境可能更复杂，对学生分析问题和数学建模的能力提出了更高要求。

  （四）单元整体教学目标

  1.知识与技能目标：理解分式的概念，能确定分式有意义的条件及分式的值为零的条件；掌握分式的基本性质，并能运用其进行分式的约分和通分；熟练掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能进行简单的混合运算；了解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因及验根的必要性；能列分式方程解决简单的实际问题。

  2.过程与方法目标：经历从具体情境中抽象出分式概念的过程，体会类比（分数）、归纳等数学思想方法；通过探索分式基本性质和运算法则，发展合情推理与演绎推理能力；在解决分式运算和分式方程的问题中，体会转化（化归）思想（如将异分母分式加减转化为同分母，将分式方程转化为整式方程）；通过解决实际问题，提升从数学角度分析、提炼和表达现实世界数量关系的能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在探索分式知识的过程中，感受数学知识之间的内在联系（如分数与分式、整式与分式、方程与分式方程），增强对数学知识体系整体性的认识；通过克服分式运算中的困难，培养细致、严谨、锲而不舍的数学学习品质；在应用分式方程解决实际问题的成功体验中，增强数学应用意识，感悟数学的价值。

  二、单元教学整体规划

  本单元计划采用“大单元教学”理念进行整体规划，打破传统课时壁垒，以核心概念“分式”为主线，设计连贯的、螺旋上升的学习任务群。规划总课时为8课时，具体安排如下：第一课时为“分式的概念与意义”，重点构建分式模型，理解其数学本质。第二、三课时为“分式的基本性质与约分、通分”，此为运算基石，需充分探究与练习。第四课时为“分式的乘除运算”。第五、六课时为“分式的加减运算”，此部分为难点，需分解步骤，逐层突破。第七课时为“分式的混合运算与简单应用”，进行综合与提升。第八课时为“分式方程及其应用”，完成知识向实践的迁移。评估方式贯穿全程，包括课前诊断性评价、课中过程性评价（观察、提问、小组讨论、任务单）和课后终结性评价（单元测试、实践项目报告）。

  三、学习资源与环境准备

  为支持深度学习和差异化教学，需准备以下资源：核心文本为北师大版八年级上册数学教材及配套教师用书。技术支持包括交互式白板或智慧课堂系统，用于动态演示分式基本性质的变形过程、展示学生解题过程；安装图形计算器或数学软件（如GeoGebra），用于可视化验证分式函数图像或方程解。实验材料包括用于情境创设的实物模型或卡片（如分配任务卡片）。拓展资源包括精心筛选的在线微课视频（针对难点如找最简公分母的策略）、分层次练习题库（基础巩固、能力提升、拓展探究）、以及与物理（速度、密度）、经济（价格、成本）相关的跨学科实际问题素材。学习环境建议布置为合作学习小组形式（每组4-6人），便于开展探究活动和讨论交流。

  四、单元学习评价方案

  本单元评价遵循“教学评一体化”原则，采用多元、多维的评价方式。过程性评价（权重60%）包括：课堂参与度（观察学生倾听、发言、提问的积极性）；探究活动表现（在小组活动中表现出的合作能力、探究深度和思维贡献）；阶段性任务单完成质量（反映对概念的理解和技能的掌握程度）；作业情况（书写规范性、思路清晰度、错误订正态度）。终结性评价（权重40%）为单元测试，试题设计将涵盖概念辨析（如判断分式、确定有意义的条件）、基础运算、综合运算、分式方程求解与应用，并设置一道开放性或探究性题目，考查学生的高阶思维。此外，鼓励学生进行自我反思与小结，撰写本单元学习心得，作为评价的参考。

