2027届新高考数学热点精准复习 空间点、直线、平面之间的位置关系

2027届新高考数学热点精准复习空间点、直线、平面之间的位置关系【课标要求】1.掌握平面的基本性质，在充分理解本讲基本事实的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系.2.掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化.3.掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角.【知识要点】1.平面的基本性质(1)基本事实1:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(2)基本事实2:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.(3)确定平面的条件:①

可确定一个平面.

②一条直线和

一点可确定一个平面.

③两条

直线可确定一个平面.

(4)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线.不共线的三点其外相交或平行2.空间两直线的位置关系

(2)异面直线所成的角①定义:设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围:

.

锐角(或直角)

3.基本事实平行于同

的两条直线互相平行.

(1)位置关系的分类一条直线【基础检测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β=a.(

)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(

)(3)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(

)(4)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)(5)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.(

)√×√××2.已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α=20°，则β=(

)A.20° B.160°C.20°或160° D.不能确定C[解析]

因为角α的两边和角β的两边分别平行，所以α，β相等或者互补，所以β=20°或160°.3.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

)A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥αD[解析]

由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.故选D.4.[必修2p147例1改编]在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，则直线BA'与AC所成角的余弦值为

.

[解析]

如图，连接CD'，

5.[必修2p143T5]如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件

时，四边形EFGH为菱形;

(2)当AC，BD满足条件

时，四边形EFGH为正方形.

AC=BDAC=BD且AC⊥BD

考点1基本事实及其应用例1

(1)下列图形中，一定可以确定一个平面的是(

)A.四边形B.空间三点C.两两相交且交点均不相同的四条直线D.交于同一点的三条直线C[解析]

对于A，四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，故A错误;对于B，空间三点如果在一条直线上，则不能确定一个平面，故B错误;对于C，设这四条直线分别为l1，l2，l3，l4，取其中两条相交直线l1和l2，则它们可确定一个平面α，取l3，设其与l1，l2的交点分别为A，B，则由题意知这两点不同，且A∈l1，B∈l2，所以有A，B∈α，从而l3∈α;同理可证明l4∈α，所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，故C正确;对于D，交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的3条棱，不能确定一个平面，故D错误.故选C.(2)如图，平面α与平面β相交于直线l，点A，B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是(

)A.直线AC

B.直线ABC.直线CD

D.直线BCC[解析]

如图，因为直线AB与直线l相交于点D，D∈l，所以D∈平面β，又点C在平面β上，所以CD⊂平面β，因为AB⊂平面γ，D点在直线AB上，所以D∈平面γ，又C∈平面γ，所以CD⊂平面γ，所以β与γ的交线是直线CD.故选C.[小结]1.证明点或线共面问题的两种方法:(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.1.如图，四棱锥P-ABCD，AC∩BD=O，M

是PC

的中点，直线AM交平面PBD

于点N，则下列结论正确的是(

)A.O，N，P，M

四点不共面B.O，N，M，D四点共面C.O，N，M三点共线D.P，N，O三点共线D[解析]

直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，所以A错.点D若与M，N，O共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错.O与A不重合，故O，N，M三点不共线，故C错.对应训练2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面D1PQ∩平面ABCD=l，则下列结论正确的是(

)A.l过点BB.l不过点BC.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上ACD[解析]

连接PB，QB，如图，因为P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP，且D1Q∥PB，所以四边形D1PBQ是菱形，所以D1，P，B，Q四点共面，即B∈平面D1PBQ.又B∈平面ABCD，所以B∈l，故A正确，B错误.如图，延长D1P与DA的延长线交于点F，延长D1Q与DC的延长线交于点E.因为D1F⊂平面D1PBQ，所以F∈平面D1PBQ，因为DF⊂平面ABCD，所以F∈平面ABCD，所以F∈l，同理E∈l，故C，D正确.考点2空间两条直线的位置关系例2

(1)(2025·上海长宁·二模)(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，则下列结论正确的是(

)A.存在点P，使得PQ⊥A1C1B.存在点P，使得PQ∥A1BC.直线PQ始终与直线CC1异面D.直线PQ始终与直线BC1异面ABD[解析]

正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，因为点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，当点P和点D1重合时，PQ⊂平面BDD1B1，∴PQ⊥A1C1，故A正确;连接A1D，A1B，当点P为线段A1D的中点时，PQ为三角形A1BD的中位线，即PQ∥A1B，故B正确;CC1⊂平面AA1C1C，当点P和点A重合时，PQ⊂平面AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误;BC1⊂平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1=P，P∉BC1，所以直线PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，所以直线PQ与直线BC1是异面直线，故D正确;故选ABD.(2)(2025·广西南宁·模拟预测)(多选)如图是长方体的展开图，且AD=2AB，ABFE为正方形，其中P，Q分别为AD，HI的中点，则下列结论正确的是(

)A.AM∥CG

B.AF∥DK

C.BP∥JQ

D.BP⊥QJBD[解析]

将展开图还原成长方体，如图，由图可知AM与CG异面，故A不正确，AF∥DK，故B正确，由AD=2AB，ABFE为正方形知∠GQJ=90°，BP⊥QJ，故D正确，故选BD.[小结]1.空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.2.异面直线的判定方法:(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.3.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，对此几何体，下面结论错误的是(

)A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线EF∥平面ABCDB对应训练[解析]

由题意知:该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE，EF，BF，DF，易得EF∥BC，BC∥AD，则EF∥AD，故EF，AD共面，则AE，DF共面，故B错误;又F∈面AEFD，B∉面AEFD，F不在直线AE上，则直线AE与直线BF异面，故A正确;由EF∥AD，EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，则直线EF∥平面PAD，故C正确;EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则直线EF∥平面ABCD，故D正确.故选B.4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(

)A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行[解析]

如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误;C因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.考点3异面直线所成的角

D[解析]

如图，

B

(3)(2025·甘肃·模拟预测)(多选)如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AD=AB=BC=2，AB⊥BC，M为AD的中点，则(

)

BC[解析]

对于A，如图，设N，G分别为EB，FC的中点，连接MN，MG，EG，AF.在直三棱柱ABC-DEF中，有MD⊥DE，CF⊥EF，AM⊥AC.因为AD=AB=BC=2，M为AD的中点，所以ME2=MD2+DE2=5，CE2=BE2+BC2=8.又AB⊥BC，所以AC2=AB2+BC2=8，MC2=MA2+AC2=9，则ME2+CE2≠MC2，从而ME与EC不垂直，故A错误.

[小结](1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平