2027届新高考数学热点精准复习+空间直线、平面的平行

2027届新高考数学热点精准复习空间直线、平面的平行【课标要求】

1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，会把空间问题转化为平面问题.

2.学会应用“化归思想”进行“线线平行、线面平行、面面平行”的互相转化.

3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题.【知识要点】1.直线和平面的位置关系（1）直线和平面相交——有且只有______公共点.（2）直线在平面内——有________公共点.（3）直线和平面平行——______公共点.一个无数个没有

平面外平面内平行平行

交线

4.两个平面的位置关系（1）两个平面平行——____________；（2）两个平面相交——________________.5.两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条______直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（2）垂直于同一条______的两个平面平行.（3）平行于同一个______的两个平面平行.没有公共点有一条公共直线相交直线平面6.两个平面平行的性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的______________必平行于另一个平面.（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的______互相平行.（3）一条直线______于两个平行平面中的一个平面，它也______于另一个平面.任意一条直线交线垂直垂直【基础检测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(

)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

)(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)(5)已知α，β是两个不同的平面，a为直线，若α∥β，a∥α，则a∥β.(

)××××√2.[必修2p143T1]已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是(

)A.若a∥α，b⊂α，则a∥bB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥b，b⊂α，则a∥αD.若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂αD[解析]

若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，A错;若a∥α，b∥α，则a与b平行或异面或相交，B错;若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错;若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对.3.[必修2p138T2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为

.

平行[解析]

如图，连接BD，设BD∩AC=O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.4.(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC.若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥βBC[解析]

若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m与n异面，或m，n相交，A错误;若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确;若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确;若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误.5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为

.

平行四边形[解析]

∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面DCGH=HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.考点1直线与平面平行的判定与性质角度1.直线与平面平行的判定例1

(1)(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下列说法正确的是(

)A.OQ∥平面PCD

B.PC∥平面BDQC.AQ∥平面PCD

D.CD∥平面PABABD[解析]

因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，又Q为PA的中点，所以OQ∥PC，又PC⊂平面PCD，OQ⊄平面PCD，所以OQ∥平面PCD，故A正确;同理OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥BDQ，故B正确;由四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，故D正确;又AQ与平面PCD相交于点P，故C错误;故选ABD.

证明:MN∥平面CDD1C1.[解析]

在平面A1B1C1D1内过点M作A1D1的平行线分别交A1B1，C1D1于点G，H;在平面AA1D1D内过点N作A1D1的平行线分别交AA1，DD1于点E，F，连接EG，HF;在△A1B1D1中，由MG∥A1D1，

角度2.直线与平面平行的性质例2

(1)设α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α∩β=l，则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(

)A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C[解析]

当m∥l时，m可能在α内或者β内，故不能推出m∥β且m∥α，所以充分性不成立;当m∥β且m∥α时，设存在直线n⊂α，n⊄β，且n∥m，因为m∥β，所以n∥β，根据直线与平面平行的性质定理，可知n∥l，所以m∥l，即必要性成立，故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件.(2)(2025·重庆·三模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面α分别交棱BC，CD(不含端点)于P、Q两点.证明:PQ∥BD;[解析]

因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，因为BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，又因为EF⊂平面α，平面BCD∩平面α=PQ，所以EF∥PQ，又因为EF∥BD，所以PQ∥BD.[小结]1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).2.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1.下列结论正确的是(

)A.如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面;B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b;D.如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.[解析]