  五、第一课时详细教学流程：分式的概念与意义

  （一）课时核心目标

  1.能准确识别分式，理解分式是两个整式相除（分母含有字母）的代数表达形式。

  2.能根据已知条件求出分式有意义的字母取值范围，以及分式值为零的条件。

  3.经历从实际问题抽象出分式的过程，体会分式是刻画现实世界数量关系的有效模型，初步形成数学抽象素养。

  （二）教学重点与难点

  教学重点：分式的概念及有意义的条件。

  教学难点：灵活求解分式有意义的复杂条件（如分母为多项式），以及理解分式值为零时需同时满足“分子为零且分母不为零”。

  （三）教学准备

  教师准备多媒体课件，呈现问题情境；设计并打印《课堂探究任务单（一）》；准备小组讨论记录板。学生复习整式、单项式、多项式的概念及除法意义。

  （四）教学过程实施

  1.情境导入，孕伏新知（预计时间：8分钟）

  师生活动：教师呈现一组精心设计的生活与科学情境问题。

  情境一：（速度问题）一艘轮船在静水中的航速为30千米/时，江水的流速为v千米/时。若轮船顺流航行100千米，需多少小时？逆流航行100千米，又需多少小时？

  引导学生列式：顺流时间t₁=100/(30+v)；逆流时间t₂=100/(30-v)。

  情境二：（面积问题）如图，一个长方形的面积为10平方米，长为（x+2）米，则宽可表示为？宽=10/(x+2)米。

  情境三：（经济问题）某书店用100元购进一批图书，按每本a元的价格售出，当售出b本后，剩下的图书按每本c元降价处理。则售出b本后的总收入可表示为？ab+c*((100/a)-b)？此式稍复杂，可简化为：总收入=ab+c(100/a-b)。其中100/a表示购进的总本数。

  设计意图：从学生熟悉的物理、几何、经济背景出发，引出含有除法运算且除式中含有字母的代数式。这些式子与已学的整式形成鲜明对比，制造认知冲突，激发学生学习新表达式的内在需求。同时，让学生直观感受分式模型在描述现实关系时的简洁性与必要性。

  2.探究归纳，建构概念（预计时间：12分钟）

  师生活动：教师引导学生观察上述列出的代数式：100/(30+v)，100/(30-v)，10/(x+2)，100/a，(100/a-b)等。提出核心问题串：

  问题1：这些式子与我们已经学过的整式（如3x，x+2y，a²b等）在形式上有什么最显著的不同？

  （预设学生回答：它们都含有除法，而且分母里面有字母。）

  问题2：你能尝试用语言描述一下这类式子的共同特征吗？

  （引导学生描述：像这样，用A、B表示两个整式，A÷B（B中含有字母）就可以表示成A/B的形式，其中B必须含有字母。）

  问题3：类比分数（如3/4是整数3除以整数4）的定义，你能给这类式子下一个定义吗？

  学生独立思考后小组讨论，尝试给出定义。教师巡视指导，收集有代表性的表述。

  随后，教师呈现规范定义：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成A/B的形式。如果B中含有字母，那么称A/B为分式（fraction）。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

  教师强调定义中的关键点：（1）A，B都是整式；（2）B中含有字母。这是分式区别于整式的本质特征。

  即时辨析练习：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

  1/x，(x+y)/3，(m-n)/(m+n)，2a-5，3/(π)，(x²-1)/(x-1)

  学生口答并说明理由。重点辨析(x+y)/3（分母是数字3，是整式中的多项式）；3/(π)（π是常数，不是字母，故是整式）；(x²-1)/(x-1)（尽管可化简为x+1，但形式上分母含有字母，在未说明x是否等于1的情况下，它首先是分式）。通过辨析，深化对分式形式化定义的理解，避免因化简而混淆概念。

  设计意图：遵循“具体感知-抽象概括-形成定义”的认知规律。通过对比、类比，引导学生自主发现分式的形式特征，并尝试定义，经历数学概念的产生过程。即时辨析起到巩固和澄清概念的关键作用，特别是对易错点的提前干预。

  3.深度辨析，理解“意义”（预计时间：15分钟）

  师生活动：这是本节课的难点突破环节。教师首先引导学生回顾：在小学学分数时，我们知道分数的分母不能为零。那么，对于分式A/B，分母B应该满足什么条件？为什么？

  学生容易得出：分母B不能等于零。因为除数为零没有意义。

  由此引出核心概念：分式有意义的条件——分母不等于零。即，当B≠0时，分式A/B才有意义。

  探究活动一：求分式有意义的条件。

  例1：当x取何值时，下列分式有意义？

  （1）5/(3x)；（2）(x+2)/(x-3)；（3）1/(x²-4)；（4）(|x|-1)/(x+1)。

  学生独立完成，教师板书示范解题规范。对于（1）（2），学生较易解决。对于（3），引导学生将分母多项式x²-4因式分解为(x+2)(x-2)，从而得出x≠2且x≠-2。强调“且”的关系。对于（4），分母为x+1，只需x≠-1。分子中的绝对值不影响分式有意义的条件。

