2027届新高考数学热点精准复习+二项分布、超几何分布与正态分布

2027届新高考数学热点精准复习二项分布、超几何分布与正态分布【课标要求】1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.【知识要点】

X01P1-pp称随机变量X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).2.n重伯努利试验(1)定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)共同特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.3.二项分布(1)定义:一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=

(k=0，1，2，…，n)，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).

(2)均值与方差:若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).

正态密度曲线

x=μx=μ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移(如图a所示);当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，说明标准差

，数据的集中程度

，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差

，数据的集中程度

，所以曲线越“瘦”.如图b所示.

越大越小越弱越强

68.27%95.45%99.73%【基础检测】概念辨析

×√(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)(4)正态密度曲线与x轴之间的区域的面积为1.(

)(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.(

)√√√2.[选择性必修3p87T2]某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80，102)，则理论上在80分到90分的人数约是(注:如果X~N(μ，σ2)，那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%)(

)A.32 B.16 C.8 D.20B

教材改编3.[选择性必修3p76T1]已知X~B(20，p)，且E(X)=6，则D(X)=(

)A.1.8 B.6

C.2.1 D.4.2D[解析]

因为X服从二项分布X~B(20，p)，所以E(X)=20p=6，得p=0.3，故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.4.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X=1)=

.

5.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2，那么P(Y=-2)=

.

0.4[解析]

当Y=-2时，由3X-2=-2⇒X=0，所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.

[小结]在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.

(1)求单件产品为合格品的概率;[解析](1)设合格的概率为P，则P=P(亮度通过)×P(色准通过)=0.875×0.8=0.7.(2)随机抽取3件产品，设合格品数为X，求随机变量X的分布列及数学期望;

X0123P0.0270.1890.4410.343数学期望E(X)=n×p=3×0.7=2.1.

[解析](3)改进前:每件产品的合格概率p=0.7，对于3件产品，期望合格数E(X)=2.1.总期望利润=E(X)×100=2.1×100=210元.改进后:每件产品的合格概率p'=0.72，对于3件产品，新的期望合格数E(X')=3×0.72=2.16.总期望利润=E(X')×100=2.16×100=216元.净期望利润=216-3=213元.改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元，因此，值得改进.[小结](1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中该事件发生的概率都是一样的.(2)二项分布满足的条件:①在每次试验中，事件发生的概率都是相同的;②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生.④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.1.下列试验是n重伯努利试验的是(

)A.依次投掷四枚质地不同的硬币B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次C.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中不放回地抽取5个球D.小明做10道难度不同的数学单选题B[解析]A.由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是n重伯努利试验.B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.C.每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.D.10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是n重伯努利试验.故选B.对应训练

C

3.(2025高三·重庆·阶段考)某工厂的生产线上的产品按质量分为:一等品、二等品、三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品、二等品、三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率;(2)若质检员一天抽检3次，以X表示一天中需要调整设备的次数，求X的分布列和数学期望与方差.(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率;[解析](1)设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为一等品”，i=1，2，Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为二等品”，i=1，2，C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则C=A1·A2+A1·B2+B1·A2.由已知P(Ai)=0.9，P(Bi)=0.05，i=1，2，∴所求的概率为P(C)=P(A1·A2)+P(A1·B2)+P(B1·A2)=0.92+2×0.9×0.05=0.9.(2)若质检员一天抽检3次，以X表示一天中需要调整设备的次数，求X的分布列和数学期望与方差.

X0123P0.7290.2430.0270.001所以E(X)=np=3×0.1=0.3.D(X)=np(1-p)=3×0.1×0.9=0.27.考点2超几何分布角度1.超几何分布及概率计算例3

(1)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(

)A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，取到的次品数XB.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，所取的2台彩电中甲型彩电的台数XC.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，此学生遇到红灯的次数XD.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数XABD[解析]

依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.故选ABD.

D

角度2.超几何分布的分布列

(1)设甲答对的问题个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差;

X123P

(2)请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大?

[小结](1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.4.袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为

.(结果用最简分数表示)

对应训练

1

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;

(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差.

X123P

考点3正态分布

B

ACD

[小结]利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.

(1)求P(55<X<70);

(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望.

所以Z的分布列为Z23456P

[小结](1)利用正态分布求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与参数μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称.注意下面两个结论的活用:P(X<a)=1-P(X≥a);P(X<μ-a)=P(X>μ+a).7.(2025·天津)(多选)下列说法中正确的是(

)A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2)C.|r|越接近1，相关性越强D.|r|越接近0，相关性越弱ACD[解析]

对于A:根据正态分布对称性可知，P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A正确;对于B:根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B错误;对于C，D:相关系数|r|越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C，D正确.故选ACD.对应训练8.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取