对于A:如图(1)所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AA1∥BB1，此时AA1在过BB1的平面ABB1A1内，故A错误;对于B，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AA1∥平面BCC1B1，但AA1与BC为异面直线，故B错误;D对应训练对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AA1∥平面BCC1B1，A1D1∥平面BCC1B1，但AA1和A1D1为相交直线，故C错误;对于D，如图(2)所示，过点A，B分别作AM⊥α，BN⊥α，可得AM∥BN，因为AM=BN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AB∥MN，又因为AB⊄α，MN⊂α，所以AB∥α，故D正确.故选D.2.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l，平面ABM∩平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.(1)求证:AM∥平面BDE;[解析](1)如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE=l，平面ABM∩平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.(2)l∥m，证明如下:由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE=l，所以l∥AM，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE=m，所以m∥AM，所以l∥m.3.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点.(1)当M为PD的中点时，求证:MN∥平面PAB;(2)当PB∥平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由.[解析](1)取AP的中点为E，连接EM，EB，

考点2面面平行的判定及性质例3

(1)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(

)A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m∥n，n⊂α，则m∥αC.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥βD.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC[解析]

因为m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误;对于B，若m∥n，n⊂α，则m可能在α内，故B错误;对于C，因为m⊂α，m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l∥m，且l⊄α，进而可得l∥α，因为m，n是异面直线，n⊂β，所以l与n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确;对于D，平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交，故D错误.故选C.(2)如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE=2CF.①证明:平面ADE∥平面BCF;②若G是棱BC的中点，证明:AE∥FG.①证明:平面ADE∥平面BCF;[解析]

①由平行四边形ABCD，得BC∥AD，而AD⊂平面AED，BC⊄平面AED，则BC∥平面AED，由DE∥CF，CF⊄平面AED，DE⊂平面AED，得CF∥平面AED，又BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.②若G是棱BC的中点，证明:AE∥FG.②延长EF，AG与DC的延长线分别交于点O1，O2，由DE∥CF，DE=2CF，得CO1=CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2=CD，因此点O1，O2重合，记为O，显然平面AOE∩平面AED=AE，平面AOE∩平面BCF=FG，由①知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.[小结]证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.4.已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示不同平面，下列命题中正确的有(

)A.若α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n，则α∥βB.若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB[解析]

对于A，若α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n，则α∥β或相交，故A错误;对于C和D，α与β也可能相交，均错误;对于B，设m，n相交确定平面γ，根据面面平行的判定定理知α∥γ，β∥γ，根据平行平面的传递性得知α∥β，故B正确.对应训练5.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l，证明:B1D1∥l.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;

(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l，证明:B1D1∥l.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，B1D1∥BD，又平面ABCD∩平面B1D1C=l，平面ABCD∩平面A1BD=BD，所以直线l∥直线BD，又因为B1D1∥BD，所以B1D1∥l.考点3平行关系的综合应用例4

(2025·海南·模拟预测)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，△ABC与△A1B1C1都是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2，AA1=A1B1=4，E，F分别为AA1，B1C1的中点.(1)证明:EF∥平面AB1C;(2)求异面直线EF与BB1夹角的余弦值.(1)证明:EF∥平面AB1C;[解析](1)在三棱台ABC-A1B1C1中，设C1C1的中点为D，连接DE，DF，由F为B1C1的中点，得DF∥B1C，又B1C⊂平面AB1C，DF⊄平面AB1C，则DF∥平面AB1C，由DE为梯形AA1C1C的中位线，得DE∥AC，又AC⊂平面AB1C，DE⊄平面AB1C，则DE∥平面AB1C，而DE∩DF=D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，因此平面DEF∥平面AB1C，又EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C.(2)求异面直线EF与BB1夹角的余弦值.

例5如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E=60°，已知CD=4，AB=8，G，H分别为O2B，BF的中点.

(1)证明:平面CGH∥平面O1O2FE.

6.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC，点D，M分别为AC，PB的中点，PF=2FC.(1)证明:AM∥平面BDF;(2)若平面AMN∥平面BDF，其中PD∩平面AMN=N，MN⊥PC，证明:AN是AM在平面PAC上的投影.对应训练(1)证明:AM∥平面BDF;[解析](1)取PF的中点E，连接AE，由PF=2FC，得PE=EF=FC，点F为EC的中点，又点D为AC的中点，则DF∥AE，又AE⊄