  探究活动二：探究分式的值为零的条件。

  问题：在分式有意义的背景下，分式的值何时为零？（引导学生类比分数：分子为零，分母不为零时，分数值为零。）

  学生归纳：分式的值为零的条件是——分子等于零且分母不等于零。二者必须同时满足。

  例2：当x取何值时，下列分式的值为零？

  （1）(x-2)/(x+3)；（2）(|x|-2)/(x-2)；（3）(x²-4)/(x-2)。

  学生小组合作完成。重点分析（2）：分子|x|-2=0，得x=2或x=-2。但需检验分母：当x=2时，分母x-2=0，分式无意义，故舍去；当x=-2时，分母-2-2=-4≠0，符合。所以x=-2。对于（3）：分子x²-4=0，得x=2或x=-2。检验：当x=2时，分母为0，舍去；当x=-2时，分母不为0。故x=-2。教师强调验根是必不可少的步骤。

  设计意图：分式的“意义”（存在性）和“值为零”是理解分式概念的两个深层次问题。通过例题的梯度设计，从简单分母到需因式分解的多项式分母，再到涉及绝对值的复杂情况，层层递进，引导学生掌握分析问题的方法（先处理分母，再处理分子，最后联立检验）。小组讨论促进思维碰撞，教师示范规范解题格式，确保难点有效突破。

  4.巩固应用，内化理解（预计时间：8分钟）

  师生活动：学生独立完成《课堂探究任务单（一）》上的巩固练习部分。练习设计为两个层次：

  基础巩固：

  1.下列式子是分式的有______________。（填序号）

  ①2/(a)②(x-1)/5③1/(π+1)④(3x)/(x²+1)⑤(c)/(a+b)(a,b,c为常数)

  2.当x为何值时，分式(x)/(2x-6)有意义？

  3.当x为何值时，分式(x²-9)/(x+3)的值为零？

  能力提升：

  4.已知分式(x+1)/(2x-1)。(1)当x=0，1/2，-1时，分式的值分别是多少？(2)当x取何值时，分式无意义？(3)当x取何值时，分式的值为正数？（此问作为思维拓展）

  教师巡视，个别辅导。完成后，通过投影展示学生答案，进行集体订正。对于第4题第（3）问，可请思路清晰的学生简要分享：分式值为正，即分子分母同号，故需解不等式组(x+1>0且2x-1>0)或(x+1<0且2x-1<0)。

  设计意图：通过分层练习，使不同水平的学生都能获得成功的体验。基础题确保全体学生掌握核心概念和基本技能。提升题将数值代入、有意义条件、值的情况（零、正负）综合在一起，培养学生全面、动态地分析分式问题的能力，并为后续学习埋下伏笔。

  5.反思小结，体系初建（预计时间：2分钟）

  师生活动：教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行小结。

  知识层面：今天我们学习了什么是分式（形式定义），分式有意义的条件（B≠0），以及分式值为零的条件（A=0且B≠0）。

  方法层面：我们用了什么方法来学习新知识？（类比分数）在研究分式有意义和值为零时，我们采用了怎样的分析步骤？（先看分母，再看分子，最后联立检验）

  思想层面：从实际问题中我们抽象出了分式，体现了数学建模思想；将分式与分数类比，体现了类比思想。

  教师最后点明：分式是一个新的代数工具，它将在描述更复杂的数量关系和解决更广泛的问题中发挥巨大作用。下节课我们将研究分式是否也具有类似分数的“基本性质”。

  设计意图：引导学生自主梳理课堂所学，将零散的知识点串联成线，并上升到学习方法与数学思想的高度。结语既总结了本节课，又为下一课时的学习做了铺垫，保持单元学习的连贯性。

  六、第二、三课时核心环节设计：分式基本性质的探究与应用

  （一）课时核心目标

  1.通过类比分数基本性质，探索并理解分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

  2.能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分，将一个分式化为最简分式。

  3.能熟练运用分式的基本性质进行分式的通分，找到几个分式的最简公分母。

  4.在探究和运用性质的过程中，进一步发展类比、猜想、证明的推理能力，体会数学中的“变与不变”思想。

  （二）核心教学流程片段（探究与突破）

  1.性质探究（第二课时前半段）：

  复习导入：分数的基本性质是什么？用字母如何表示？（a/b=(a×c)/(b×c)=(a÷c)/(b÷c)(c≠0)）

  猜想：你认为分式是否也具有类似的性质？请举例说明你的猜想。

  学生活动：以小组为单位，每人构造一个分式（如2x/(3y)），尝试给它的分子和分母同乘一个非零整式（如m），得到新的分式(2x*m)/(3y*m)，利用具体数值代入原分式和新分式，观察值是否相等。再尝试同除以一个公因式。

  汇报与归纳：小组汇报举例验证结果。教师引导学生用数学语言描述发现的规律，并尝试进行一般性证明（说明：设原分式为A/B(B≠0)，同乘整式M(M≠0)，得(A×M)/(B×M)。根据分式定义和除法运算性质，A/B=A÷B，(A×M)/(B×M)=(A×M)÷(B×M)=(A÷B)×(M÷M)=A÷B×1=A/B。从而证明其值不变）。

  形成性质：板书分式的基本性质，强调“都”、“同一个”、“不等于零的整式”这三个关键词。与分数基本性质对比异同（运算对象从数扩展到式）。

  2.约分教学（第二课时后半段）：

  概念建立：类比分数约分，引出分式约分的概念：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

  探究活动：如何对分式(6a²b)/(8ab²)进行约分？

  学生尝试：可能出现直接约去a、b得到6a/8b，或先找出系数最大公约数2和公因式ab，得到(2a)/(4b)，教师引导学生认识到这还不是最简结果。引出最简分式的概念：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分通常要约到最简分式。

  规范步骤示范：

  （1）若分子分母是单项式：①系数：约去最大公约数；②字母：约去相同字母的最低次幂。

  （2）若分子分母是多项式：①先进行因式分解；②再约去公因式。

  例：约分(x²-4)/(x²-4x+4)。解：原式=((x+2)(x-2))/((x-2)²)=(x+2)/(x-2)。强调：约去的是整个因式(x-2)，不是单独的x或2。

  3.通分教学（第三课时）：

  问题驱动：如何计算1/2+1/3？需要先通分，找到分母2和3的最小公倍数6。类比地，如何计算1/(2x)+1/(3y)？这就需要找到两个分式分母的公倍式，即通分。

  概念建立：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。这个相同的分母叫做最简公分母。

  探究活动：如何确定分式1/(2x²y)与1/(3xy²)的最简公分母？

  引导学生类比分数找最小公倍数的方法：①系数取各分母系数的最小公倍数；②字母因式取各分母中所有字母的最高次幂的积。

  尝试得出：系数最小公倍数为6；字母x取最高次幂x²；字母y取最高次幂y²。故最简公分母为6x²y²。

  深化探究：对于分母是多项式的分式，如1/(x²-4)与1/(x²-4x+4)，如何找最简公分母？

  关键步骤：先将各分母因式分解。

  x²-4=(x+2)(x-2)；x²-4x+4=(x-2)²。

  则最简公分母为各因式的最高次幂的积：(x+2)(x-2)²。

  通分示范：将上述两个分式通分。

  1/(x²-4)=1/((x+2)(x-2))=(x-2)/((x+2)(x-2)²)；

  1/(x²-4x+4)=1/((x-2)²)=(x+2)/((x+2)(x-2)²)。

  设计意图：将性质、约分、通分紧密串联。通过类比猜想、举例验证、逻辑证明完整地得出性质，培养学生的科学探究精神。约分和通分的教学，均从简单（单项式分母）到复杂（多项式分母），强调因式分解这一关键预备技能，并反复通过对比、归纳，让学生掌握确定公因式和最简公分母的系统方法。这两项技能是分式运算的“基本功”，必须投入足够时间进行扎实训练。

  七、第四至七课时教学思路聚焦：分式运算的层级推进

  分式运算教学遵循“先乘除，后加减，混合运算讲顺序”的总体原则，但在教学中更注重算理的理解和技能的内化。

  （一）分式的乘除（第四课时）：

  核心是类比分数乘除法则。通过具体例子（如(2/3)×(4/5)=?，(2/3)÷(4/5)=?）回顾分数运算法则。引导学生猜想分式乘除法则。

  法则归纳：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即A/B×C/D=(A×C)/(B×D)。除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘。即A/B÷C/D=A/B×D/C=(A×D)/(B×C)。

  教学关键点：

  1.强调运算结果的呈现形式：必须是最简分式。因此，乘除运算通常按以下步骤进行：①若是除法，先转化为乘法；②分子、分母是多项式的，先进行因式分解；③约分（可在相乘前进行交叉约分，简化计算）；④将剩余的分子、分母分别相乘。

  2.设置易错题辨析：如(-x)/y×y/(-z)的符号处理；涉及复杂多项式因式分解的题目。

  （二）分式的加减（第五、六课时）：

  这是本单元的技能难点，尤其是异分母分式加减。教学必须循序渐进。

  1.同分母分式加减（第五课时前半）：

  类比同分母分数加减（如2/7+3/7=5/7），法则极易得出：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。即A/C±B/C=(A±B)/C。

  教学关键点：强调“把分子相加减”是指将分子的多项式作为一个整体进行加减运算，需添加括号。例如：(x+2)/(x-1)-(x-3)/(x-1)=((x+2)-(x-3))/(x-1)=(5)/(x-1)。去括号时要注意符号。

  2.异分母分式加减（第五课时后半及第六课时）：

  这是运算教学的攻坚环节。核心思想是：转化。通过通分，将异分母分式加减转化为同分母分式加减。

  教学步骤分解：

  第一步：复习巩固找最简公分母的技能（第三课时内容）。

  第二步：建立一般步骤模型：①找最简公分母；②通分，将各分式化为同分母分式；③按同分母分式法则计算；④化简结果（约分至最简形式）。

  第三步：分层例题教学：

  例1：分母为单项式。如1/(2x)+1/(3y)。重点训练确定最简公分母和通分。

  例2：分母为可因式分解的多项式。如1/(x²-9)-1/(x²+6x+9)。这是重点题型，必须强调先分解分母：x²-9=(x+3)(x-3)，x²+6x+9=(x+3)²。最简公分母为(x+3)²(x-3)。

  例3：分子、分母均为多项式，且运算后分子可约分或需进一步因式分解。如(x+1)/(x-1)-(x-1)/(x+1)。通分计算后，分子为(x+1)²-(x-1)²=4x，分母为(x-1)(x+1)，结果为4x/(x²-1)。虽已无公因式，但提醒学生检查是否是最简形式。

  例4：涉及整式与分式的加减。如x-1/(x-1)。将整式x视为分母为1的分式x/1，再进行通分。

  （三）分式的混合运算及简单应用（第七课时）：

  本课时是运算的综合与提升。重点在于运算顺序和解题策略。

  1.明确运算顺序：与有理数混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。

  2.强化解题策略：①对复杂算式，先观察整体结构，确定运算顺序；②每一步运算都严格遵循相应法则；③随时进行因式分解和约分，使运算过程简化；④最后结果必须为最简分式或整式。

  3.设计综合性例题：包含乘方、乘除、加减、括号等多种运算。如[(a/(a-b)-1)÷(b²/(a²-b²))]+(a/b)。引导学生分步拆解。

  4.引入简单应用：将运算技能置于实际问题中。例如：一项工程，甲队单独完成需要a天，乙队单独完成需要b天，则甲队一天完成多少？乙队一天完成多少？两队合作一天完成多少？(答案是：1/a，1/b，1/a+1/b)。此类问题为后续分式方程应用题做铺垫。

  八、第八课时核心设计：分式方程及其应用

  （一）课时核心目标

  1.能识别分式方程，理解分式方程与整式方程的区别。

  2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法，理解“去分母”可能产生增根的原因，并养成验根的习惯。

  3.能根据实际问题中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程，并求解和解释结果的合理性。

  （二）教学重点与难点

  教学重点：分式方程的解法（去分母、化整式方程、解整式方程、检验）。

  教学难点：理解增根的产生原因；从复杂实际问题中抽象出等量关系并列出分式方程。

  （三）教学过程核心环节

  1.概念建立与解法初探：

  情境引入：回顾之前学过的行程、工程问题。提出新问题：小明从家到学校的路程是s千米，平时骑车的速度是v千米/时，可以准时到校。今天出发晚了10分钟，他需要将速度提高到多少才能准时到校？引导学生列出方程：s/v=s/x+10/60（或s/v=s/x+1/6），其中x是所需速度。观察此方程，与以往学过的方程有何不同？（分母中含有未知数）引出分式方程的定义。

  探究解法：如何解方程1/(x-1)=2/x？

  学生可能会想到交叉相乘：x=2(x-1)。教师肯定此想法，并指出其实质是方程两边同乘了最简公分母x(x-1)，从而将分式方程化为整式方程。这就是解分式方程的核心思路——转化。

  归纳一般步骤：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；③解这个整式方程；④检验（将求得的整式方程的根代入最简公分母，若使公分母为零，则为增根，舍去；否则是原方程的根）；⑤写出原方程的根。

  2.增根问题的深度理解：

  演示一个会产生增根的方程：x/(x-2)-1=4/(x²-4)。按步骤求解，得到整式方程的解为x=2。检验：当x=2时，公分母(x-2)(x+2)=0，所以x=2是增根，原方程无解。

  组织讨论：为什么会出现增根？增根是从哪里来的？

  引导学生思考：在“去分母”这一步，我们在方程两边同乘了一个含有未知数的整式（最简公分母）